vanishing cycles

Lectures on D-modules
http://www.math.columbia.edu/~scautis/dmodules/ginzburg.pdf
微分作用素は掛け算作用素と非可換だが、filtrationを入れることにより、
可換環への写像を作ることができる。
従って、
- D加群に対してよいfiltrationを入れてgraded algebraの性質を見る
- filtrationの取り方によらない性質を取り出す
という方針がある。
特性多様体は、D加群から取り出せるfiltrationによらない可換環の性質。
非可換と可換をつなぐ性質として、Noether性、有限生成の仮定の元、
特性多様体のPoisson括弧に対するinvolutivityが成り立つ。

可換環において局所化による単純化は有用だったが、D加群においても、
超局所化により、微分作用素の局所的な振る舞いを取り出すことができる。

左D加群と右D加群の間にvolume-formを用いて対応を付けることができる。

* 直線上のD加群の例
O=D/D∂, δ=D/Dt
がある。
これは、D加群に対する操作として、積分と制限があるが、
積分に対応するのは、水平方向に制限する操作なので∂で割る。
制限は、O加群としてのskyscrapper層を取ってみればO/tOなので、
D加群としてD/Dtが制限に対応する。
Fourier変換で互いに移ること、特性多様体が水平、垂直方向の直線であることに注意する。
0->O->C[t,t^{-1}]->D/Dt->0
が成り立つ。
つまり、0->D/D∂->C[t,t^{-1}]->D/Dt->0,
C[t,t^{-1}]=D(1/t)=D/D(t∂)となる。
これは佐藤超関数としてのδ関数が[1/t]であったことに対応する。

log(t)を∂log(t)=1/tの解を表す記号とする。
D(log(t))はD(1/t)=C[t,t^{-1}]=D/D(t∂)を含み、
商O(log(t))はO=D/D∂と同型なので、
0->D/D(t∂)->D(log(t))->D/D∂->0
となり、
D(log(t))=D/D(∂t∂)
となる。

直線を1点とそれ以外に分解してD加群の貼り合わせを考える。
X=Spec(C[t]), R=C[t,t^{-1}], U = Spec(R) j:U->X i:Y={0}->X
として、
logによるextenstionをみる。
すなわち、
j_{*}Log^{n-1}=D((∂t)^n)
j_{!}Log^{n-1}=D((t∂)^n)
となるD加群を見る。
Malgrange construction(4.6.36)によりt^sという記号を導入できて、
Residue pairingにより、
Log^{n-1})=R t^s[s]/s^n R t^s [s]
が成り立つ。(lem4.6.5)
これからlimを取ることにより、佐藤グラスマン多様体のC((s))による記述が対応してくる。
貼り合わせは、Def4.6.28のGlueing categoryによって与えられる。
Def4.12.26でNearby functorが定義される。

* 順像、逆像、duality
スキームの場合と異なり重複度を見ているので、
冪零分の不定性はなく閉集合への制限は圏同値となる。

* 連接性、holonomicD加群
O-加群として連接なD加群はlocal systemになる。
これは、特性多様体が0-sectionに含まれるので、holonomicD加群の一例になる。


Notes on Perverse Sheaves and Vanishing Cycles
http://arxiv.org/abs/math/9908107v5

Vanishing cycles and mutation
http://arxiv.org/abs/math/0007115v3

単位円盤内の1点に関するvanishing cyclesは佐藤グラスマン多様体内のLagrangianで解釈できる。
すなわち、1点をreal blow-upしたS1上のL^2空間内のLagrangian全体が佐藤グラスマン多様体
であり、vanishing cyclesを与えることとLagrangianを与えることが対応する。(要check)
同様にvanishing cyclesをLagrangian部分多様体として解釈したい。

A1型の場合
SL(2)表現のモノドロミー保存変形
1-Matrix Model
スペクトル曲線としての超楕円曲線
球面の接バンドル
という関連があった。
超楕円曲線と球面の接バンドルの対応は、
Homological Mirror Symmetryの立場で解釈できるだろう。
Exact Lagrangian submanifolds of $T^*S^n$ and the graded Kronecker quiver
http://arxiv.org/abs/math/0401212v1

では、
An型ではどうなるか?
A2型に対応するモノドロミー保存変形は、2-Matrix Model(Cauchy 2-model)により与えられるので、
An型に対応するモノドロミー保存変形はn-Matrix Modelにより与えられそうだ。
そのスペクトル曲線はn次分岐を持つ曲線となる。
問題は、
このスペクトル曲線のJacobianにJacobi-Moser-Mumford型の可積分系が存在するか?
Jacobian-テータ因子を束ねた空間として現れる空間は何か?
その空間はHMSの対応で解釈できるか?
ということになる。

Lagrangian homology spheres in (A_m) Milnor fibres via C^*-equivariant A_infinity modules
http://arxiv.org/abs/1202.1955v3
をみると、Am型の空間の候補として、Springer fibersの空間が考えられる。

Matrix-Modelには直交多項式が有効だった。
では、その高次元化として、
Calabi-Yau多様体のHMSに現れるテータ関数をタウ関数に持つmatrix-Model
を定義することはできるだろうか?
Lagrangian fibrations on blowups of toric varieties and mirror symmetry for hypersurfaces
http://arxiv.org/abs/1205.0053