vanishing cycles

Lectures on D-modules
http://www.math.columbia.edu/~scautis/dmodules/ginzburg.pdf
微分作用素は掛け算作用素と非可換だが、filtrationを入れることにより、
可換環への写像を作ることができる。
従って、
- D加群に対してよいfiltrationを入れてgraded algebraの性質を見る
- filtrationの取り方によらない性質を取り出す
という方針がある。
特性多様体は、D加群から取り出せるfiltrationによらない可換環の性質。
非可換と可換をつなぐ性質として、Noether性、有限生成の仮定の元、
特性多様体のPoisson括弧に対するinvolutivityが成り立つ。

可換環において局所化による単純化は有用だったが、D加群においても、
超局所化により、微分作用素の局所的な振る舞いを取り出すことができる。

左D加群と右D加群の間にvolume-formを用いて対応を付けることができる。

* 直線上のD加群の例
O=D/D∂, δ=D/Dt
がある。
これは、D加群に対する操作として、積分と制限があるが、
積分に対応するのは、水平方向に制限する操作なので∂で割る。
制限は、O加群としてのskyscrapper層を取ってみればO/tOなので、
D加群としてD/Dtが制限に対応する。
Fourier変換で互いに移ること、特性多様体が水平、垂直方向の直線であることに注意する。
0->O->C[t,t^{-1}]->D/Dt->0
が成り立つ。
つまり、0->D/D∂->C[t,t^{-1}]->D/Dt->0,
C[t,t^{-1}]=D(1/t)=D/D(t∂)となる。
これは佐藤超関数としてのδ関数が[1/t]であったことに対応する。

log(t)を∂log(t)=1/tの解を表す記号とする。
D(log(t))はD(1/t)=C[t,t^{-1}]=D/D(t∂)を含み、
商O(log(t))はO=D/D∂と同型なので、
0->D/D(t∂)->D(log(t))->D/D∂->0
となり、
D(log(t))=D/D(∂t∂)
となる。

直線を1点とそれ以外に分解してD加群の貼り合わせを考える。
X=Spec(C[t]), R=C[t,t^{-1}], U = Spec(R) j:U->X i:Y={0}->X
として、
logによるextenstionをみる。
すなわち、
j_{*}Log^{n-1}=D((∂t)^n)
j_{!}Log^{n-1}=D((t∂)^n)
となるD加群を見る。
Malgrange construction(4.6.36)によりt^sという記号を導入できて、
Residue pairingにより、
Log^{n-1})=R t^s[s]/s^n R t^s [s]
が成り立つ。(lem4.6.5)
これからlimを取ることにより、佐藤グラスマン多様体のC((s))による記述が対応してくる。
貼り合わせは、Def4.6.28のGlueing categoryによって与えられる。
Def4.12.26でNearby functorが定義される。

* 順像、逆像、duality
スキームの場合と異なり重複度を見ているので、
冪零分の不定性はなく閉集合への制限は圏同値となる。

* 連接性、holonomicD加群
O-加群として連接なD加群はlocal systemになる。
これは、特性多様体が0-sectionに含まれるので、holonomicD加群の一例になる。


Notes on Perverse Sheaves and Vanishing Cycles
http://arxiv.org/abs/math/9908107v5

Vanishing cycles and mutation
http://arxiv.org/abs/math/0007115v3

単位円盤内の1点に関するvanishing cyclesは佐藤グラスマン多様体内のLagrangianで解釈できる。
すなわち、1点をreal blow-upしたS1上のL^2空間内のLagrangian全体が佐藤グラスマン多様体
であり、vanishing cyclesを与えることとLagrangianを与えることが対応する。(要check)
同様にvanishing cyclesをLagrangian部分多様体として解釈したい。

