* 絶対Galois群のPersistent homologyもしも、局所体の絶対Galois群が、
局所体の位相構造によって標準的に定まる距離空間に連続に埋め込まれていれば、
距離空間から定まる距離によって、Persistent homologyが計算できる。
特に、その0次、すなわち連結成分の挙動を見ることにより、
絶対Galois群にfiltrationを入れることができる。
無論、標準的な距離空間への埋め込みは存在していないが、
Abbes-Saitoによる上付きfiltrationの考え方は、
quotientとしての有限群を
rigid analytic spaceへ標準的に埋め込んで、
各点での近傍に膨らましていった時の連結成分の挙動を調べ、
それを元の群の情報に持ち上げる、
ということのようだ。
filtrationに対するgraded groupを見るということは、
距離空間において焦点をあてるスケールを固定する、ということだが、
graded groupは(p-torsion)abel群になり、
特に、そのdualは
(log)微分形式からfiltrationにより一部を取り出したもの、
に埋め込まれる。
標数pでの基本的な拡大はArtin-Schreier拡大だが、
これは元の体の環の演算を用いていて、
絶対Galois群を抽象的な位相群と見ているだけではでてこない(はず)。
(局所体の分岐群について
http://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~t-saito/talk/ram.pdf
)
graded groupの微分形式への埋め込みは、
On refined ramification filtrations in the equal characteristic case
http://arxiv.org/abs/0911.1802v3
のProp3.1.11およびTh3.4.1で
p進微分方程式の分解と対応付けられている。
Q: 絶対Galois群に対して、高次のPersistent homologyは、
Galois群の情報から意味ある量で記述できるか?
* 数え上げ
Q:n次Galois拡大は、n個のdiviserの交わりと思い、
交わりを摂動することで、n角形と見なし、数え上げを行うことが出来ないだろうか?
* 深谷圏
Constructible Sheaves and the Fukaya Category
http://arxiv.org/abs/math/0604379v4
Microlocal branes are constructible sheaves
http://arxiv.org/abs/math/0612399v4
X:compact real analytic manifold
に対して、その余接バンドル内のexact Lagrangian branesのなす深谷圏は、
Xの可構層の導来圏から得られるdg圏と同値だった。
Riemann-Hilbert対応により、可構層の導来圏は、
確定特異点型ホロノミーD加群の導来圏と導来同値だった。
Q:不確定特異点型も含めたホロノミーD加群の導来圏と導来同値な
可構層の導来圏を含む三角圏は存在するか?
(Introduction to Stokes structures
http://arxiv.org/abs/0912.2762v3
ではStokes-perverse sheafの圏が定義されRiemann-Hilbert対応が成り立つ、とある。
)
Q:Stokes-perverse sheafに対して、
characteristic cycleによるNadler-Zaslowの対応を拡張することができるか?
できるとすれば、対応するLagrangianはどのような性質を持つか?
Q:標数pの体上の固有代数多様体上のl進層の導来圏に対して、
characteristic cycleの対応を与えることにより、dg圏を構成できるか?
2013年3月2日土曜日
常微分方程式
* 基礎的事項
常微分方程式について、
- 複素数体上
- p進体上
それぞれで特有の事項と類似の事項がある。
** 類似の事項
- 局所解、大局解の概念がある
- 微分加群の概念が定義でき、標数0の微分体上の微分加群の場合はcyclic vectorが存在する
- Riemann-Hilbert対応があり、位相的な情報と微分方程式の同値類の対応がある
- 形式冪級数、収束冪級数、それぞれに対応する環について算術的側面と幾何的側面がある
- 典型的な微分方程式として、指数関数、冪関数に対応する方程式が存在する
** 複素数体上の特有事項
- Cauchyの定理により非特異点では局所的に解が存在する
- 収束性と微分の相性が悪い
- 扇形領域における漸近展開の概念がある
- 形式解に対応する漸近展開を持つ真の解が存在する
- 確定特異点、不確定特異点の概念がある
- Stokes構造の概念があり、解空間の分解(filtration)が存在する
- モノドロミー保存変形の理論がある
** p進体上の特有事項
- 指数関数の収束半径が有限
- Cauchyの定理が成立せず、局所的な水平切断の収束半径が問題になる(収束半径>0だが完全不連結なので必ずしも繋げない)
- 収束性と微分の相性が良い
- 形式冪級数環の部分環として、円盤、円環上の関数環、有理関数体の部分環の完備化、(bounded)Robba ringなどが取れる
- spectral radiusによりNewton多角形が定義され、visible decomositionが存在する。
- Frobenius作用素によるpush-forward, pull-backが定義できる場合があり、収束半径の制御が出来る場合がある
- (dualizable)Frobenius構造に対してslope filtrationが定義できる。
- Berkovich空間上の微分加群はretractionとなっている局所有限グラフで制御される
- 標数pの完全体kに対してE=k((x))とすると、G:Eの絶対Galois群のp進表現の圏とetale-φ加群の圏は同値
- さらに、局所有限モノドロミーを持つp進表現の圏とbounded Robba ring上のetale-φ-∇加群の圏は同値
* 疑問点
- middle convolutionに対応する操作をp進常微分方程式に対して行うこと(有限体を完全体に拡張できるか?)
