Alday-Gaiotto-Tachikawa 予想とその発展
http://www2.yukawa.kyoto-u.ac.jp/~sokened/sokendenshi/vol11/lectureAGTfinalDenshi.pdf
- Gaiotto による M5-ブレイン構成
NSブレーンとD4ブレーンによる図式
弱結合はパンツ分解がグラフに退化している状況に対応する。
また、
質量がない場合は、特異有理曲線の場合で、曲線の変形が質量パラメータに対応する。
すなわち、ハイパー多重項のパラメータはSeiberg-Witten微分の2次の極の係数に対応する。
これをリーマン面の2次微分とリボングラフの対応から理解すると解り易い。
- ストレステンソルと量子 Seiberg-Witten 微分
ストレステンソルを入れた時のWard-Takahashiの恒等式とSW微分の質量変形の解釈の類似。
- Dijkgraaf-Vafa β-アンサンブル
- Zorichのflat surfaceとGross Siebertのtropicalの話
リボングラフの話と2次微分の関係を、退化を込めて記述する。
そのために、分岐を許した被覆をとる。
- 幾何学的転移
行列模型のラージ N 極限における振る舞いはスペクトル曲線として、古典的な曲線に量子補正が加わったものと
解釈できる。
Generalized matrix models and AGT correspondence at all genera
http://arxiv.org/abs/1011.5417v2
Quantum Hitchin Systems via beta-deformed Matrix Models
http://arxiv.org/abs/1104.4016v2
* Calogero-Sutherland
A lecture on the Calogero-Sutherland models
http://arxiv.org/abs/hep-th/9405104v3
Calogero-Sutherland模型は、
変数¥betaを用いて、調和振動子のハミルトニアンを変形したもの。
¥beta=0のときは、元々の調和振動子で、
¥beta=1のときは、パウリの排他律が成り立つ、すなわちフェルミオンになる。
実際には、円周上の自由電子のモデルになる。
そこで、変数を円周の普遍被覆、すなわち直線上に引き戻すことができる。(2.4)
さらに励起状態/基底状態はJack多項式で表される。
対角化のために、Dunkl作用素が使用される。
Jack polynomials and Hilbert schemes of points on surfaces
http://arxiv.org/abs/alg-geom/9610021v1
射影直線の直線束の全空間にトーラス作用を入れたもののHilbert schemeをみる。
直線束のdegreeがJack多項式のパラメータに対応する。
Jack多項式のdominant順序はトーラス作用による軌道の順序に言い換えられる。(Prop4.14)
The cohomology rings of Hilbert schemes via Jack polynomials
http://arxiv.org/abs/math/0411255v1
Nakajimaの論文とトーラス作用が異なっているが大筋は一緒。
The elliptic Hall algebra and the equivariant K-theory of the Hilbert scheme of $\mathbb{A}^2$
http://arxiv.org/abs/0905.2555v3
Conformal blocks in Virasoro and W theories: duality and the Calogero-Sutherland model
http://arxiv.org/abs/1110.1101v2
Laumon Spaces and the Calogero-Sutherland Integrable System
http://arxiv.org/abs/0811.4454v2
The elliptic Hall algebra, Cherednick Hecke algebras and Macdonald polynomials
http://arxiv.org/abs/0802.4001v1
Cherednik algebras, W algebras and the equivariant cohomology of the moduli space of instantons on A^2
http://arxiv.org/abs/1202.2756v1
* beta ensembleと概均質ベクトル空間
Eisenstein級数と概均質ベクトル空間のゼータ関数
http://www.math.kobe-u.ac.jp/publications/rlm-2-106.pdf
行列積分をアデール化したいが、
有限素点の場合にポテンシャルとHaar測度を設定して計算するとどうなるか？
代数体上の直交群の非正規玉河数の密度につ いて