A1型の場合
SL(2)表現のモノドロミー保存変形
1-Matrix Model
スペクトル曲線としての超楕円曲線
球面の接バンドル
という関連があった。
超楕円曲線と球面の接バンドルの対応は、
Homological Mirror Symmetryの立場で解釈できるだろう。
Exact Lagrangian submanifolds of $T^*S^n$ and the graded Kronecker quiver
http://arxiv.org/abs/math/0401212v1

では、
An型ではどうなるか?
A2型に対応するモノドロミー保存変形は、2-Matrix Model(Cauchy 2-model)により与えられるので、
An型に対応するモノドロミー保存変形はn-Matrix Modelにより与えられそうだ。
そのスペクトル曲線はn次分岐を持つ曲線となる。
問題は、
このスペクトル曲線のJacobianにJacobi-Moser-Mumford型の可積分系が存在するか?
Jacobian-テータ因子を束ねた空間として現れる空間は何か?
その空間はHMSの対応で解釈できるか?
ということになる。

Lagrangian homology spheres in (A_m) Milnor fibres via C^*-equivariant A_infinity modules
http://arxiv.org/abs/1202.1955v3
をみると、Am型の空間の候補として、Springer fibersの空間が考えられる。

Matrix-Modelには直交多項式が有効だった。
では、その高次元化として、
Calabi-Yau多様体のHMSに現れるテータ関数をタウ関数に持つmatrix-Model
を定義することはできるだろうか?
Lagrangian fibrations on blowups of toric varieties and mirror symmetry for hypersurfaces
http://arxiv.org/abs/1205.0053

モノドロミー保存変形のタウ関数

* 直交多項式の性質
- 与えられた測度に対するL2空間の直交基底をなす
- 直交多項式からL2空間に関するKernel関数を定義することができる
- 3項漸化式により逐次計算できる

* 直交多項式と1-Matrix Model(1-MM)の関係
- 直交多項式を定義するのに用いた測度により1-MMを定義することができる
- 直交多項式から定まるKernel関数により2体相関関数が計算できる
- 多体相関関数は2体相関関数の計算に帰着する
- 1-MMの分配関数は直交多項式のnormsにより逐次計算できる
- 1-MMの分配関数はポテンシャルの時間発展に関してKP階層のタウ関数となっている
- 直交多項式によるHilbert空間内の基底表示からKPタウ関数を計算する行列式を表すことができる
([2] Appendix)


* 直交多項式のなすD加群 ([1]Th2.1 [2]Th2.1)
- 掛け算作用素は3重対角行列
- 2*2行列を用いて微分作用を書くことができる
これは、ポテンシャルによるtwist部分をあらわに計算することにより出てくる。
部分積分による反対称作用の記述のためにquasi-polynomialsを用いる。
- ポテンシャルと掛け算作用素を用いて微分作用を表すことができる
ポテンシャルの微分に関するFaber多項式になる。

* ポテンシャルが多項式の場合
* モノドロミー保存変形(IM)のタウ関数と1-MMの分配関数
- 定数倍を除き一致する([2]Th2.4)
- 積分路([2](2-5))
1-MMを計算する固有値の入る積分路は、
ポテンシャルにあわせて複素領域内の曲線とする。
そのため、直交多項式を定める測度も複素測度となる。
これによりStokes sectorsを与えることができる。
- 1-MMの分配関数とスペクトル曲線([2]Th2.3)
(n,n+1)次の直交多項式の微分作用の多項式表示
が定めるスペクトル曲線が1-MMの分配関数と関係する。
- Virasoro作用
1-MM分配関数にも、IM-タウ関数にもVirasoro作用がある。
0,-1次の作用が異なっていてその比較により定数が出てくる。([2](2-60))

* ポテンシャルが有理関数の場合
[3]で上記の結果を拡張している。

[1]A concise expression for the ODE's of orthogonal polynomials
http://arxiv.org/abs/math-ph/0109018v1

[2]Partition functions for Matrix Models and Isomonodromic Tau functions
http://arxiv.org/abs/nlin/0204054v4

