確率面積の元々の計算(tex表示のテストを含む)

平均0、分散1の正規分布の確率変数Xについて、
そのモーメントは、
\begin{eqnarray}
\bf{E}[\rm X^{k}] =\left\{ \begin{array}{ll}

\frac{k!}{2^{\frac{k}{2}}\frac{k}{2}!} & (k:even) \\
0 & (k:odd) \\
\end{array} \right.
\end{eqnarray}
となる。
\[
\xi^{1},\eta^{1},\xi^{2},\eta^{2}
\]
を平均0、分散1の正規分布の独立な確率変数として、
\[
A=\xi^{1}\eta^{2}-\xi^{2}\eta^{1}
\]
\begin{eqnarray}
\bf{E}[\rm A^{k}] =\left\{ \begin{array}{ll}

k! & (k:even) \\
0 & (k:odd) \\
\end{array} \right.
\end{eqnarray}
となる。
よって、
\[
\bf{E}[\rm \exp(\beta A)] =\frac{1}{1-\beta^{2}}
\]
となる。
\[
\{\lambda_{n}\}
\]
が2乗和が収束するものとして、
\[
S:=\sum_{n=1}^{\infty}\lambda_{n}(\xi_{n}^{(1)}\eta_{n}^{(2)}-\xi_{n}^{(2)}\eta_{n}^{(1)})
\]
とおくと、
\[
\bf{E}[\rm \exp( \mathrm{i} \alpha S)] = \prod_{n=1}^{\infty}(1+\alpha^{2}\lambda_{n}^{2})^{-1}
\]
となる。
確率面積の場合の
\[
\{\lambda_{n}\}
\]
を求めることは、
\begin{eqnarray}
H(t) =\left\{ \begin{array}{ll}
1 & (t \geq 0) \\
-1 & (t < 0) \\
\end{array} \right.
\end{eqnarray}
として、畳み込み作用、
\[
Hf(t):=\int_{0}^{1}H(t-s)f(s)ds
\]
の固有値をみることになる。

\[
e_{n+\frac{1}{2}}(t):=exp(2\pi \mathrm{i} ( n+\frac{1}{2} )t)
\]
が固有関数で、
\[
He_{n+\frac{1}{2}}(t) = {- \mathrm{i} \frac{1}{\pi (n+\frac{1}{2}) } } e_{n+\frac{1}{2}}(t)
\]
となる。
ただし、境界条件を指定していないので、固有値の正当性を確かめる必要がある。
(実際には、上記の関数は、二重被覆上の関数。)
きちんと行うには、Cameron-Martin空間上の正規直交基底を作る。