Loop群上の直線束
[Segal]にまとまっている内容
- Loop群には、良い表現論がある
- Loop群は偏極付きHilbert空間に対する作用素と見なせる
- Gの表現Vに対して
H=L2(S1,V) へLG の作用を与えることが出来る - 無限次元の作用なので、位相が問題になる
i:LG→GLres(H) が定まる([Segal]Prop3.2)H の偏極を一つ決めて、Segal-Wilson Grassmann多様体Gr(H) を定義できるGr(H) には、stratification、cell decompositionがあるGr(H) には、Plucher embeddingがあるGr(H) には、determinant line bundle、Det が定義できるGr(H) の構成は、rational,real analytic,smoothといった(圏の)制限と可換- 推移的作用を持つ
Ures から、Gr(H) にはKahler計量が自然に定まり、Plucker embeddingと整合的 Gr(H) をsmoothに制限すると、エネルギー関数がS1 の無限小回転から誘導されるHamiltonian関数として定まるGr(H) を状態空間とみなすと、状態W に対して、Plucker embeddingはW の量子状態を与え、エネルギー関数は、量子状態ΩW における無限小回転作用素の期待値とみなすことが出来る- エネルギー関数のgradient flowによるMorse decompositonは上記のstratification,cell decompostionと整合的
X=LG/G が定義できる([Segal] 2.1)X はbase loop spaceとみなせ、複素構造を持ち、Grassmann実現が存在するi:X→Gr(H) Y=LG/T が定義できるLG のpositive energy表現について、Borel-Weilの定理の拡張が成り立つ([Segal] Prop4.2)
A Fock Sheaf For Givental Quantization
Q:Loop groupの量子化に関する議論をGivental Quantizationの観点から説明してみること
Q:Loop groupの量子化に関する議論をGivental Quantizationの観点から説明してみること
15 件のコメント:
そのセルゲイエフのサーベイはなぜか私ももっているな。内容はもう完全に忘れましたが、、、、
ところで、ホモトピー論＋確率論 という珍妙な組み合わせの大論文が出てて、きになってます。
でも私は両方とも詳しくないので、チンプンカンプン。
両方知っているあなたのカンでは、これはどうですか？ 「あたり」でしょうか。
http://arxiv.org/abs/1510.08289
Homotopy Theory of Probability Spaces I: Classical independence and homotopy Lie algebras,
Jae-Suk Park
情報ありがとうございます。
以前教えていただいたHomotopy probability theoryの続編的なものですね。
目次をざっと見ただけで、
あくまで素人の戯言ですが、
方向としては、本流的なものだと思います。
Kontsevich等によるOperadの変形理論に対するHomotopy代数の本質的利用、
CostelloによるQuantum field theoryのHomotopy代数による基礎づけ、
など、
QFTに対するHomotopy代数の有用性は疑わざるものだと思います。
従って、
"中身をブラックボックスとする確率空間から位相を込めた代数への関手を確率変数とみる"
ことを確率論とする立場であれば、
確率論においても、Homotopy代数の使用は自然です。
- 何らかの意味での変形理論を考える
- 確率変数のなす条件をゆるくして何らかの意味での貼り合わせを可能にする
と言った問題意識が出てくると面白いと思います。
その意味では、
Example5.3,5.4などが興味深いですね。
いかにもパチモノっぽい、組み合わせなんだけど、
大論文だし、あなたの好きそうなビッグネーム
(B-V, Kontsevich, Chen, Quillen/Sullivin,,,,,)もあるし、
ひょっとしたら？ と思ってたけど、ひょっとしそうですか。
でも、日本人でこれに興味を持つ人はまずいないでしょうな。
仮にいるとすれば、あなたぐらいです。
Info: Barry Simon の新刊５冊組。驚異の仕事量。おばけ。
http://www.ams.org/publications/authors/books/postpub/simon
>http://www.ams.org/publications/authors/books/postpub/simon
analysisにはあまり縁がないのですが、
昔のRudinの本のような感じなんでしょうか。
Advanced complex analysis辺りは、
それほど難しくはないけど、
色々散乱しているトピックを集めている感じですね。
こそっとKoebeの定理とかSLEが入っているのが凄いですね。
OPRL,OPUCをこそっと盛り込んでいるようですが、
既刊の分厚さをどうカバーするんでしょうか。
ちなみにどうでもいい話ですが、
ピアノの森という漫画の連載が終了してしまって、
しばらく力抜けています。
その漫画はまったく知りませんでした。
いまググッて、はじめてしった。
私の奥さんは知ってたようで、
あんな有名なマンガなのにしらないなんて、、、、という反応ですた。
たしか幾何にも詳しいように思うので、気易く質問させてもらいますが、
多様体が別の多様体に embed されてる、というのを、
手っとり早く勉強したいんだけど、日本語で(も英語でも)楽に読めそうなの知ってます？
embedding が regular とは
第2基本形式
とかが、書いてそうなやつ。
regularって埋め込みのことですよね?
http://pantodon.shinshu-u.ac.jp/topology/literature/immersion_and_embedding.html
にある、
多 様 体 の 埋 め 込 み (embedding) とはめ 込 み (immersion) の 定 義
Whitney の 埋 め 込 み 定 理 。 n 次 元 smooth manifold は ℝ 2 n +1 へ 埋 め 込 むこ とができる [ Whi36 ] 。 実 は , ℝ 2 n へ 埋 め 込 むことができる [ Whi44 ] 。
n 次 元 smooth manifold は ℝ 2 n へはめ 込 むことができる 。 実 は , n ≥ 2 のと き , ℝ 2 n - 1 へはめ 込 むことができる 。
の部分が詳細に書いてある本、
ということでしょうか。
手元にある本だと、
微分位相幾何学(田村一郎)の、
第4章に、
Whitneyの話は書いてあります。
ただ、問題意識がC^{r}級の多様体について、
ホモトピーをアイソトピーで近似する、
というものなので、求めているものかどうかわからないです。
おそらくご存知でしょうが、
第2基本形式は、曲面で良ければ、曲線と曲面の微分幾何、が良さそうな気がしますが、
ちゃんと多様体で定義して、となると、良い本は知らないです。
スカラー曲率はなんとなく理解できても、
曲率テンソルは(私には)よくわからないです。
どうもありがとうございます。
その人のウェブサイトは知ってましたが、
この件に関してみることは、思いつきませんでした。助かりました。
コメントを投稿