標数p上のoper

ordinaly elliptic curveの場合のVerschiebung

元々楕円曲線については、Frobenius,Verschiebung mapは、 
等分点を用いて定義されていた。 
標数pにおけるp等分点はそのまま解釈することが出来ずに、 
Drinfeldの意味でのgroup schemeの生成元として、意味付けされていた。 
Verschiebung mapを、group schemeの構造を表に出さずに定義しようとすると、Frobenius mapによるpullbackを1のp冪根について見ることから、 
p-curvatureによる解釈が出てくる。 
ordinaray elliptic curveについて、

• linealizeした1次cohomologyに対するHodge-Tate分解
• Frobenius map、Verschibung mapの作用とduality
• ordinarynessのHasse invariantによる判定

がある。

FL-bundle

[Mzk]Chapter2におけるFL-bundleの記述。

• FL-bundleの定義(Def1.3)局所的に接続がFrobenius mapの微分/pを用いて書ける。
• indigenous bundleのVerschiebung mapの定義(Def2.2)
• Verschiebung mapのfinteness(Th2.3)
• nilpotent adimissible indigenous bundleとFL-bundleの一対一対応(modulo line bundle)(Prop2.5)
• 具体的には、(E,∇E)から、p-curvatureのdualのkernel、ker(Ad(E)→T∨)が対応する。(Prop2.5)
• nilppotent adimissible indigenous bundleは、p-方向の2次の無限小変形に対して、(renormalized)Frobenius構造が入り、module line bundleで不変(Prop2.10)
• 0−>f∗(ωlogX/S⊗2)(−D)→R1fDR,∗(Ad(E))→R1f∗τX/S→0 に対して、ΦτE: Frobenius, ΦωE:Verschiebungが定まり、互いにdual(Prop2.12)。これは、nonabelianなtate moduleに対する楕円曲線の場合の写像の類似と思える。
• infinitesimal VerschiebungΘνEはΦωEに一致する(Th2.13)
• ordinaryの定義
• 楕円曲線の場合、ordinaryの定義は古典的なHasse invariantを用いた定義と一致する(Th3.11)

global nilpotent cone

[G]では、G:複素半単純群の場合に、T∗BunGに対して、 
global nilpotent coneがLagrangianとなることを簡潔に示している。 
[Mzk]のsl2に対する標数p上の議論とは、

• Ad(E):indigenous bundleに付随するadjoint bundleがgP:主G束のadjoint bundle
• R1fDR,∗(Ad(E))がR1p∗gP(S)
• p-cuavature Ad(E)→T∨がΓ(S×X,gP⊗ΩX)
• nilpotent indigenous bundleがglobal nilpotent cone

に対応していると思える。

Hitchin-Mochizuki morphism

そこで、一般の半単純群に対して標数p上でindigenous bundleの拡張であるoperが定義できると想像される。 
[LP]ではHitchin mapをt-connectionに対して定義をし、p-curvatureを用いてnilpotent coneの類似を定義している。 
さらに、 
[JP]では、marked pointsのない状況で、 
operの定義、nilpotent coneに対するfiniteness(Th1.1.1)、Harder-narashimanおよびoper filtrationを見ている。 
特に、Frobenius写像によりstabilityが解消されてしまう場合を調べている。 
また、dormant operとQuot schemeの関係を述べている。

[Wkb]では、marked pointsも込みで、必要な定義をしている。

参考文献

• [G]The global nilpotent variety is Lagrangian
• [JP]Hitchin-Mochizuki morphism, Opers and Frobenius-destabilized vector bundles over curves
• [LP]On the Hitchin morphism in positive characteristic
• [Mzk]A Theory of Ordinary p-adic Curves
• [Wkb]A theory of dormant opers on pointed stable curves —a proof of Joshi’s conjecture—

Written with StackEdit.