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2011年8月15日月曜日

確率面積の元々の計算(tex表示のテストを含む)


平均0、分散1の正規分布の確率変数Xについて、
そのモーメントは、
E[Xk]={k!2k2k2!(k:even)0(k:odd)
となる。
ξ1,η1,ξ2,η2
を平均0、分散1の正規分布の独立な確率変数として、
A=ξ1η2ξ2η1
E[Ak]={k!(k:even)0(k:odd)
となる。
よって、
E[exp(βA)]=11β2
となる。
{λn}
が2乗和が収束するものとして、
S:=n=1λn(ξ(1)nη(2)nξ(2)nη(1)n)
とおくと、
E[exp(iαS)]=n=1(1+α2λ2n)1
となる。
確率面積の場合の
{λn}
を求めることは、
H(t)={1(t0)1(t<0)
として、畳み込み作用、
Hf(t):=10H(ts)f(s)ds
の固有値をみることになる。

en+12(t):=exp(2πi(n+12)t)
が固有関数で、
Hen+12(t)=i1π(n+12)en+12(t)
となる。
ただし、境界条件を指定していないので、固有値の正当性を確かめる必要がある。
(実際には、上記の関数は、二重被覆上の関数。)
きちんと行うには、Cameron-Martin空間上の正規直交基底を作る。

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