- p進常微分方程式におけるモノドロミー保存変形、特にTate-curve上でのIsing模型
- p進常微分方程式に対応するGalois表現に対応するAbbes-Saitoのcharacteristic cycleは、
複素数体上のD加群のcharacteristic cycleのような解釈を持つのか?
- 具体的なGalois拡大(Artin-Schrier拡大、Kummer拡大)に対応するp進微分方程式の具体的な記述
- 複素数体上における特異点の合流の類似として暴分岐Galois表現のconductorのblow-upによる解釈を理解すること
* 基礎的事項に関して
微分方程式の不確定特異点
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kenkyubu/kokai-koza/H23-takuro.pdf
p進表現とp進微分方程式: 正標数の局所体の場合
http://www.math.is.tohoku.ac.jp/~fujiwara/sendai/shiho.E.pdf
Local and global structure of connections on nonarchimedean curves
http://arxiv.org/abs/1301.6309v2
Continuity and finiteness of the radius of convergence of a p-adic differential equation via potential theory
http://arxiv.org/abs/1209.6276v1
* 疑問点に関して
特殊関数と代数的線型常微分方程式
http://www.ms.u-tokyo.ac.jp/publication/documents/spfct3.pdf
Arithmetic and Differential Swan Conductors of rank one representations with finite local monodromy
http://arxiv.org/abs/0711.0701v2
On refined ramification filtrations in the equal characteristic case
http://arxiv.org/abs/0911.1802v3
Rank One Solvable p-adic Differential Equation and Finite Abelian Characters via Lubin-Tate groups
http://arxiv.org/abs/math/0612725v2
常微分方程式について、
- 複素数体上
- p進体上
それぞれで特有の事項と類似の事項がある。
** 類似の事項
- 局所解、大局解の概念がある
- 微分加群の概念が定義でき、標数0の微分体上の微分加群の場合はcyclic vectorが存在する
- Riemann-Hilbert対応があり、位相的な情報と微分方程式の同値類の対応がある
- 形式冪級数、収束冪級数、それぞれに対応する環について算術的側面と幾何的側面がある
- 典型的な微分方程式として、指数関数、冪関数に対応する方程式が存在する
** 複素数体上の特有事項
- Cauchyの定理により非特異点では局所的に解が存在する
- 収束性と微分の相性が悪い
- 扇形領域における漸近展開の概念がある
- 形式解に対応する漸近展開を持つ真の解が存在する
- 確定特異点、不確定特異点の概念がある
- Stokes構造の概念があり、解空間の分解(filtration)が存在する
- モノドロミー保存変形の理論がある
** p進体上の特有事項
- 指数関数の収束半径が有限
- Cauchyの定理が成立せず、局所的な水平切断の収束半径が問題になる(収束半径>0だが完全不連結なので必ずしも繋げない)
- 収束性と微分の相性が良い
- 形式冪級数環の部分環として、円盤、円環上の関数環、有理関数体の部分環の完備化、(bounded)Robba ringなどが取れる
- spectral radiusによりNewton多角形が定義され、visible decomositionが存在する。
- Frobenius作用素によるpush-forward, pull-backが定義できる場合があり、収束半径の制御が出来る場合がある
- (dualizable)Frobenius構造に対してslope filtrationが定義できる。
- Berkovich空間上の微分加群はretractionとなっている局所有限グラフで制御される
- 標数pの完全体kに対してE=k((x))とすると、G:Eの絶対Galois群のp進表現の圏とetale-φ加群の圏は同値
- さらに、局所有限モノドロミーを持つp進表現の圏とbounded Robba ring上のetale-φ-∇加群の圏は同値
* 疑問点
- middle convolutionに対応する操作をp進常微分方程式に対して行うこと(有限体を完全体に拡張できるか?)
- p進常微分方程式におけるモノドロミー保存変形、特にTate-curve上でのIsing模型
- p進常微分方程式に対応するGalois表現に対応するAbbes-Saitoのcharacteristic cycleは、
複素数体上のD加群のcharacteristic cycleのような解釈を持つのか?
