local shtukas

疑問

• [SW] Moduli of p-divisible groups
• [S] Peter Scholze’s lectures on p-adic geometry, Fall 2014
• [W] Formal vector spaces over a local field of positive characteristic

標数pの局所体と標数0の局所体上で、 
tiltingにより話が平行して進むのはどこまでなのだろうか? 
shtuka with no paw, one pawについて、 
Hodge構造の情報はtiltingにより移行できるのだろうか?

[SW]では、p-divisible groupの性質について、 
divided powers、Artin-Hasse exponentialの性質を用いている。 
(ただし、finite locally free group schemeの議論は主ではなくなっているらしい。) 
perfectoidに関する部分で特徴的なことは、 
2次元のringをadicに見ることによって、 
Robba ringやperiod ringを自然に導入することが出来る、 
という点。

[W]において、等標数の場合もuniversal coverに対応するformal vector spaceが定義されている。

標数pの体上のfinite locally free group scheme

• [ARGOS12] Formal moduli spaces in equal characteristic
• [GH] Equivariant vector bundles on the Lubin-Tate moduli space
• [GL] Théorie de Fontaine en égales caractéristiques

[GH]10. A·divided powers、 
[GL]5.1において、等標数の場合のdivided powersが定義されている。

混標数においては、pが0もしくはnilpotentであることを救済するために、 
exponentialの各項xnn|がdivided powerに対応していたが、 
等標数においては、ζが0もしくはnilpotentであることを救済するために xqnζnがdivided powerに対応する。([ARGOS12]Def9)

等標数においては、有限体の位数がp冪の場合もあるため、Fqの作用について、 
Strict-Fq-moduleの概念が必要になる。これは、cotangent complexを用いて特徴づけられる。([ARGOS12]1.2)

標数pにおいては、additive groupはp倍すると0になる。 
従って、FV=VF=pの式において、V=0となる場合に注目する必要がある。 
これは、[ARGOS12]Th3にあるように、比較的容易に特徴づけが出来る。

naive cotangent complex

• 10.132. The naive cotangent complex
• [HS] Local Shtukas and Divisible Local Anderson Modules
• [Messing] The Crystals Associated to Barsotti-Tate Groups

[Messing]においては、

• 標数p上(p=0)での議論
• pがnilpotentな環上での議論

を行っている。 
[HS]においては、

• ζ=0のbase上での議論
• ζがnilpotentなbase上での議論

を行っている。 
0からnilpotentに持ち上げる際のliftingを見るために、 
cotangent complexの概念が必要になる。

local Shtukas

• [HK] Local Shtukas, Hodge-Pink Structures and Galois Representations
• [K] Galois deformation theory for norm fields and its arithmetic applications

[K]のPartIにおいて、Kisinの結果との関係が詳細に記述されている。

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