鎖国についてなど: サマースクール復習(2016) その1

講義内容

物理の側から見た、ミラー対称性の基礎的部分の解説。
Komaba Lectures on Mirror Symmetry

2d (2,2) Supersyymetric、chiral ringの説明
T-dualityの説明
Lagrangianを用いたGLSM(Gauged Linear Sigma Models)の説明とclassical vacua、phase、およびQuantum effectsの説明
例を用いたCY/LG対応とOrlovの導来圏の半直交分解の関連の説明

90年代における3次元カラビ・ヤウ多様体(3CY)の幾何学の観点からの基礎的部分の解説。

トーラスに対して、Fourier変換、Poisson総和公式を用いたT-dualityの解説
トーラスに対する、Narainモジュライ空間の説明
3CYに対するBogomolov-Tial-Todorovの定理、複素構造の変形空間の定義
3CYに対する複素化されたケーラー錐、chiral ring $H^{even}(X)$ の定義、Hard Lefshetz定理
anti-chral ring $H^{3}(X, \mathbb{C})$ の定義、LCSL(Large complex structure limit)の解説、B-structureの存在の妥当性の説明
古典ミラー対称性予想の説明
周期領域の説明、楕円曲線、K3曲面、3CYにおける周期領域の自然な座標の説明
3CYにおけるミラー対の構成法の説明Determinantal Quintics and Mirror Symmetry of Reye Congruences

可逆多項式に対して、位相的ミラー対称性、ホモロジー的ミラー対称性、環構造の具体的構成の話。

深谷圏はありまーす、という話。

普遍Novikov環(体) $\Lambda$ 、 $A_{\infty}$ 構造の定義
有限次元のMorse理論の場合の境界写像の説明
安定写像のモジュライ空間の説明
Weak Maurer-Cartan equation、potential function、obstructionがない場合のFloer cohomologyの説明
バルク変形、閉開写像、開閉写像の説明
$\Lambda_{0}$ 係数の場合のtorsionの現れ方の説明
トーリック(Fano)多様体の場合のポテンシャルの臨界点の計算、射影的トーリック多様体の場合の一般論
深谷圏の定義、Hochshild cohomologyとQuantum cohomology間の標準射の説明、Trace mapの定義
Cardy relationに基づくgereration criterionに関する定理の証明の概略の説明

感覚的には、Fontaineの周期環とNovikov環は、変形を環の拡大により制御するという意味で似ている。面積と分岐がともに実数で測る量であることも似ている。周期環はHodge-Tate代数をGalois群の作用に対して自然にするために完備化やdivided powerを用いた複数のversionがあるが、Novikov環は、更に何らかの対称性に対してより複雑な環が必要になることはないのか?
一般ルート系に対応する幾何的対象は、講義ではまだ見つかっていない、とのことだったが、Flag varietyやSpringer resolutionのような構成ができないか気になる。また、超曲面特異点の議論を、数論的曲面で、同様に展開できるか?(楕円曲面の場合にはNeronモデルがあった。)もし展開できれば、可逆多項式のパラメータの一つを素数に変えて、変数ごとに還元を考える、ということもできるかも。幾何という点では、ADEの場合には、affine Weyl群、hereditary algebra、重み付き射影曲線、が簡明に関係していたが、Quiverがwildにある場合は表現のmoduliが大きいので、重み付き射影曲線の幾何的情報だけでは対応する情報が少なすぎるはず。

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