- 具体的なGalois拡大(Artin-Schrier拡大、Kummer拡大)に対応するp進微分方程式の具体的な記述
- 複素数体上における特異点の合流の類似として暴分岐Galois表現のconductorのblow-upによる解釈を理解すること
* 基礎的事項に関して
微分方程式の不確定特異点
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kenkyubu/kokai-koza/H23-takuro.pdf
p進表現とp進微分方程式: 正標数の局所体の場合
http://www.math.is.tohoku.ac.jp/~fujiwara/sendai/shiho.E.pdf
Local and global structure of connections on nonarchimedean curves
http://arxiv.org/abs/1301.6309v2
Continuity and finiteness of the radius of convergence of a p-adic differential equation via potential theory
http://arxiv.org/abs/1209.6276v1
* 疑問点に関して
特殊関数と代数的線型常微分方程式
http://www.ms.u-tokyo.ac.jp/publication/documents/spfct3.pdf
Arithmetic and Differential Swan Conductors of rank one representations with finite local monodromy
http://arxiv.org/abs/0711.0701v2
On refined ramification filtrations in the equal characteristic case
http://arxiv.org/abs/0911.1802v3
Rank One Solvable p-adic Differential Equation and Finite Abelian Characters via Lubin-Tate groups
http://arxiv.org/abs/math/0612725v2
2013年2月3日日曜日
Perfectoid
Mirror symmetry for elliptic curves
http://zippy.ph.utexas.edu/~msihl/pubs/termpaperM390C.pdf
Categorical Mirror Symmetry: The Elliptic Curve
http://arxiv.org/abs/math/9801119v3
1次元円周M=S^{1}を実解析的多様体とみなして、
X=T^{*}Mとすると、
XはS^{2}-S^{0}=C^{*}と同型になる。
ここで、q=exp(2*¥pi*i*¥tau)というパラメータをいれてE=X/q^{Z}とTate-楕円曲線を構成することができる。
E上の連接層の構造は、Fourier-Mukai変換により1点にsupportを持つskyscraper層に帰着する。
さらに、1点上にsupportを持つ層はExtの計算により、lengthを与えるとuniqueに定まる。
E上のベクトル束の構造を記述するには、X上に引き戻して、
具体的に関数とベクトル空間及びそこに作用するnilpotent作用素を用いて
表すことができる。
具体的には、E上のdegree1の直線束Lおよびその大域切断φ0(すなわちテータ関数)を固定し、
degree:n, rank:rのベクトル束として、
φ=(φ0の平行移動)*φ0^{n-1}
V:次元rのベクトル空間
N:Vに作用するindecomposable nilpotent matrix
として、
L(φ)とF(V,exp(N))の直積の形で表わされるものから、isogenyと直和によって構成することができる。(上記Prop1)
特にN=0がstableに対応する。
一方で、楕円曲線E'内のLagrangianの集合として、
直線からなるものを取ることができ、
楕円曲線E'上の深谷圏を構成することができる。
E上のベクトル束に対して、E'上の深谷圏の対象を上記5.1のΦによって対応づけることができる。
- degree:dの直線束に対してslope:dの直線
という対応により、テータ関数の加法公式の直感的な解釈が与えられる。
The Local Langlands Correspondence for GL(n) over p-adic Fields
http://arxiv.org/abs/math/0011210v2
さて、
楕円曲線の場合は、skyscraper層の構造に帰着して対応を見ることができた。
一方で、局所Langlands対応で問題になるのは、
k:標数pの有限体、F=k((t))
として、
F上のGalois表現と保型表現の対応であるが、
Fの(Frobenius semisimple)Weil-Deligne表現でindecomposableなものは、
Weil群の既約表現とSp(m)の直積の形で記述される。(3.2.4)
特にirreducible表現はWeil表現としてirredusibleでかつN=0の場合となり、
保型表現側ではsupercuspical表現が対応する。(4.3.2)
対応の構成には、
p-divisible group+level structureの普遍変形空間のtowerが用いられる。
W(k)上定義されたrigid analytic spaceのvanising cyclesに対応する表現が実現される。(5.5.3)
Perfectoid spaces
http://arxiv.org/abs/1111.4914v1
Moduli of p-divisible groups
http://arxiv.org/abs/1211.6357v1
p-divisible groupのmoduliはperfectoid spaceになる。
すなわち、標数pの世界と標数0の世界を行き来できる。
http://zippy.ph.utexas.edu/~msihl/pubs/termpaperM390C.pdf
Categorical Mirror Symmetry: The Elliptic Curve
http://arxiv.org/abs/math/9801119v3
1次元円周M=S^{1}を実解析的多様体とみなして、
X=T^{*}Mとすると、
XはS^{2}-S^{0}=C^{*}と同型になる。
ここで、q=exp(2*¥pi*i*¥tau)というパラメータをいれてE=X/q^{Z}とTate-楕円曲線を構成することができる。
E上の連接層の構造は、Fourier-Mukai変換により1点にsupportを持つskyscraper層に帰着する。
さらに、1点上にsupportを持つ層はExtの計算により、lengthを与えるとuniqueに定まる。
E上のベクトル束の構造を記述するには、X上に引き戻して、
具体的に関数とベクトル空間及びそこに作用するnilpotent作用素を用いて
表すことができる。
具体的には、E上のdegree1の直線束Lおよびその大域切断φ0(すなわちテータ関数)を固定し、
degree:n, rank:rのベクトル束として、
φ=(φ0の平行移動)*φ0^{n-1}
V:次元rのベクトル空間
N:Vに作用するindecomposable nilpotent matrix
として、
L(φ)とF(V,exp(N))の直積の形で表わされるものから、isogenyと直和によって構成することができる。(上記Prop1)
特にN=0がstableに対応する。
一方で、楕円曲線E'内のLagrangianの集合として、
直線からなるものを取ることができ、
楕円曲線E'上の深谷圏を構成することができる。
E上のベクトル束に対して、E'上の深谷圏の対象を上記5.1のΦによって対応づけることができる。
- degree:dの直線束に対してslope:dの直線
という対応により、テータ関数の加法公式の直感的な解釈が与えられる。
The Local Langlands Correspondence for GL(n) over p-adic Fields
http://arxiv.org/abs/math/0011210v2
さて、
楕円曲線の場合は、skyscraper層の構造に帰着して対応を見ることができた。
一方で、局所Langlands対応で問題になるのは、
k:標数pの有限体、F=k((t))
として、
F上のGalois表現と保型表現の対応であるが、
Fの(Frobenius semisimple)Weil-Deligne表現でindecomposableなものは、
Weil群の既約表現とSp(m)の直積の形で記述される。(3.2.4)
特にirreducible表現はWeil表現としてirredusibleでかつN=0の場合となり、
保型表現側ではsupercuspical表現が対応する。(4.3.2)
対応の構成には、
p-divisible group+level structureの普遍変形空間のtowerが用いられる。
W(k)上定義されたrigid analytic spaceのvanising cyclesに対応する表現が実現される。(5.5.3)
Perfectoid spaces
http://arxiv.org/abs/1111.4914v1
Moduli of p-divisible groups
http://arxiv.org/abs/1211.6357v1
p-divisible groupのmoduliはperfectoid spaceになる。
すなわち、標数pの世界と標数0の世界を行き来できる。
2013年1月25日金曜日
特性類
* 特性類
幾何的な対象Xの上部構造に対して、
Xの幾何的な情報を対応させたい。
とくにXに対してコホモロジー群が定義できる場合には、
幾何的な情報としてコホモロジーの元をとることが考えられる。
これは、Xの上部構造に対してベクトル空間の元を対応させることになるが、
それが関手的であることを要請したい。
すなわち、
幾何的な対象からなる圏C
が存在して、Cの対象Xに対してベクトル空間H(X)が関手的に対応する状況で、
X上の圏Vの対象Fに対して、H(X)の元c(F)を対応させる、
という状況。
このような状況として現れるのが、
1.
