DT invariants

From affine manifolds to complex manifolds: instanton corrections from tropical disks
http://www-math.mit.edu/~auroux/frg/mit08-notes/M.%20Gross%20-%20Slides%20-%20From%20affine%20manifolds%20to%20complex%20manifolds.pdfでは、
整affine構造を持つ実多様体に対して、
tangent bundleとcotangent bundleをaffine構造、flat coordinatesから決まる格子で割ることにより、
互いにdualなtorus fibrationを作っている。
その例として、コンパクトトーラスがある。
すると、ログ構造を持った多様体についてみたくなる。
特異点を許す場合で特異点を除いた部分に整affine構造が入っているとき、
これに近いコンパクト複素多様体を構成する、
ということが主題。
(rigid analytic K3についての構成が
Affine structures and non-archimedean analytic spaces
http://arxiv.org/abs/math/0406564v1
で述べられている。
その6.7K3 surfaces and ZPL-actions on S^{2}
では、複素射影直線を底空間とする、楕円K3曲面に対して可積分系の族を構成しているが、
そこから後はconjecturesの連続。)
特異点周りの挙動を記述するために、rigid analyticな話からさらに簡略化して、
tropicalな部分を見よう、ということで、
tropical vertexがでてくる。
dualityをdiscrete Legendre transformの形で記述できる。

toy exampleとして、
lattice polytopeを与えてそのthickeningを構成している。
次元を一つ上げてNewton polygonを作り、normal fanを張り合わせて、
変形空間としてアファイン直線上の族でspecial fiberがtoric varietyの貼り合わせであるものを構成できる。

特異点がある場合には、polytopeの辺上に特異点があるとして、
monodromyにあわせてglueingを変える。
ただし、自己同型を追加する必要がある。

ここで最後に追加される部分が、
Motivic Donaldson-Thomas invariants: summary of results
http://arxiv.org/abs/0910.4315v2
にあるDT invariantsの計算と関係しているようだ。
(元の、Borcherdsの無限積を持つ保型形式との関係は、
7.4Donaldson 4d theory, Borcherds automorphic forms
に、少し触れられている。)

Vetex operator algebraはCFT,すなわち2次元の話で、
DTはゲージ理論、4次元の話なので、
両者を関係づける背景はAGT予想ということになるのだろうか？
その中で、テータ積分はどこにでてくるのか？
ミラー対称性をみるための3次元カラビヤウで楕円曲線との直積を取った部分の情報が、
落ちてくるのだろうか？