局所体のGalois群間写像のgeometricity

局所体の絶対Galois群

[Weinstein]では、局所体の絶対Galois群を、ある幾何的対象の幾何学的基本群と見なせることを示している。 
(この幾何的対象は、Fargues-Fontaine曲線となる。) 
幾何学的基本群であるから、base pointをひとつ決める必要があるが、 
その決め方は、局所体の代数的閉包に依存している。 
局所体E/Qpに対して、

• 代数的閉包を取る。そのp進完備化をCとする。
• OEの素元πを取り、対応するLubin-Tate拡大E∞を取る。この時点で、GalE∞/E⋍O×Eが定まる。(local class field theory)
• SpfOE上のformal group、Lubin-Tate formalOE-moduleH=HEを定める。
• SpfOE上のformal schemeHに対して、そのπの乗法に関するinverse limitとしてのuniversal coverH~E=limπHEをSpfOE上のformal schemeにおけるE-vector space objectとして定める。
• OCに引き戻しadic generic fiberをとり、perfectoid space(Prop3.2.2) H~adE,Cを定める。

すると、H~adE,C∖{0}上のE×-equivariant finite etale coversとfinite etale E-algebrasが対応する。(Th4.0.10)

• πに対する依存性は途中のFrobenius作用素への分解で吸収される。
• tiltingはperfectionなので、canonical。πに対する依存性は消える。
• perfectoidにおいてFrobenius作用素はisomorphism。(lem4.0.9)

なので、open unit discをEに依らない普遍的な対象と思うと、

• open unit discH~adCにSpfOE上のE-vector spaceの構造を定める
• E上のmodelH~adEを定める(Prop4.2.1)

を前提として、 
上の手順は、

• E×-equivariant finite etale coversの圏を定める

という部分と、

• GalE∞/E⋍O×Eという同型をひとつ定める

という部分に分解される。 
E× 作用とGalois群のO×Eを通しての作用に整合性がある、ということが、最初に代数閉体を固定し手順を進めることに対応する。 
この整合性は、Galois群の同型からgeometricityを導く条件と同等になる、 
という意味で、局所体の絶対Galois群に対する正則構造を定めている、 
と思える。

geometricity

局所体の1次元Galois表現、すなわち指標について、

• inertially equivalentの定義
• 円分指標の定義
• 体の埋め込みσ:E⊂kに対して、Okの素元πを取り、対応するLubin-Tate拡大k∞に対応する指標をNorm mapで落とすことにより、χσ,π:Gk→E×が定まる。
• 指標がof qLT-typeという定義
• 指標がof 01-typeという定義

がある。([TopⅠ]Def3.1)

α:GEの位相群としての自己同型について、下記は同値([absLoc]Cor3.4)

名前	定義	引用
HT-preserving	Hodge-Tate表現の引き戻しがHodge-Tate	[absLoc]Def1.3
of HT-qLT-type	拡大体に対応する開部分群の引き戻しがLT指標を保つ	[absLoc]Def1.3
geometric	同型が体の同型から得られる	[TopⅠ]Def3.1
of qLT-type	of qLT-typeの指標の引き戻しがof qLT-type	[TopⅠ]Def3.1
of 01-qLT-type	of qLT-typeの指標の引き戻しがof 01-type	[TopⅠ]Def3.1
of HT-type	代数閉体のp進完備化への群作用のHodge-Tateを保つ	[TopⅠ]Def3.1
of CHT-type	of HT=typeかつ円分指標を保つ	[TopⅠ]Def3.1
RF-preserving	上付き分岐群を保つ	[TopⅠ]Def3.6
uniformly toral	toral portionのp進logでの位置がp進付値内で一様に有限の誤差となる	[TopⅠ]Def3.6

使用される性質は、

• 有限次元ベクトル空間では開部分空間=全体([pLoc]lem4.1)
• Hodge-Tate表現か否かおよびその重みは群論的に導出できる
• inertially compatible([absLoc]Def3.1)な体の同型は同じ([absLoc]lem3.2)

疑問

• p進局所体におけるFrobenioidは、Fargues-Fontaine曲線を幾何学的実現として持つ、と理解することができるか?
• そうであれば、大域化して、局所体上の双曲的曲線におけるFrobenioidの幾何学的実現を定義できるか?
• Lubin-Tate拡大をnon-abelian Lubin-Tate拡大に一般化して、正則構造の一般化(あるいは、hyper-Kahler構造)を定義できるか?
• 複素数体上では、AnguloidにおけるS1作用と複素数体内のS1との整合性が対応すると思える。そうすると、複素数体上でのFargues-Fontaine曲線の対応物が存在するような気がしてくる。頂点作用素代数を作用素環的に見る見方とAngurloidの関係はあるのか?

参考文献

• [absLoc]absolute_galois_groups_of_p-adic_local_fields
• [pLoc]A Version of the Grothendieck Conjecture for p-adic Local Fields
• [TopⅠ]Topics in Absolute Anabelian Geometry I
• [Weinsten][Gal(Q¯¯¯¯p/Qp) as a geometric fundamental group] (http://arxiv.org/abs/1404.7192v1)

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