C:実可微分多様体の圏、X:実可微分多様体
V:X上のベクトル束の圏、E:X上のベクトル束
c:Euler類、Stiefel-Whitney類、Chern類
2.
C:代数多様体の圏、X:代数多様体
V:X上のベクトル束の圏、E:X上のベクトル束
c:Chern類
3.
C:実解析的多様体の圏、X:実解析的多様体
V:X上の可構層の圏、F:X上の可構層
c:特性類、特性Cycle
といった場合がある。
1.については、
公理系として、
- ベクトル束からコホモロジーの元への対応
- 自然性
- 積公式
- 非自明性
- Euler類による最高次数の表示
により、
向き付けを考慮しない場合にStiefel-Whitney類、
複素ベクトル束の場合(向き付け可能)に限定してChern類、
が定まる。
存在には、
ベクトル束の基本コホモロジー類とThom同型、
分類空間の存在とそのコホモロジー環の具体的な表示、
が使用される。
2.については、法束(管状近傍)は部分多様体がなめらかでない場合はそのままでは使用できないので、
normal coneを用いる。
E:X上のベクトル束に対して、自明束との直和の射影化P(E⊕1)は、
P(E)とEの非交和になる。
よって帰納法によりE,P(E)のChow群をXのChow群で表すことができる。
Yの部分多様体Xに対して、
C_{X}(Y): YのXに沿ったblow-upのexceptional divisorに付随するcone
としてnormal coneを定義する。
Y*P^{1}のX*{∞}でのblow-upは、P-{1]へ射影して、
Y*A^{1}と、
Y*{∞}でのfiberの和になる。
fiberは、
P(C⊕1)と
YのXにおけるblow-upのP(C)での貼り合わせになっている。
そこで、
Gysin-mapとexcision exact sequenceにより
specialization mapを構成する。
Topics in algebraic geometry: Introduction to intersection theory in algebraic geometry
http://math.stanford.edu/~vakil/245/
INTRODUCTION TO CHARACTERISTIC CLASSES AND INDEX THEORY
http://www.analg.ulg.ac.be/jps/rec/icc.pdf
3.については、
Sheaves on Manifolds(Kashiwara-Schapira)
で、
normal coneをパラメータを実直線として、さらに正の実数に制限する形で、
任意の部分集合に対して定義している。
(Def4.1.1)
X上の層、もしくは有界複体にquasi-isoな導来圏の対象Fに対して、
Xの部分多様体Mへのspecialization
ν_{M}(F)が定義され、
supp(ν_{M}(F))⊂supp(F)
を満たす。(Th4.2.3)
ν_{M}(F)のFourier-Sato変換として、microlocalization
μ_{M}(F)が定まる。(Def4.3.1)
specialization、microlocalizationは複素多様体のもとでは、
nearby-cycle,vanishing-cycleに対応する。(Prop8.6.3)
Fのmicrosupport SS(F)が定義される。(Def5.1.2)
microsupportを見ることにより、
大域切断の部分多様体への制限での不変性などを議論することができるようになる。(Prop5.2.1)
また、microsupportに対する仮定から、morse理論のような
パラメータに対して不変な性質を定式化できる。(Prop5.4.17)
X上の可構層Fに対して、characterinstic class(Euler類)
C(F)を定義するには、
トレース射と対角線埋め込みを用いる。(Def9.1.2)
写像f:X->Yに対する振る舞いは、
support上properの仮定のもとで順像に関してはTh9.1.7。
C(F)はX上の幾何的な情報だが、
Xの余接束上の幾何的な情報、Lagrangianとして、
characteristic cycle CC(F)が定義される。(Def9.4.1)
support上properの仮定のもとで順像に関してはProp9.4.2、
non-characteristicの仮定のもとで逆像に関してはProp9.4.3
で関手性が示されている。
C(F)とCC(F)の関係は、Prop9.5.1。
では、標数pの場合にはどうなるのだろうか?
