Ahlfors-Weillの定理

* Ahlfors-Weillの定理(タイヒミュラー空間論 第6章定理6.9)
では、
与えられた正則2次微分φに対して、
シュワルツ微分{f,z}=φ(z)を満たすfを構成するのに、
-φ/2をポテンシャルとするSturm-Liouville作用素
L=-∂^2+u , u=-φ/2
を用いている。

Lη=0
の独立な解η1,η2より、f=η2/η1
とおけば、{f,z}=φを満たす。

"Geometry of 2d topological field theories"
(http://arxiv.org/abs/hep-th/9407018)
AppendixC remarkC.1にあるように、
1次元複素多様体上で、
正則アファイン接続から曲率をとることにより射影接続への写像が存在し、
(いわゆるMiura変換)
コンパクト双曲型リーマン面の一意化問題の場合は、
flatな座標<->一意化の座標であって、それをzとすると、
u(z)が、射影接続f(z)に対応する曲率となり、
これが正則2次微分に対応する。
また、射影接続f(z)の
PGL(2)におけるモノドロミー表現が元のリーマン面の基本群に対応する。


* sl(2)-oper
"opers"
(http://arxiv.org/abs/math/0501398)
では、
sl(2)-operを用いて上記の話を解釈している。
2.6,2.7。

* higher Teichmuller theory
"Moduli spaces of local systems and higher Teichmuller theory"
(http://arxiv.org/abs/math/0311149)
においては、
G=PGL(2)をより一般化して、centerがtrivialな半単純代数群Gに対して、
基本群のGへの(positive)表現のmoduliによりhigher Teichmuller space
を定義している。

* 固有束(indigenous bundle)
"通常p 進曲線の理論について"
(http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Tsuujou%20p-shin%20kyokusen%20no%20riron%20(1997nen%20izen).pdf)
をみると、
p進体上の代数曲線の"一意化"を射影接続に付随するP1バンドル、
固有束の話に置き換えて議論している。
固有束は代数的に定義できてしまうため、複素数体上であった擬等角写像の話がでてこない。

* p進周期
"Period mappings and differential equations. From $\bf C$ to $\bf C_p$"
(http://arxiv.org/abs/math/0203194)
では、p進一意化を持つMumford curveの場合に
ⅢProp4.3.3(複素数体上),Prop4.6.3(p進体上)
で一意化に対応する微分方程式を与えている。
いずれにせよ、複素数体上と異なる点は、
周期を扱うためには、周期環を持ち出さないと足りない、
ということ。Ⅰ4.2-4.5。