2点を一つの辺で結んだグラフCを考える。
Cをdual graphとするspecial fiberをもつMumford curveを考え、その定義体をkとする。
kはすべての1の冪根を含むとしておく。
kの分岐拡大とCのsubdivisionが対応するので、
Cを区間と見てその上の反射ランダムウォークに関する繰りこみ群と、
kの素元に関する冪をとったアーベル拡大とが対応する、と思える。
同様に考えると、
genusがgのグラフCに対して、それをdual graphとするspecial fiberをもつsemistable curve
に関して、
定義体kの分岐拡大とC上のランダムウォークに関する繰りこみ群を関係付けることができないだろうか？
また、
Mumford curveXについてXのn-infinitesimal value-point X(O_k/m^n)
をとって、対応するfinite graphの列C_nを考えると、
これは有限グラフの拡大列となっている。
XのKodaira-Spencer mapを代数的に見ると、Eichlerの記述からΓに関する群コホモロジー
と対応がつくと思われるが、
逆に有限グラフについて、変形理論ができるような有限グラフの拡大はどのようなものになるだろうか？
有限グラフの圏については、Consani-MarcolliのSpectral triples from Mumford curveにおけるdirected graphの定式化が見やすい。
この圏において、グラフの変形を特徴付けることができるだろうか？
さらに、
special fiberにおける退化という枠組みを、Connes-Krimer代数の観点でみると、
上記のグラフ上のランダムウォークとrough pathを関係付けることができないだろうか？
Period mappings and differential equations. From $\bf C$ to $\bf C_p$
http://arxiv.org/abs/math/0203194
template fundamental groupという概念が参考になるだろうか？
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Tempered fundamental group and metric graph of a Mumford curve
http://arxiv.org/abs/0811.3169
単に有限グラフというだけではなくて、その上のmetricの情報込みで、
数論的に定義される基本群の情報から回復できる、ということが書いてあった。
Grotherdieckのdessins d'enfants は数体上定義された代数曲線が、
その数論的基本群から回復できる、というものであり、
そこでは、2部グラフが利用されていた。
ex. http://math.arizona.edu/~swc/aws/05/05Notes.html
また、
Universal periods of hyperelliptic curves and their applications
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/pdf/1002-9.pdf
をみると、Tate-curve上などで、p進解析的テータ関数を用いて、タウ関数を記述しているので、
共形場理論における共形次元1/2の場合の相関関数の記述ができると期待したくなる。
すなわち、
Geometric realization of conformal field theory on Riemann surfaces
http://www.springerlink.com/content/p143873t3734u772/
における、Ward恒等式がp進解析的にも意味を持つのではないか？と勘繰りたくなる。
そして、
1. dessins d'enfantsにより定まる2部グラフの列
2. 1の2部グラフから定まるisoradial-graphの収束先によって指定される共形場理論
3. 1のdessins d'enfantsの元となる数体上の曲線をp進で考えてのMumford curve(totally degenerateが必要だが)
4. 3のMumford curveから定まる有限グラフの列上のランダムウォーク
が互いに関連しあっている、
と想定される。(どう関連するのか記述できないので数学になっていないが。)
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8 件のコメント:
うーーん。またまた偉大そうな構想ですが、悲しいかな知識不足のワタスには、理解できません。
mumford curve, semistable curve,
くりこみ群
などのキーワードがわかるリンクとかないすか？（説明してくれてもいいけど、手が疲れるでしょ、きっと。）
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さらに、
special fiberにおける退化という枠組みを、Connes-Krimer代数の観点でみると、
上記のグラフ上のランダムウォークとrough pathを関係付けることができないだろうか？
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このあたりも,時間がすいているときにでも、kwsk.
そういや、昔フラクタル上のラフパスというのをみたなあ、あんま関係ないと思うけど。そのときは、ゲテモノだと思ってまじめに読まなかった。青春の日の思い出です。
集中講義に来てくれるとうれしい。
そろそろ、来年の分を決める季節だし、推薦していいかな（藁）
くりこみ群
については、
2つの用語があるので、
混乱を招いてしまったかもしれません。
ランダムウォークとくりこみ群(服部)
の5章でZ上のランダムウォークに対して、
くりこみ群を定義していますが、
一つはこちらの用語です。
もう一つは、物理的な意味での、
場のくりこみですが、
http://www.alainconnes.org/en/downloads.php
の
Noncommutative Geometry, Quantum Fields and Motives
で、
Chapter1の§6,7が該当箇所になります。
iterated integralはここでは、
Time ordered exponentialという用語が使用されます。
Riemann-Hilbert対応という言葉が出てきますが、もともとはラフにいって、
確定特異点をもつ微分方程式の解と
基本群の表現との対応です。
つまり解析的に退化しているものが、
その周囲の情報込みにすると記述できますよ、といった感じでしょうか。
special fiberという用語は、
リーマン面が退化して特異点を持つような族を考えて、その特異ファイバーを指します。
転じて、
Z_pのような環上の族を考えて、
極大イデアルで割った係数体での曲線
を指します。
このあたりは、
Moduli of Curves(Harris Morrison)
のChapter 3のDeformation theoryの箇所、
とくにstable curveが何で、stable reductionとは何か、
といった部分を流し読めば、感覚は掴めます。
また、ちょうどよいことに、
http://www.its.caltech.edu/~matilde/course2008.html
で、
Geometry and Arithmetic of Quantum Fields
というクラスの講義録があります。
ちょうど対応する部分が
(notes coming up soon)
なので、気長に待つとよいかもしれません。
その部分は、
http://www.math.fsu.edu/~marcolli/NCGcourse.html
NONCOMMUTATIVE GEOMETRY
の、
Lecture 8: February 7, 2008 From time ordered exponentials to differential systems, gauge equivalence and Birkhoff factorization, flat equisingular connections, flat equisingular vector bundles and W-equivalent connections, the universal group U* and the renormalization group
が対応します。
mumford curveは
http://www.math.kyoto-u.ac.jp/~kato/index.html
からたどるのがよいと思います。
>そろそろ、来年の分を決める季節だし、推薦していいかな（藁）
却下です。(汗)
私のは数学になっていません。
ただの夢想ですから。
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