Holonomic D-modules and positive characteristic
http://arxiv.org/pdf/1010.2908v1
Wild Ramification and the Cotangent Bundle
http://arxiv.org/abs/1301.4632v1
幾何的な対象Xの上部構造に対して、
Xの幾何的な情報を対応させたい。
とくにXに対してコホモロジー群が定義できる場合には、
幾何的な情報としてコホモロジーの元をとることが考えられる。
これは、Xの上部構造に対してベクトル空間の元を対応させることになるが、
それが関手的であることを要請したい。
すなわち、
幾何的な対象からなる圏C
が存在して、Cの対象Xに対してベクトル空間H(X)が関手的に対応する状況で、
X上の圏Vの対象Fに対して、H(X)の元c(F)を対応させる、
という状況。
このような状況として現れるのが、
1.
C:実可微分多様体の圏、X:実可微分多様体
V:X上のベクトル束の圏、E:X上のベクトル束
c:Euler類、Stiefel-Whitney類、Chern類
2.
C:代数多様体の圏、X:代数多様体
V:X上のベクトル束の圏、E:X上のベクトル束
c:Chern類
3.
C:実解析的多様体の圏、X:実解析的多様体
V:X上の可構層の圏、F:X上の可構層
c:特性類、特性Cycle
といった場合がある。
1.については、
公理系として、
- ベクトル束からコホモロジーの元への対応
- 自然性
- 積公式
- 非自明性
- Euler類による最高次数の表示
により、
向き付けを考慮しない場合にStiefel-Whitney類、
複素ベクトル束の場合(向き付け可能)に限定してChern類、
が定まる。
存在には、
ベクトル束の基本コホモロジー類とThom同型、
分類空間の存在とそのコホモロジー環の具体的な表示、
が使用される。
2.については、法束(管状近傍)は部分多様体がなめらかでない場合はそのままでは使用できないので、
normal coneを用いる。
E:X上のベクトル束に対して、自明束との直和の射影化P(E⊕1)は、
P(E)とEの非交和になる。
よって帰納法によりE,P(E)のChow群をXのChow群で表すことができる。
Yの部分多様体Xに対して、
C_{X}(Y): YのXに沿ったblow-upのexceptional divisorに付随するcone
としてnormal coneを定義する。
Y*P^{1}のX*{∞}でのblow-upは、P-{1]へ射影して、
Y*A^{1}と、
Y*{∞}でのfiberの和になる。
fiberは、
P(C⊕1)と
YのXにおけるblow-upのP(C)での貼り合わせになっている。
そこで、
Gysin-mapとexcision exact sequenceにより
specialization mapを構成する。
Topics in algebraic geometry: Introduction to intersection theory in algebraic geometry
http://math.stanford.edu/~vakil/245/
INTRODUCTION TO CHARACTERISTIC CLASSES AND INDEX THEORY
http://www.analg.ulg.ac.be/jps/rec/icc.pdf
3.については、
Sheaves on Manifolds(Kashiwara-Schapira)
で、
normal coneをパラメータを実直線として、さらに正の実数に制限する形で、
任意の部分集合に対して定義している。
(Def4.1.1)
X上の層、もしくは有界複体にquasi-isoな導来圏の対象Fに対して、
Xの部分多様体Mへのspecialization
ν_{M}(F)が定義され、
supp(ν_{M}(F))⊂supp(F)
を満たす。(Th4.2.3)
ν_{M}(F)のFourier-Sato変換として、microlocalization
μ_{M}(F)が定まる。(Def4.3.1)
specialization、microlocalizationは複素多様体のもとでは、
nearby-cycle,vanishing-cycleに対応する。(Prop8.6.3)
Fのmicrosupport SS(F)が定義される。(Def5.1.2)
microsupportを見ることにより、
大域切断の部分多様体への制限での不変性などを議論することができるようになる。(Prop5.2.1)
また、microsupportに対する仮定から、morse理論のような
パラメータに対して不変な性質を定式化できる。(Prop5.4.17)
X上の可構層Fに対して、characterinstic class(Euler類)
C(F)を定義するには、
トレース射と対角線埋め込みを用いる。(Def9.1.2)
写像f:X->Yに対する振る舞いは、
support上properの仮定のもとで順像に関してはTh9.1.7。
C(F)はX上の幾何的な情報だが、
Xの余接束上の幾何的な情報、Lagrangianとして、
characteristic cycle CC(F)が定義される。(Def9.4.1)
support上properの仮定のもとで順像に関してはProp9.4.2、
non-characteristicの仮定のもとで逆像に関してはProp9.4.3
で関手性が示されている。
C(F)とCC(F)の関係は、Prop9.5.1。
では、標数pの場合にはどうなるのだろうか?
