サマースクール復習(2016) その2

[H]の講義では、Lagrangianを用いて、
Non-Linear sigma modelとLandau-Ginzburg modelを導出していた。
Landau-Ginzburg modelにおいてA-twistに対応するtopological string theoryがFJRW theoryである、という記述があった。(2.6)

FJRW(Fan-Jarvis-Ruan-Witten) thoery

[FJ]§1.2にある、CY-LG対応と、CY-Mirror symmetry、LG Mirror symmetryにより、
Calabi-Yau Amodel/B-model
Landau-Ginzburg Amodel/B-model
の間に対応が付くことが予想されている。

FJRW theoryは、

• LG A-modelに位置するべきCohomological Field theory(§2 Def2.2)
• 状態空間はrelative cohomologyで定義され,degreeはageによるshiftがある(Def3.10, Def3.11)
• 状態空間はsectorの直和であり、broad sectorとnarrow sectorに別れる(Rem3.12)
• pairingが存在する(§3.3)
• stableW,G-curveのmoduli stack(Def3.21)に対して、evaluation mapとvirtual fundamental classが定義できて、Gromov-Witten theoryの類似のCohFTが定義できる(Th3.27)

ミラー対称性に関わる予想としては、

• Frobenious多様体の構造が定義されると予想されている(§4.1)
• Witten予想(=Kontsevichの定理)の類似で、integrable hierarchiesのタウ関数が存在すると予想されている(§4.2)(ADEの場合は、[FJR2]§6)
• Givental’s I-functionとJ-functionの対応がつくと予想されている(§4.3)

がある。

GLSM

[H]では、$G$としてアーベル群のみが例として挙げられていたが、
任意の簡約群をゲージ群として理論が展開できる。

quasi-homogeneous polinomial$W$に対して、
FJRWではWitten方程式が定義されたが、
GLSMでは、さらにmoment mapの情報を加えた、Gauged Witten方程式が定義される。
virtual-cycleが定義できて、そこから相関関数が定義できる。([FJR]Th1.1.1)

• [FJ] A Brief Survey of FJRW Theory
• [FJR] A Mathematical Theory of the Gauged Linear Sigma Model
• [FJR2] The Witten equation, mirror symmetry and quantum singularity theory
• [H] Komaba Lectures on Mirror Symmetry

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