サマースクール復習その12

* Shottky double
実直線に含まれる有限個の閉区間の和集合Eに対して、
Ω=C∪{∞}-E
とする。
Ωを二つ(Ω1,Ω2)用意して、境界で張り合わせることにより、
(Shottky double)
リーマン面Rを作ることができる。

Rには、
Shottky doubleから定まるinvolution
と
実構造から定まるinvolution
の二つの作用がある。

ここで、疑問になるのは、
H(Ω):Ωに対するハーディ空間(p=2としておく)
と
RのKrichever mapによる佐藤グラスマン多様体における像、
との関係。

* 多重連結領域のτ関数
Integrable Structure of the Dirichlet Boundary Problem in Multiply-Connected Domains
(http://arxiv.org/abs/hep-th/0309010)
には、
多重連結領域に対して、τ関数が定義されていて、
そのlogをとったものをFとおいている。
この記号はpre potentialを想定していて、
Fを用いて、(3.45),(3.46),(3.47)
多重連結領域のグリーン関数、
調和関数、
Rの周期行列
と対応がつく。

この論文では、境界がsmooth Jordan curveとしているが、
上の閉区間の場合に、そのまま適用することは可能だろうか？

少なくとも単連結の場合、
Blashcke積とグリーン関数の関係は、単位円盤への等角写像を用いて
グリーン関数を表すことではっきりする。
多重連結の場合もフックス一意化により、
Finite Gap Jacobi Matrices, I. The Isospectral Torus
(http://arxiv.org/abs/0810.3273)
における
Blashcke積とグリーン関数の関係もわかりやすい。

まずは、おもちゃバージョンのE=[-2,2]の場合から手をつける必要がある。

* Jacobi行列の周期と摂動
Rを二つ用意して、これを2点でnodeとしてくっつけることにより、
特異点を持つリーマン面:R'ができる。
これを摂動して特異点を持たないリーマン面R2をつくると、
R2の種数g2は、Rの種数gを用いて、2*g+1=g2となる。
すなわち、
g2;1=2*(g+1)であり、
これはR,R2をスペクトル曲線に持つJacobi行列、
J,J2の周期の関係である。
そこで、
周期g+1のJacobi行列Jを周期2*(g+1)と思って、
それを摂動することにより、(適当な)J2を得たい。

一番簡単な場合は、2点を伸ばして2つの閉区間にする場合、
すなわち、有理曲線から楕円曲線へ、modulus 1->kとする場合
である。