Holonomic D-modules and positive characteristic
http://arxiv.org/pdf/1010.2908v1
Wild Ramification and the Cotangent Bundle
http://arxiv.org/abs/1301.4632v1
2012年11月21日水曜日
サマースクール 復習 その23
Finite volume flows and Morse theory
http://arxiv.org/abs/math/0101268v1
de-Rhamによる、
微分形式を用いたcohomology類の表現と
currentを用いたhomology類の表現があり、
積分によりPoincare dualityが表現される。
(e.g. http://www.math.upenn.edu/~ghrist/EAT/EATchapter6.pdf
http://www-math.mit.edu/~rbm/papers/deRham.11.May.2011.pdf)
コンパクト多様体Xに対して、
時間tをパラメータとするsmooth flow φ_{t}:X->X
が与えられると、これから、
P: φによるt->+∞における極限を対応させるpull-backによる微分形式への写像
を考えることができるが、φがfinite volume flowのときには、これは収束し(Th1.2)、
Pは微分形式からcurrentsへの写像を誘導する。
一方で、
I:微分形式からcurrentsへのinclusion
に対して、
IとPはあるchain mapTを用いてchain homotopicであることが示せる(Th2.3)。
これから、IとPはcohomology上で同じ写像を与えるが、Iはisomorphismを与えるので、
結局Pはcohomology上のisomorphismを与えることになる。
この議論をf:X->Rが実数値Morse関数の時に、
critical setsを安定多様体と不安定多様体に分割して、φを具体的に与えることによって(式(3.2))、
安定多様体からなるcohomologyの生成元と微分の表現を与えることができる。
(Th3.3, Th4.1, Th4.2)
これは、X*Xにおける対角線のresolutionを与えている、と見ることができる。
Boundary values, Fourier-Sato transform and Laplace transform
http://www.math.jussieu.fr/~schapira/respapers/BV.pdf
のLem5.1では、quadratic coneのFourier-Sato変換の計算をしている。
specializationはγ-topologyを入れた実直線上にログ構造を入れて、
その上でghostを見ていることに対応する(はず)。
microlocalizationはspecializationのFourier変換であるが、
実数上ではtempered distributionが必要になる。
標数pにおけるl進層での類似物では、Deligne-LaumonのFrouier変換が存在する。
On algebraic models for morse homotopy and their noncommutative deformations
http://www2.yukawa.kyoto-u.ac.jp/~kajiura/msj-kikagaku2006.pdf
An $A_\infty$-structure for lines in a plane
http://arxiv.org/abs/math/0703164v1
実2次元平面内の直線の組みに対してそれで囲まれる多角形を対応させて、
A∞圏を構成している。
ただし、1つの直線のself-intersectionやtransversalでない場合の問題があるので、
微分形式とcurrentsによる別の圏の構成をして、
ホモトピー同値性により、所望の圏を構成する。(Th3.2)
distributionの積は一般には定義されないが、
佐藤超函数と見てmicro supportを確認すれば積が定義できる。
そのため、デルタ関数とstep関数で生成されるDG代数を定義し(Def3.3)、
それを用いてself-intersectionの場合の代数を定義する。(Th3.7)
Homological mirror symmetry and torus fibrations
http://arxiv.org/abs/math/0011041v2
2012年11月12日月曜日
サマースクール 復習 その22
* 熱力学
熱力学の本(田崎)を見てみると、
熱平衡という概念があり、
平衡状態は、
環境という概念と、線形関数である示量変数の概念によって指定される。
環境と示量変数の組が状態空間を定め、状態空間上の関数として、状態量が定まる。
平衡状態に対する操作として、
- 環境を変化させない等温操作
- 環境に変化を許す断熱操作
の2種類がある。
操作に対して不変な式として状態方程式が存在する。
熱力学特有の概念として、
- 最大仕事と呼ばれる示量変数
が存在し、等温操作における仕事は最大仕事に等しい。
最大仕事を用いて、熱力学関数であるHelmholzの自由エネルギーが定まる。
すなわち、断熱操作に対する依存性が記述できる。
Helmholzの自由エネルギーの、
断熱操作の環境のパラメータに対する依存性を記述する示量変数として、
エントロピー、
が定義される。
状態に対する操作は一般に可逆ではなく、非可逆性を表す尺度として、
エントロピーが用いられる。
以上の概念を、もう少し馴染みやすい数学の言葉でアナロジーを作ってみる。
Constructuble sheafという概念があり、
Constructible sheafは、
sheafが定義される空間という概念と、Grothendieck群上の線形関数であるConstructible functionによって(一意ではなく)指定される。
Constructible sheafに対する操作として、
- 空間を変化させずGrothendieckのsix operationを行う
- 空間の変形(A,B-model双方の意味で緩く)
の2種類がある。
操作に対して不変な式として、相対Riemann-Roch(あるいはConstructible shaefに対するindex theorem)が存在する。
空間変形に対する依存性として、障害類の概念が定まる。
また、接続によるliftingにより、断熱操作に対応する状態が定まる。
非可逆性に対する尺度として、"重み"が対応するべきと思われるが、
"重み"は、Constructible sheafを単純層のextenstionで書いた時の矢印の向きを規定するもので、
そのままでは、示量変数とはならない。
* 統計力学
熱力学は、マクロな概念である熱の起源の説明を、ミクロの世界の言葉を使用する統計力学に委ねた。
では、そのアナロジーとして、Constructible sheafをよりミクロな世界の言葉で記述できるか、
という疑問が生じるが、
空間を固定した時に、
その上のConstructible sheafの複体のなすdg圏と
その余接空間をSymplrectic多様体と見た時の深谷圏のtriangulated envelopの圏が、
microlocalizationを通して同値、
ということが成り立つ。(空間はコンパクト実解析的多様体)
深谷圏におけるブレーンの射は擬正則多角形の個数であるから、
これはミクロな言葉で記述されている、と思ってよいだろう。
Constructible Sheaves and the Fukaya Category
http://arxiv.org/abs/math/0604379v4
Microlocal branes are constructible sheaves
http://arxiv.org/abs/math/0612399v4
Fukaya categories as categorical Morse homology
http://arxiv.org/abs/1109.4848v1
Springer theory via the Hitchin fibration
http://arxiv.org/abs/0806.4566v3
l進層およびLaumonのFourier変換の代わりにmicrolocal geometryの言葉を用いる。
* l進層における重み
l進層においては、Weil予想により"重み"は定義されていて、
良い性質を持っている。
http://www.ams.org/journals/bull/2009-46-04/S0273-0979-09-01268-3/S0273-0979-09-01268-3.pdf
Q:l進層において、なんらかのブレーンの深谷圏による記述は存在するか?
