vanishing topos

microlocal sheaf

• [KS90] Sheaves on Manifolds
• [Schapira] A short review on microlocal sheaf theory

実解析的な状況では、開基として円盤や、円盤とconeの交わりを取ることが出来る。
そのため、層に対して、
singular supportを直接、点の集合として定義することが出来る。
層に対して、singular supportが定義されると、
写像が層に対してnon-characteristicであるかどうか、という点が議論の対象になる。
[KS90]では、
先にsingular supportを定義し、cut-offによる評価、
順像、逆像に対する変化の評価、を行い、
subanalytic stratificationにおけるconstructible sheaf、
複素解析的な場合のconstructible sheafの定義をしている。
そして、[KS90]のchⅧ Prop8.6.4.では、複素解析的な場合には、
singular supportをvanishing cycle functorを用いて記述できることが示されている。

singular support

• [Beilinson] Constructible sheaves are holonomic
• [Deligne] SGA 4 1/2
• [Saitoh1] THE CHARACTERISTIC CYCLE AND THE SINGULAR SUPPORT OF AN ETALE SHEAF

scheme上のetale層に対するsingular supportを定義しようとすると、
実解析的な状況と異なり、開基が少なすぎて各点での条件で定義することは難しい(ように思われる)。
そこで、写像に対する層のlocal acyclicityの条件を満たすconic setの中で、
極小のもの、という形で定義をすることとなる。
存在自体は証明が必要になる。
([Saitoh1] Th2,6, ThA, ThB)
[Beilinson]における存在証明の流れは、以下の通り。

• test pairの概念
• C-transversalityの概念([KS90]におけるnon-charactericity)
• local acyclicityの概念、$\cal{F}$-acyclicityの概念
• micro supportedの概念
• 円盤に対するvanishing cycleの特徴付けに対応するweakly microsupportedの概念、coneの交わりとの整合性
• weak singular supportの存在
• smooth map、open embeddingに対するsingular supportの振る舞い
• 射影空間の部分多様体の場合に帰着
• 射影空間におけるRadon変換の概念
• 層のRadon変換とmicro-supported coneの双対との対応([Beilinson]lem3.3)
• 層のRadon変換(Legendre変換)がlocally constantになる最大のopen partの補集合をとると、それはdivisorとなり、irreducible compornentの次元が上から評価できる([Beilinson]Th3.2、Th1.2、Th1.6)
• constructible sheafの議論を、irreducible perverse sheafの場合に絞る
• weak singular supportとsingular supportは一致([Beilinson]4.7)
• singular supportの次元は空間の次元と等しい([Beilinson]4.0 )

疑問としては、[Beilinson]の定義によるsingular supportを、
複素多様体の(よいstratificationに対する)constructible etale層に適用した場合にconical setとして、[KS90]の定義と同一のsetとなるか?
というものがある。(すくなくとも、[Beilinson]中では示されていない。)これはvanishing cycle functorを用いてcheckするべきことのように思われる。
([KS90]の定義における関数が、vanishing cycleの特徴付けに置き換わっているので、local acyclicityとvanishing cycleがないことの対応から、ほぼ示されているようには思う)

vanishing topos

• [Illusie] Around the Thom-Sebastiani theorem

symplectic幾何におけるvanishing cycleは底空間が実2次元で、
sectionがpseudo-holomorphic curveとなる点が重要だった。
一般次元の底空間において、vanishing cycleの議論をしようとすると、
toposを拡張する必要が出てくる。

characteristic cycle

• [Saitoh2] The characteristic cycle and the singular support of a constructible sheaf
• [Saitoh3] Notes on the characteristic cycle of a constructible sheaf

characterisitic cyleのcategorificationがFukaya category、という考え方からすれば、
任意の体上でmicrolocalizationにより、Fukaya categoryが定義されて然るべき、と思われる。

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