quasi-analytic self-isogenies

epiperfect category

[pIntro]のDef2.5では、VF-patternΠに対して、 
Π-indigenoous bundleを定義し、対応するstackQΠをthe stack of quasi-analytic self-isogeniesと呼んでいる。 
これは、まず、perfect schemeに対する関手として定義されるが、 
さらに、epiperfect schemeに対する関手として拡張される。 
epiperfectは、Frobenius morphismがclose immersionとなるもので、 
perfectoidの文脈では、semi-perfect ring(に対応する何らかのspace)が対応する。

[pDiv]§4では、semiperfect ringRに対して、

• R♭の定義
• universal p-adically complete PD thickening Acris(R),B+cris(R)の定義とFrobenius作用φの存在([pDiv]Prop4.1.3)
• Diuedonne module functorの定義
• W(R♭)→Acris(R)はinjective φ 1:Icris(R)→Acris(R)がpφ1=φを満たす
• perfect ringに対しては、W(R♭)→Acris(R♭)はisomorphism
• p1+ϵの評価([pDiv]Prop4.3.6) 
  がなされている。

canonical subgroupとHodge section

[pIntro]Th2.6では、QΠについて、representabilityとaffinessが記述されている。 
さらに、[pIntro]Th2.11でordinaly locusについて、Nordのperfectionであることが記述されている。 
これは、楕円曲線の場合で見ると、inifinite levelでperfectoidになる、 
ということに対応する。

[Torsion]では、楕円曲線(およびアーベル多様体)の場合に、(minimal compactificationを含めて)infinite levelでperfectoidになることをみている。 
- Lie complexを用いたcanonical subgroupの存在([Torsion]lemⅢ.1.3, ThⅢ.2.1,CorⅢ.2.2) 
- Hasse invariantのpϵ-divisilityとcanonical subgroupの存在([Torsion]CorⅢ.2.6) 
- Hartog’sの解析接続の類似([Torsion]lemⅢ.2.9) 
- Hasse invariantの持ち上げの同値類の定義と表現可能性([Torsion]DefⅢ.2.11,lemⅢ.2.12) 
- Frobenius作用素とのcompatibility([Torsion]ThⅢ.2.14) 
- canonical subgroupの相補であるanticanonical subgroupをparametrizeするopen-closed subsetの存在([Torsion]ThⅢ.2.14) 
- aniticanonical towerのperfectoid spaceへの収束([Torsion]CorⅢ.2.18) 
- p∞-levelからpm-levelへ落とすTate’s normalized trace([Torsion]CorⅢ.2.22)

疑問

• p進Teichimuller理論では、inidigenous bundleとHodge sectionを用いてFrobenius lifting,canonical curve,crystalline inductionの議論をしているが、[Torsion]の議論をnon-abelianの場合に拡張して辞書を構築できるか?
• 特にHasse invariant(divisor)のmod pϵでの議論の辞書
• p-adic Green functionをHodge-Tate period mapを用いて理解できるか?
• quasi-analytic self-isogeniesをperfectoidのlevelで自然な射として理解できるか?

参考文献

• [pOrd] A Theory of Ordinary p-adic Curves
• [pIntro] An Introduction to p-adic Teichmuller Theory
• [pDiv] Moduli of p-divisible groups
• [Torsion] On torsion in the cohomology of locally symmetric varieties

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