- l進層において、microlocalizationにおける特性cycleに対応する概念は存在する
INTRODUCTION TO WILD RAMIFICATION OF SCHEMES AND SHEAVES
http://swc.math.arizona.edu/aws/2012/2012MiedaSaitoNotes.pdf
l 進層の特性類と分岐について
http://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~t-saito/jd/ag.pdf
Q:l進層のブレーンによる記述によりKatz-Sarnakの定理の自然な解釈ができるか?
* 混合モチーフの圏
l進層、Hodge加群といった"重み"の存在する圏の親玉に対応するものとして、
混合モチーフの圏がある(だろうと思われている)。
導来圏は構成されている。
Q:もしl進層の導来圏にブレーン解釈が存在するなら、混合モチーフの導来圏にも同様の解釈ができないか?
ただし、
その場合のブレーンに対応するものは、
宇宙際理論によれば、簡単に記述できるものでは無さそうだ。
熱力学の本(田崎)を見てみると、
熱平衡という概念があり、
平衡状態は、
環境という概念と、線形関数である示量変数の概念によって指定される。
環境と示量変数の組が状態空間を定め、状態空間上の関数として、状態量が定まる。
平衡状態に対する操作として、
- 環境を変化させない等温操作
- 環境に変化を許す断熱操作
の2種類がある。
操作に対して不変な式として状態方程式が存在する。
熱力学特有の概念として、
- 最大仕事と呼ばれる示量変数
が存在し、等温操作における仕事は最大仕事に等しい。
最大仕事を用いて、熱力学関数であるHelmholzの自由エネルギーが定まる。
すなわち、断熱操作に対する依存性が記述できる。
Helmholzの自由エネルギーの、
断熱操作の環境のパラメータに対する依存性を記述する示量変数として、
エントロピー、
が定義される。
状態に対する操作は一般に可逆ではなく、非可逆性を表す尺度として、
エントロピーが用いられる。
以上の概念を、もう少し馴染みやすい数学の言葉でアナロジーを作ってみる。
Constructuble sheafという概念があり、
Constructible sheafは、
sheafが定義される空間という概念と、Grothendieck群上の線形関数であるConstructible functionによって(一意ではなく)指定される。
Constructible sheafに対する操作として、
- 空間を変化させずGrothendieckのsix operationを行う
- 空間の変形(A,B-model双方の意味で緩く)
の2種類がある。
操作に対して不変な式として、相対Riemann-Roch(あるいはConstructible shaefに対するindex theorem)が存在する。
空間変形に対する依存性として、障害類の概念が定まる。
また、接続によるliftingにより、断熱操作に対応する状態が定まる。
非可逆性に対する尺度として、"重み"が対応するべきと思われるが、
"重み"は、Constructible sheafを単純層のextenstionで書いた時の矢印の向きを規定するもので、
そのままでは、示量変数とはならない。
* 統計力学
熱力学は、マクロな概念である熱の起源の説明を、ミクロの世界の言葉を使用する統計力学に委ねた。
では、そのアナロジーとして、Constructible sheafをよりミクロな世界の言葉で記述できるか、
という疑問が生じるが、
空間を固定した時に、
その上のConstructible sheafの複体のなすdg圏と
その余接空間をSymplrectic多様体と見た時の深谷圏のtriangulated envelopの圏が、
microlocalizationを通して同値、
ということが成り立つ。(空間はコンパクト実解析的多様体)
深谷圏におけるブレーンの射は擬正則多角形の個数であるから、
これはミクロな言葉で記述されている、と思ってよいだろう。
Constructible Sheaves and the Fukaya Category
http://arxiv.org/abs/math/0604379v4
Microlocal branes are constructible sheaves
http://arxiv.org/abs/math/0612399v4
Fukaya categories as categorical Morse homology
http://arxiv.org/abs/1109.4848v1
Springer theory via the Hitchin fibration
http://arxiv.org/abs/0806.4566v3
l進層およびLaumonのFourier変換の代わりにmicrolocal geometryの言葉を用いる。
* l進層における重み
l進層においては、Weil予想により"重み"は定義されていて、
良い性質を持っている。
http://www.ams.org/journals/bull/2009-46-04/S0273-0979-09-01268-3/S0273-0979-09-01268-3.pdf
Q:l進層において、なんらかのブレーンの深谷圏による記述は存在するか?
- l進層において、microlocalizationにおける特性cycleに対応する概念は存在する
INTRODUCTION TO WILD RAMIFICATION OF SCHEMES AND SHEAVES
http://swc.math.arizona.edu/aws/2012/2012MiedaSaitoNotes.pdf
l 進層の特性類と分岐について
http://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~t-saito/jd/ag.pdf
Q:l進層のブレーンによる記述によりKatz-Sarnakの定理の自然な解釈ができるか?