[3]Semiclassical orthogonal polynomials, matrix models and isomonodromic tau functions
http://arxiv.org/abs/nlin/0410043v1

microlocal analysis

Three lectures on Algebraic Microlocal Analysis
http://arxiv.org/abs/1206.1435v1

microlocal homによるSerre functorの実現。
これから、Hall代数的な扱いができるのでは?

l 進層の特性類と分岐について
http://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~t-saito/jd/ag.pdf


Riemann-Roch theorems via deformation quantization
http://arxiv.org/abs/alg-geom/9705014

Riemann-Roch Theorems via deformation quanitzation I
http://arxiv.org/abs/math/9904121v1
Riemann-Roch via deformation quantization, II
http://arxiv.org/abs/math/0002115v2

Donaldson-Thomas invariants via microlocal geometry
http://arxiv.org/abs/math/0507523v2

Ribbon Graphs and Mirror Symmetry I
http://arxiv.org/abs/1103.2462v1

Constructible Sheaves and the Fukaya Category
http://arxiv.org/abs/math/0604379v4

Polytopes and Skeleta
http://arxiv.org/abs/1109.4430v1

クラスター

* Seiberg-Witten曲線
Seiberg-Witten integrable systemshttp://arxiv.org/abs/alg-geom/9705010v1

Geometry and physics of localization sums
http://www.math.columbia.edu/~thaddeus/seattle/okounkov.pdf

Donaldson-Thomas theoryは、
target space内の空間をイデアル層で数え上げるもの。
そのために、コホモロジー類(degree)、genus, Euler数をパラメータとするHilbert schemeを用いる。
target spaceがtoric Calabi-Yau 3foldの場合、
virtual fundamental classは0次元。
toricの場合、トーラス作用がHilbert schemeにあり、
局所化による計算が可能になり、DTの母関数はトーラス作用の孤立不動点の和になる。
トーラス作用の不動点は、凸多面体の頂点に対応する。
結晶溶解モデルにより統計力学の考え方に則って、

エネルギー=-化学ポテンシャル*体積+const*面積
として平衡状態のパラメータの条件を見ると、
化学ポテンシャルとDTのgenus依存性が対応し、
凸多面体の辺の長さとDTのdegree依存性が対応する。
熱力学的極限は、
化学ポテンシャルが0になる極限、すなわち、DTのgenus依存部分が0の場合。

この場合、
離散的な凸多面体の極限であるlimit shapeが現れるが、
これは、Ronkin関数を用いて記述される(実)代数曲線となり、
mirror curveである。
すなわち、Seiberg-Witten曲線となる。



行列模型とストークス現象
http://www2.yukawa.kyoto-u.ac.jp/~tada/matrix/pdfs/Irie.pdf

行列模型においてlargeN極限とは、
離散的に定義された三角形分割による離散曲面に対する経路積分の、
meshの目の細かさに対する連続極限に対応する。
すなわち、弦の摂動展開。
行列模型のスペクトル曲線は、lageN極限における固有値の分布の情報を持っているので、
摂動的物理量はスペクトル曲線の情報から計算できる。
この場合、スペクトル曲線=Seiberg-Witten曲線。

一方、
非摂動的に化学ポテンシャルを入れた場合の分配関数は、
Seiberg-Witten曲線の情報だけでは定まらない。

Seiberg-Witten曲線は熱力学的極限、
あるいは、半古典近似であるから、
WKB法によるシュレーディンガー方程式の解の近似と
関係があることが想像される。

* WKB法
特異摂動の代数解析学
https://www.jstage.jst.go.jp/article/sugaku1947/45/4/45_4_299/_pdf

1次元シュレディンガー方程式を、ポテンシャルQ(x)で用いて表した時に、
Q(x)^{1/2}をSeiberg-Witten曲線と見なしたい。
それが(1.4)の漸化式。
解のBorel変換を波動方程式の解と見る
(1.9)は、陪特性曲線に沿って特異性が伝搬する、
ということを示しているが、
これはEynardのスペクトル曲線における(y,x)の積分、あるいはSeiberg-Witten微分の積分
の一つの解釈になる。

