サマースクール復習 その4

量子化

• Quantization via Mirror Symmetry

実解析的多様体の複素化のミラーをB-modelとしてみることにより、
量子化の状態空間、i.e. Hilbert空間を代数的に導出する、
ということが動機になっている。
ミラー対称性において、
SYZ対応が成り立つ場合には、
Fourier-Mulai変換を通して計算が可能な場合もある。

Q:1次元量子系に対して、リーマン面を対応させた場合、
A-model,B-modelはどのように記述されるのだろうか?

A-model

• Quiver algebras as Fukaya categories
• Quadratic differentials as stability conditions

リーマン面の三角形分割から、自然に3-CY圏が定義される。
Fukaya圏についても、ある程度の記述が出来る。
Q:対応するB-modelはどうなるか?

B-model

• Quantum curves for Hitchin fibrations and the Eynard-Orantin theory

Q:B-model側での量子化の導出を、Topological Recursionを用いて行っている。
その際に使用されるのが、Laplace変換であるが、
これは、WKB法におけるBorel総和法ということになるだろうか?
A-model側でMorse理論によりcycleを算出してStokes構造をみる、
という部分を、Borel総和法で代数的に置き換えている、と見ることができるだろうか?

Exact WKB

• Exact WKB analysis and cluster algebras
• Exact WKB analysis and cluster algebras II: Simple poles, orbifold points, and generalized cluster algebras

Q:Belyiの定理により、数体上の代数曲線の三角形分割が定まるが、
Exact WKBにおけるモノドロミー行列は、数論的な情報をどれだけ保持しているのだろうか?
単純に考えると、p進体上で対応する微分方程式から周期環上にGalois表現を構成すると、
そのGalois表現がモノドロミー行列の持ち上げになっている、と思われる。
そして、数体の硬さにより、数体上のGalois表現が各素点の情報から定まる、
ということになるのだろうか?
Mellin変換はLaplace変換の類似だから、ある意味、ミラーを見ている、
と思えるのだろうか?

WCF

• Lectures on motivic Donaldson-Thomas invariants and wall-crossing formulas
• Wall-crossing structures in Donaldson-Thomas invariants, integrable systems and Mirror Symmetry
• [KKS14] Algebra of the infrared and secondary polytopes 
  [KKS14]Figure25は、1次元量子系における周期ポテンシャルの場合のFloquet指数に見える。 
  Q:スペクトルギャップに付随して超楕円曲線が定まる場合の3-CY圏から導出されるFukaya圏は、 
  Floquet指数とどう関係付けられるのだろうか? 
  (TθijijはTθijiのミスプリのはず、Figure26ではTθjijのはず。)

可解格子模型

• 可解格子模型と共形場理論の話題から
• Baxter’s Relations and Spectra of Quantum Integrable Models
• [Cos13] Integrable lattice models from four-dimensional field theories

可解格子模型は転送行列の対角化により、分配関数が計算される。
転送行列が楕円曲線上に定義されることの一つの理由として、
[Cos13]Th4.3.3,Th6.0.3が挙げられる。

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