* 混合モチーフの圏
l進層、Hodge加群といった"重み"の存在する圏の親玉に対応するものとして、
混合モチーフの圏がある(だろうと思われている)。
導来圏は構成されている。
Q:もしl進層の導来圏にブレーン解釈が存在するなら、混合モチーフの導来圏にも同様の解釈ができないか?
ただし、
その場合のブレーンに対応するものは、
宇宙際理論によれば、簡単に記述できるものでは無さそうだ。
2012年11月6日火曜日
サマースクール 復習 その21
SERRE-TATE LOCAL MODULI
https://web.math.princeton.edu/~nmk/old/serretatelocmod.pdf
標数pの世界から標数0の世界に持ち上げる、ということを問題にする。
一番簡単な場合は、group schemeであるが、
変形を持たないschemeの場合は面白くない。
そこで、abelian schemeの持ち上げが問題となる。
標数pの完全体k上のabelian schemeと
W(k)上のabelian schemeの比較を行うことが目的となる。
そのために、
Th1.2.1(Serre-Tate)で、
R: pがnilpotentな環
I:Rのイデアル
R0=R/I
に対して、
R上のabelian schemeの圏と、
R0上のabelian scheme + R上のBarsotti-Tate group + R0上でのabelian schemeとBT groupの同型写像のなす圏、
を定義して、両者が圏同値であることを示している。
この圏同値が有効に利用できるのは、標数pの体k上のordinary abelian varietyの場合で、
- dual abelian varietyの存在
- etale partのunique lifting
- troidal partとetale partのdualityによる対応
を用いて、
Th2.1が示される。
すなわち、formal deformation spaceにはformal torusの構造が入り、
W(k)上、その原点に対応するcanonical liftingが存在する。
さらに、
canonical liftingのEndomorphismsはreductionのEndomorphismsとbijectiveになる。
背後にあるのは、複素数体上では、アーベル多様体の複素Lie群の構造から、
1-jet(あるいはAtiyah-class)をとると、
不変微分型式のなすベクトル空間によるextensionが存在し、
Hodge構造によるcohomologyの分解となっている、
そして、それはGauss-Manin connectionに対応している、ということ。
Barsotti-Tate groupの場合は、接続に対応してCrystalが構成でき、
さらにCrystalline cohomologyに入るp進Hodge分解によるFiltration
が対応する。
それを、Kodaira-Spencer mapとして具体的に記述しているのが、
Th3.7.1。
deformation space上のformal abelian schemeの1次元de-Rham cohomology
のHodge分解と、Frobenius写像の持ち上げの作用をみる。
http://math.stanford.edu/~conrad/papers/notes.pdf
12. Applications to p-divisible groups and finite group schemes
Theorem 12.1.5 (Grothendieck-Messing)
"The Crystals Associated to Barsotti-Tate Groups"(Messing)
http://math.arizona.edu/~cais/scans/Messing-The_crystals_associated_to_Barsotti-Tate_groups/5.pdf
では、Appendix Prop3.2,3.3で
ordinary elliptic curveの場合の議論をしている。
https://web.math.princeton.edu/~nmk/old/serretatelocmod.pdf
標数pの世界から標数0の世界に持ち上げる、ということを問題にする。
一番簡単な場合は、group schemeであるが、
変形を持たないschemeの場合は面白くない。
そこで、abelian schemeの持ち上げが問題となる。
標数pの完全体k上のabelian schemeと
W(k)上のabelian schemeの比較を行うことが目的となる。
そのために、
Th1.2.1(Serre-Tate)で、
R: pがnilpotentな環
I:Rのイデアル
R0=R/I
に対して、
R上のabelian schemeの圏と、
R0上のabelian scheme + R上のBarsotti-Tate group + R0上でのabelian schemeとBT groupの同型写像のなす圏、
を定義して、両者が圏同値であることを示している。
この圏同値が有効に利用できるのは、標数pの体k上のordinary abelian varietyの場合で、
- dual abelian varietyの存在
- etale partのunique lifting
- troidal partとetale partのdualityによる対応
を用いて、
Th2.1が示される。
すなわち、formal deformation spaceにはformal torusの構造が入り、
W(k)上、その原点に対応するcanonical liftingが存在する。
さらに、
canonical liftingのEndomorphismsはreductionのEndomorphismsとbijectiveになる。
背後にあるのは、複素数体上では、アーベル多様体の複素Lie群の構造から、
1-jet(あるいはAtiyah-class)をとると、
不変微分型式のなすベクトル空間によるextensionが存在し、
Hodge構造によるcohomologyの分解となっている、
そして、それはGauss-Manin connectionに対応している、ということ。
Barsotti-Tate groupの場合は、接続に対応してCrystalが構成でき、
さらにCrystalline cohomologyに入るp進Hodge分解によるFiltration
が対応する。
それを、Kodaira-Spencer mapとして具体的に記述しているのが、
Th3.7.1。
deformation space上のformal abelian schemeの1次元de-Rham cohomology
のHodge分解と、Frobenius写像の持ち上げの作用をみる。
http://math.stanford.edu/~conrad/papers/notes.pdf
12. Applications to p-divisible groups and finite group schemes
Theorem 12.1.5 (Grothendieck-Messing)
"The Crystals Associated to Barsotti-Tate Groups"(Messing)
http://math.arizona.edu/~cais/scans/Messing-The_crystals_associated_to_Barsotti-Tate_groups/5.pdf
では、Appendix Prop3.2,3.3で
ordinary elliptic curveの場合の議論をしている。
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