Stokes曲線を変わり点を頂点とする2部グラフとみなすと、
Q(x)がFuchs型の微分方程式として与えられる場合には、
モノドロミー表現は2部グラフに対する組み合わせ的操作によって記述できる。

- 一番簡単な場合はAiry関数の場合で、これはQ(x)=xの場合に相当する。
- Random matrix側でのRiemann-Hilbert問題の解法との関係は?
- Q(x)のアメーバとStokes曲線の関係は?
- モノドロミー保存変形の場合に許される操作は?
- Stokes曲線とtrain tracksとの関係は?
といった疑問が生じる。


* 1点で分岐している場合NOTES ON PSI CLASSES
http://www.mat.uab.es/~kock/GW/notes/psi-notes.pdf
Invariants of spectral curves and intersection theory of moduli spaces of complex curves
http://arxiv.org/abs/1110.2949v1

* モノドロミー保存変形とHitchin Hamiltonian
Quantized moduli spaces of flat connections, Liouville theory, and integrable models
http://online.itp.ucsb.edu/online/integral11/teschner/pdf/Teschner_Integral11_KITP.pdf

Quantization of the Hitchin moduli spaces, Liouville theory, and the geometric Langlands correspondence I
http://arxiv.org/abs/1005.2846v4

G=SL(2)の場合に、
a) Fuchs型の微分方程式のモノドロミー保存変形
b) Liouville theory
c) Hitchin系(の量子化)
に対応がある。

* タイヒミュラー空間
Moduli spaces of local systems and higher Teichmuller theory
http://arxiv.org/abs/math/0311149v4
上記のa),b),c)の対応を一般の簡約群Gで定義するためには、
タイヒミュラー空間が定義される必要がある。
そのため、positeive representationの概念を定義し、
そのmoduliを定義する。

* クラスター代数
http://www.math.tohoku.ac.jp/~kuroki/LaTeX/201205Nagao/

クリスタリン

* 標数0でのalgebraic de Rham cohomology
Basics of Algebraic de Rham Cohomology
http://www.math.harvard.edu/~jay/writings/derham.pdf
で、Grothendieckによる代数的なde Rham cohomologyと解析的de Rham cohomologyのisomorphism
が説明されている。
properでない場合は広中の特異点解消定理によりsmooth proper schemeに埋め込んで議論をする。
埋め込み方によらず、complementで任意位数の極を持つ微分形式が定義でき、
GAGAが使用できる点がポイント。

ON THE DE RHAM COHOMOLOGY OF ALGEBRAIC VARIETIES
http://www.math.brown.edu/~wgillam/dR.pdf
のExample1に、
局所環に対応するde Rham complexとその点での形式環に対応するde Rham complex
の比較に言及されている。

ON THE DE RHAM COHOMOLOGY OF ALGEBRAIC VARIETIES
http://archive.numdam.org/ARCHIVE/PMIHES/PMIHES_1975__45_/PMIHES_1975__45__5_0/PMIHES_1975__45__5_0.pdf
section7でAmbient spaceの方を元のschemeに沿って完備化し、normal bundleを取る、という形で定式化を行っている。

Comparison theorems between algebraic and analytic De Rham cohomology (with emphasis on the p-adic case)
http://www.emis.de/journals/JTNB/2004-2/pages335-355.pdf
Grothendieckの同型対応を、定数層から係数を代数的ベクトル束とした場合、
問題になるのは、微分、すなわち接続の特異性(分岐)で、
これが穏やかでないと、単純な同型対応はできない。

devissageにより、射影直線上の分岐被覆について成り立てば全体で成り立つ、
という議論に帰着できる場合がある。
ただし、複素数の場合とp進の場合で、収束の状況が異なり、
微分方程式が解けるためにパラメータがLiouville数でない、など制限がつく場合がある。

