Carlitz exponential

Artin-Hasse Exponential

ON THE ARTIN-HASSE EXPONENTIAL SERIES
lectures on p-divisible groups

Carlitz Exponential

• CARLITZ EXTENSIONS
  　8. The Carlitz Exponentialに、標数pにおける指数関数について、記載がある。
  　複素数体上では、双曲線関数あるいは三角関数は、その周期性から無限積展開を持つ。
  　同様のことを標数pの体上で構成しようとすると、$2\pi i$$2 \pi i$ に相当する周期となる(超越)数、が必要になる。
  　これは、(8.3)で定義される。
  　指数写像については、Def8.1でTaylor展開の形で定義され、
  　Th8.3で無限積展開を持つことが示されている。
  　また、指数関数の逆関数としての対数関数も定義される。
  　
  　指数関数および対数関数の係数の付値は、divided powerの定義可能性において重要な意味を持っていた。
  　Carlitz exponentialにおいても、その係数の評価を行うことが、
  　Th8.10にある。

divided power

• [crys]enter link description here
• [dga]DIVIDED POWER ALGEBRA

divided power structureは、special fiberと整構造を結びつけるために、
無限小近傍で積分を行うことを可能にするための構造である。

• divided power ring([dga] Def3.1)
• divided power polynomial algebra([dga]5)
• universal divided power algebra([dga]lem5.3)

実際にdivided power ring$(A,I,\gamma)$が与えられた時に、 環の射$A\rightarrow B$、BのイデアルJ、$IB\subset J$と整合するdivided power algebraでuniversalなものをdivided power envelope$D_{B,\gamma}(J)$と呼ぶ。([crys]Def2.2)

torsions

• [Bhatt] TORSION IN THE CRYSTALLINE COHOMOLOGY OF SINGULAR VARIETIES 
• [BO83] F-isocrystals and de Rham cohomology. I

divided power envelopeにおいては、torsionが現れることがある。
これは、[BO83]Appendix A or [crys]Ex22.1のように、かなり自然な設定で現れる。
($\tau ={\gamma }_p(X^2){\gamma }_p(Y^2)-{\gamma }_p(XY{)}^2$$\tau = \gamma_{p}(X^2)\gamma_{p}(Y^2) - \gamma_{p}(XY)^2$の形は、形式的には分散行列に似ている。特異部分多様体のtorsionに対して、モーメント的な解釈が付けられると面白そうだが。。。)

標数pにおけるdivided power

• Théorie de Fontaine en égales caractéristiques

標数pにおけるdivided powerとして、

• Grothendieck - Bertelot divided power
• Honda-Hopkins divided power

の2種類が導入されている。

5.4 Comparaison avec la construction de Messing
でexp,logを定義している。

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