http://www2.kobe-u.ac.jp/~mhsaito/agsymkobe07/proceedings/hayasaka-yukie.pdf
7 件のコメント:
info: 相転移と臨界現象の数理. 田崎晴明、原 隆による数理物理学の教科書です。
http://www.gakushuin.ac.jp/~881791/IsingBookJ/
お元気そうでなによりです。私に理解できない話題が続いているのと、別件でいそがしので、カキコしてませんが、そろそろする予定です。
情報どうも。
出版はまだ先のようなので楽しみにしています。
独学の初心者としては、
できたら、証明と平行して
有限の段階でのシミュレーションがあって、
定理の主張が目に見えるようだと嬉しいですね。
いやあ、教えてっていうのは、そんな高級なものではなくて、、、 １年半前の夏ゼミの予稿集にある内容とかですよ。
あとは、これとか。
www.crm.es/Seminaris/.../Shinichi_KOTANI.pdf
1) 著者以前に知られていたのはなにか？
2) 著者による部分はどこか？
3) 近い将来の小目標、あるいは大目標はなにか？
程度のことです。サイモン本なんて、私がわかるわけありませんがな？
Lyapunov Exponents and Spectral Analysis of Ergodic Schrödinger Operators: A Survey of Kotani Theory and its Applicationshttp://arxiv.org/abs/math-ph/0605054v1
まずは、背景はこのあたりがいいのではないでしょうか？
要は、
シュレーディンガー方程式に、ランダムな摂動項がついている場合、その摂動の度合いに応じて、
乱雑性が優位か決定論的な場合が優位か、
が分かれる訳ですが、
それが絶対連続スペウトルの挙動に現れる、
ということです。
佐藤理論との関係は、
一次元のシュレーディンガー方程式が、2次の微分方程式(または離散の場合、差分方程式)
なので、PSL(2)の変換群を持つ。そこで、KdV階層に埋め込んでみましょう、
ということです。
ただし、既存の佐藤理論と整合的なのは、
摂動項が確定的でいわゆる直交多項式の理論に帰着する場合で、超楕円曲線の実構造を持ったリーマン面がでてきます。
種数無限大にするのが McKeanの昔の話で、
ここではポテンシャルの増大度の条件が課せられます。
ここまでが予稿集の話で、その後の発展は知りません。
ただし、
サマースクールで小谷先生に展望を伺ったところ
KAM理論の追求が大事とのことでしたが、
A KAM scheme for SL(2,R) cocycles with Liouvillean frequencies
http://arxiv.org/abs/1001.2878v1
といった形の発展があるようです。
Global theory of one-frequency Schrodinger operators I: stratified analyticity of the Lyapunov exponent and the boundary of nonuniform hyperbolicity
http://arxiv.org/abs/0905.3902v1
GLOBAL THEORY OF ONE-FREQUENCY SCHRO ̈DINGER OPERATORS II: ACRITICALITY AND FINITENESS OF PHASE TRANSITIONS FOR TYPICAL POTENTIALS
http://w3.impa.br/~avila/global2.pdf
たぶん、Weyl関数(無反射性)については、
区間[-2,2]を上下に拡げた円周を思い浮かべると解り易いです。
絶対連続スペクトルがあると、そこで切れ目を入れて、
同じものを２枚用意したリーマン面を作ると、
それが対応するスペクトル曲線になりますが、
絶対連続スペクトルが[-2,2]の場合は、
複素平面２枚を2つの円周でつなげるので、
結局つなげても複素平面のままです。
一方、区間の数が複数になると、つなげると種数が上がるので、超楕円曲線になります。
この区間がそれぞれ一点に縮んだ場合、超楕円曲線は、通常2重特異点を持つ有理曲線の和に退化しますが、
これがいわゆる有理ソリトンに対応します。
スペクトルがδ関数の和になっている場合ですね。
予稿集でもソリトンの場合を計算しています(4.2 有限次元の場合のτ関数の計算)
個人的には、リーマン面を前面に出したほうが計算の意味が解り易いと思いますが、self-containedにするためには計算のみの記述になるのもやむを得ませんね。
ご丁寧にどうも。やっとヤボ用から解放されたんで、読んでみます。最初のサーベイは昔ここに貼りつけてましたっけ？
このAvilaって、フィールズ君？
最近ようやく逆産卵法がなんだかイメージがつかめてきたというレベルのワタクシですが、なんとか挑戦だ！
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