* inifinitesimal site
http://www.math.harvard.edu/~gaitsgde/grad_2009/SeminarNotes/Nov17-19%28Crystals%29.pdf
標数0の場合、crystalはinifinitesimal site上のtoposとして定義される。
可微分多様体の場合には、jetという概念があり、
関数のテーラー展開の提示の項のみを取り出す操作ができた。
これを代数的に行うと、infinitesimal siteとなり、
そのsite上での層の圏がinfinitesimal toposとなる。

Cohomology of the Infinitesimal site
http://archive.numdam.org/ARCHIVE/ASENS/ASENS_1975_4_8_3/ASENS_1975_4_8_3_295_0/ASENS_1975_4_8_3_295_0.pdf
Th4.6でinifinitesimal site上のcohomologyを計算している。
また、標数pの場合にinifinitesimal site上のcohomologyはetale cohomologyとなり、
crystalline cohomologyのstable partとなることを示している。

* divided power
DIFFERENTIAL EQUATIONS IN DIVIDED POWER ALGEBRAS, RECURRENCE RELATIONS AND FORMAL GROUPS
http://www.maths.gla.ac.uk/~ajb/dvi-ps/recde.pdf
Hopf代数の観点から見ると、divided powerは解り易い。
(dualはLie代数のenvelopping algebraになるが、q-deformのような話はあるのだろうか?)

* 標数pでsmooth schemeの場合
Notes on Crystalline cohomology
http://www.mabli.org/mabli/files/BerthelotOgus-Crystalline.pdf
標数pの体上で代数多様体のde-Rham cohomologyを計算しようとすると、
係数の問題が生じる。
係数が標数pのままであればよいが、標数0の係数上で複体を計算する場合、
p冪方向にも変形が生じるので、その分を考慮に入れる必要がある。
そのため、infinitesimal siteではいわゆるunit root方向しか補足できず、
toposの条件にdivided powerを入れて、位相を強くする。
それがcrystalになる。
crystalは具体的には接続が定義されたmoduleの列。

* 標数pの場合
Crystalline cohomology and de Rham cohomologyhttp://arxiv.org/abs/1110.5001v1

クラスタリング

http://www.math.psu.edu/petrunin/papers/alexandrov/bbi.pdf
距離空間には、
Euclid空間への埋め込みに対して、
内在的に定まる距離(intrinsic)と
埋め込みに依存する距離(extrinsic)がある。

有限距離空間のisometry類の集合上の距離として、
Gromov-Hausdorff距離が定義できる。
これはcorrespondenceに対応する点対の距離の差により算出される。

* point could dataの解析
point cloudは点の集まりであるが、それに付随して、
データに内在する距離(intrinsic metric)と
データの観測に伴う距離(extrinsic metric)
により、距離空間とユークリッド空間への埋め込みが与えられている、
とみることができる。

point cloud dataの例として、
複数の都市に存在する人間の位置をすべて記録したものを想像してみる。
高い密度で都市に集中し、それよりも少ない密度で都市間の交通網上に存在しているはずだ。
point cloud dataから都市を推定することがクラスタリングと呼ばれる技法であり、
交通網を捉えるための技法が、Persistent homologyになる。
つまり、対象の粗視化、という操作を取り入れて、トポロジーの計算手法を応用しよう、
というもの。


* クラスタリング

point cloud dataを解析するために、荒い分類を行う、
すなわち粗視化のスケールを変えながら連結成分に分ける、という操作を行う。

これを(階層化)クラスタリングと呼ぶわけだが、
Classifying Clustering Schemes
http://arxiv.org/abs/1011.5270
では、
まず、理想的なクラスタリングアルゴリズムは存在しない、というKleinbergの定理に言及して、
その定理の仮定を緩めて、ある性質を満たすクラスタリングアルゴリズムは唯一存在する、
という定理を示している。
(数学の応用としては、
最善のものは存在しない、という形で限界を示し、
限界から少し条件を緩めたものの存在を構成的に示す、
という形のフレームワークは非常に有効なもので、
シャノンによる通信の符号化
もその一例とみることができる。)

