結晶基底

量子群の結晶化
http://www.journalarchive.jst.go.jp//jnlpdf.php?cdjournal=sugaku1947&cdvol=44&noissue=4&startpage=330&lang=ja&from=jnlabstract

sl2の場合から初めて、一般の半単純Lie環の場合に説明をしている。

Lectures on canonical and crystal bases of Hall algebrashttp://arxiv.org/abs/0910.4460v2
chapter4 Th4.6
Kashiwara operatorの説明と、どのような場合にcrystalが
表現から来るものの類似になっているかの説明がある。

Tensor product multiplicities, canonical bases and totally positive varieties
http://arxiv.org/abs/math/9912012v1
Littlewood-Richardson ruleの一般化。
polytopeを用いてテンソル積の分解の重複度を表している。
そこで、polytope->Cartan subalgebraというmoment mapもどきが定義され、
そのpush forwardによりDuistermaat-Heckman measureが定義できる。
この測度はLebesgue measureに対して絶対連続で、区分的多項式を密度関数に持つ。

Continuous crystals and Duistermaat-Heckman measure for Coxeter groups
http://arxiv.org/abs/0804.2356v2
Theorem 5.1. The stochastic process Pw0 η is a Brownian motion in V conditioned, in Doob’s sense, to stay in the Weyl chamber C ̄.
とCrystalの時間を無限素点で完備化して、Brown運動として捉えている。

Introduction: Multiple Dirichlet Series
http://sporadic.stanford.edu/bump/multiple.pdf
有限素点においてCrystalによりWhittaker functionを記述している。
さらに、Crystalの組み合わせ的構造から、自然に
6頂点モデル(Ice type model)の分配関数として計算ができることを示唆している。
この元々の動機は、多重Dirichet級数の解析接続とFourier係数の明示式から来ている。そのため、n重被覆も問題にしている。
Crystalの上での和を、有限素点を時間とするBrown運動(局所定数関数)とみなして、実務元素点を時間とする連続Crystalと対比させるのも面白い。
また、多重Dirichlet級数を有限体上のcurveの場合に考えて、Langlands対応の話をCrystalの話に結びつけることも、
必要なことと思われる。