スペクトル曲線と行列積分

Random Matrices and topological strings
http://www.blau.itp.unibe.ch/Eynard.pdf

topological stringの分配関数を行列積分で記述する。
ただし、ターゲットの空間はtoric 3d calabi-yau。
この場合、toric fanから2次元の組み合わせ的構造(topological vertex)
が生成され、それから一定手順で分配関数が計算できる。
分配関数を行列積分で記述するには、
ファンデルモンドの行列式、
留数公式、ガンマ関数、Cauchyの行列公式、ラプラス変換を使用する。

分配関数のlog、すなわち自由エネルギーはtopological expansionを持ち、
それを具体的に計算するための漸化式は、
loop equations(Schwinger-Dyson)で定まる。

さらに、loop equationからspectral curveが定まるが、
これは、実は、mirror curveでもある。
すなわち、元のtoric 3d Calabi-Yauのミラーは、
mirror cuveで退化する構造を持ち、
mirror curveから、分配関数の高次の項は一意的に定まる。

A matrix model for the topological string I: Deriving the matrix model
http://arxiv.org/abs/1003.1737v2

toric Calabi-Yau 3-foldに対して、行列模型を構成している。

A matrix model for the topological string II: The spectral curve and mirror geometry

http://arxiv.org/abs/1007.2194v1
spectral curveを構成し、これがmirror curveであることを示している。

Two Dimensional Kodaira-Spencer Theory and Three Dimensional Chern-Simons Gravity
http://arxiv.org/abs/0711.1932v1

loop equationsからBergmann kernelなどがでてくる様子を、Riemann面の場合に導出している。

Topological recursion and mirror curveshttp://arxiv.org/abs/1105.2052v1
GW invariantsの定数項についてもrecurtion formulaから導出ができることを示している。

Matrix models for $β$-ensembles from Nekrasov partition functions
http://arxiv.org/abs/0912.5476v2
Figure1にあるように、
Seiberg-Witten
Topological strings
Liouville theory
Matrix models
に対応がつくことが予想されている。