point cloudの分割は、point cloudを有限集合と見た時、
有限集合に対して位相開基を与えることと同等である。
いわゆる有限空間と呼ばれるものであるが、
この位相は、密着位相と離散位相の間で、半順序をなす。
クラスタリングは粗視化のスケールを変えて分割を変更するものであるから、
位相開基の減少フィルトレーションが必要である。
この半順序を取り出す位相開基の減少フィルトレーションを定めると、
それに対応して木構造、いわゆる、デンドログラムというものになる。
そこで、有限集合とその位相開基の右連続減少フィルトレーションの組で、
先頭が必ずしも離散位相ではないが最後は密着位相となるものを
persistent setと呼ぶ。
なお、point cloudが距離空間の構造を持っている時、距離から定まる位相は点を分離するので、
クラスタリングが定める位相はそれよりも弱い。

クラスタリングのアルゴリズムとは、
有限距離空間を対象、しかるべき条件を満たす距離空間の写像を射とする圏から
persitent setsの圏への関手、
として定義される。


入力の有限距離空間の射の条件として、
iso:isometry
inj:距離が非増大の単射
gen:距離が非増大
という３種類について考察されている。
よく知られているk-means法は、どの入力の圏に対しても
関手の意味でのクラスタリングアルゴリズムを与えない。
(ex. Persistent Clustering and a Theorem of J. Kleinberg 4.1
http://arxiv.org/abs/0808.2241)
クラスタリングのあるスケールによって定まる分割に対して、クラスタリングを行っても、
そのスケールでは分割が変化しないことが望ましい。
この冪等性の性質をexcisivenessと呼ぶ。
標準的なクラスタリング関手として、Vietoris-Rips関手がある。

これは、2点からなる距離空間によって表現されている、と見なすことができ、
その拡張として、有限距離空間の集合によって表現可能な関手が定義される。
(Def6.3)
上記論文では、(階層化でない)分割の場合にexcisiveクラスタリングアルゴリズムは表現可能と同値
であることを示している。(Th6.2)
Th7.2では、入力の圏がgenの場合に、クラスタリングアルゴリズムに、
Vietoris-Rips関手が対応することを示している。

* クラスタリングのstability
クラスタリングを行う元のpoint cloud dataは、
サンプリング結果として、確率的、不完全、という性質を持っている。
そのため、
クラスタリングアルゴリズムには、安定性が必要となるわけだが、
そのために、入力の圏の対象の距離を測る道具として、
Gromov-Hausdorff距離を使用することができる。
(Persistent Clustering and a Theorem of J. Kleinberg section 5)



* 形の把握
Gromov-Hausdorff Stable Signatures for Shapes using Persistence
http://math.stanford.edu/~memoli/papers/dgh-persistence.pdf

point cloudの形を把握するには、単純なホモロジーでは点の数しか出てこないので、
粗視化のスケールを変えて特徴を取り出す必要がある。
それがpersistencyということになる。
2つのpoint cloudの距離を測るのに、point cloudに内在的な距離および埋め込みによる距離を与えて、
距離空間間の距離、すなわちGromov-Hausdorff距離により、形の相違を測る。
この距離を下から評価するために、persistencyの結果が利用できる。
すなわち、filtered Rips complexを定義して、
それから得られるpersistent diagramを、point cloudに対して対応させる。
2つのpersistent diagramsをbottleneck distanceを使用して距離を測った結果が
Gromov-Hausdorff距離で抑えられる。
(Th3.1)

Spectral Gromov-Wasserstein Distances for Shape Matching
http://math.stanford.edu/~memoli/papers/dgw-spec-nordia-theo.pdf

Faber多項式

LATTICE PATHS AND FABER POLYNOMIALS
http://people.brandeis.edu/~gessel/homepage/papers/faber.pdf
重み付けで解釈することにより、
Faber polynomialをlattice pathの数え上げとして確認している。

Analytic functions and integrable hierarchies-characterization of tau functions
http://arxiv.org/abs/hep-th/0305005v2
Faber多項式、Grunsky行列の整理された記述と、
それを用いて、無分散戸田格子のτ関数の記述を行っている。

Weil-Petersson metric on the universal Teichmuller space II. Kahler potential and period mapping
http://arxiv.org/abs/math/0406408v1
の
6.2. Embeddings into the Segal-Wilson universal Grassmannian
では、リーマン面からconformal weldingを構成し、
リーマン面の周期をFaber多項式(Grunsky行列)を用いて記述していた。

無分散可積分系と関数論
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/pdf/1541-12.pdf
にあるように、
Grunsky行列はLowner方程式に関係している。

Q1:
では、スペクトル曲線を与えて、そこからtopological recursionによるinvariantsを計算する際に、
(g,n)=(0,2)ででてくる無分散戸田格子(x=z+1/zの場合)は、どのようにconformal weldingと関係しているのだろうか？
Q2:
スペクトル曲線として実構造を持つ超楕円曲線の場合、判別式からなるFloquet指数が、conformal weldingを生成する。
これは上半平面から固有値に対応するslitを除いたものに対応し、slitを変形して消失させる等角写像が、
Lowner方程式で、それが無分散戸田に対応する、と解釈できるのだろうか？
その場合、topological recursionによる分配関数の計算は高種数の項も含んでいる。
これを全部あわせて、スペクトル曲線に対応するτ関数となり、
(無分散極限は古典極限)
τ関数に対応する佐藤グラスマンへの埋め込みが、conformal weldingから定まるタイヒミュラー空間からの写像となる、
という理解で正しいのだろうか?
Q3:
スペクトル曲線に対応する代数関数のアーベル拡大の極限をとると、代数曲線のmoduli上ではうまく極限が存在しないが、
普遍タイヒミュラー空間においては、極限がlaminationという形で存在する。
(ex. UNIVERSAL HODGE BUNDLE AND MUMFORD ISOMORPHISMS ON THE ABELIAN INDUCTIVE LIMIT OF TEICHMU ̈LLER SPACES
http://arxiv.org/abs/alg-geom/9406003)
では、この極限のリーマン面の周期を具体的に計算できるか?
Q4:
射影直線の場合に、
The equivariant Gromov-Witten theory of P^1
http://arxiv.org/abs/math/0207233v1
で計算されているGW-invariantsを、
スペクトル曲線のinvariantsとして計算できるか?
Gromov-Witten invariants of $\bp^1$ and Eynard-Orantin invariants
http://arxiv.org/abs/1106.1337v2
では、yがlog(z)の形になっているが、これはどのように理解するべきか?

Q5:
トーリック曲面の場合、ブレーンタイリングは、スペクトル曲線のアーベル拡大の極限に対応するのか?
(ex. http://www.princeton.edu/~masahito/files/2007/Kanazawa070601.pdf)
Q6:
Computation of open Gromov-Witten invariants for toric Calabi-Yau 3-folds by topological recursion, a proof of the BKMP conjecture
http://arxiv.org/abs/1205.1103v1
の、
4.9.2Renormalizing edges
の議論は、無分散極限の話に対応するのか?


Q6:
Ito-Nisioの定理により、Wiener空間のCameron-Martin空間は、普遍タイヒミュラー空間の正規分布によるbase change
とみなすことができる。
では、スペクトル曲線が実構造を持っていて、Floquet指数から定まる等角写像を、
それぞれのslitごとにブラウン運動をおくことによってえられるSLEは、どのような意味があるのだろうか?
また、固有値の区間が分かれているので、non-intersection Brownian motionとも見なせるが、
Macdonald processの場合に、対応するトーリックカラビヤウ3-foldのmirror curveから定まるSLE
を具体的に計算することができ、元のprocessと比較できるか?