Discriminants, Resultants, and Multidimensional Determinantsでは、
整数格子内の有限集合Aに対して、
トーリック多様体X_{A}
A-determinantalvariety ∇_{A}
が定義され、射影双対の関係になっている。
genericには、∇_{A}は超曲面で、
その定義多項式を
Discriminant Δ_{A}という。
Principal A-determinant E_{A}
が定義され、
A-secondary polytope Σ(A)はE_(A)のNewton polygonに一致する。
E_{A}の既約分解は、Δ_{A∩Γ}(ΓはAのfaceを渡る)の積として表される。
指数分布族に対してトーリック多様体が対応したが、
その混合分布を取ることが、射影双対を取ることに対応する。
従って、
EM法(ex. http://www.seanborman.com/publications/EM_algorithm.pdf)を
トーリック多様体とその射影双対
の幾何的な操作として理解したくなる。
なお、EM法は情報幾何においては、
双対接続を通して理解されていたが、なるべく接続の言葉を使用せずに、
代数幾何の言葉で理解したい。
というのも、
ベイズ確率論を、(もやもやした)確率の圏に対する関手とみなしたい、
という理由から。
グラフィカルモデルのように条件付き独立性のような構造を抽象化して、
その部分を表現する関手として、トーリック多様体が現れる、
と解釈したい。
基礎体に依存しない構造の話のはずなので、
1元体への還元を取ることができ、その場合がトロピカル多様体、
という形で形式化されるべき話だと思われる。
Tropical Discriminants
http://arxiv.org/abs/math/0510126
トロピカル幾何の立場で、Discriminantを計算している。
Elliptic curves in honeycomb form
http://arxiv.org/abs/1203.2356
グラフとして1-loopを取った場合、
Tate curveのspecial fiberが対応する。
special fiberの持ち上げを、
Berkovich空間と捉えることで、
(Th7の)conceptualな理解が得られている。
2012年5月4日金曜日
2012年5月1日火曜日
局所類体論
保型表現と Galois 表現
http://www.math.sci.osaka-u.ac.jp/~ochiai/ss2009proceeding/Yoshida_SummerSchool-1.pdf
淡中圏の考え方は
ベクトル空間の圏という枠組みを用いて、
種々の空間をGalois群の作用するベクトル空間の圏の対象と見なすことで、
統一的に理解することを目的としている。
An introduction to the theory of p-adic representations
http://arxiv.org/abs/math/0210184v1
p進HodgeにおけるGalois表現の圏と周期環の扱い
に対応する話が1元体であるか？
という疑問が出てくる。
すなわち、
1元体におけるWitt環とde-Rham周期環の定義があることから、
- 1元体のGalois表現の圏を構成できるか？
- crystalline周期環は何か？さまざまなGalois表現の圏に対応して周期環を構成できるか？
- 1-divisible groupのDiudonne theoryに対応するものはあるか？とくに、Kummer系列は存在するか？
- (φ,Γ)群の枠組みはあるか、特に表現の圏の線形代数による言い換えができるか？
などの疑問がでてくるわけだが、
Connesの論文で定義された周期環は柔らかい関数を多分に含んでいる。
気になるのは、
Hilbert空間で元が正則関数からなるもの、
といった固い空間と
それに比較して柔らかい空間が、
たとえばFourier変換を通して対応する場合があるが、
そうした空間の特徴付けをGalois群を用いて行うことができるか？
という点。
カーネル法(http://www.ism.ac.jp/~fukumizu/ISM_lecture_2010/Kernel_2_basics.pdf)
のような正値性をもつ再生核Hilbert空間の話と
トーリック多様体の幾何学
を結びつけることができるか?
Local class field theory via Lubin-Tate theory
http://arxiv.org/abs/math/0606108v2
局所類体論は、wildly ramifiedの部分を処理できれば、特に難しいところはない。
1次元の場合は、Lubin-Tate理論があるんで、その場合も
formal groupを用いて記述できる。
高次元局所類体論
http://msp.berkeley.edu/gtm/2000/03/
Invitation to higher local fields, Part I, section 2: p-primary part of the Milnor K-groups and Galois cohomology of fields of characteristic p
http://arxiv.org/abs/math/0012133v1
Invitation to higher local fields, Part I, section A: Appendix to Section 2
http://arxiv.org/abs/math/0012134v1
local ringにおけるKahler differentialの具体的な記述と
Bloch–Kato–Gabber’s theorem。
Invitation to higher local fields, Part I, section 9: Exponential maps and explicit formulas
http://arxiv.org/abs/math/0012140v1
指数写像により微分とK群の元の対応をつけている。
Invitation to higher local fields, Part I, section 13: Abelian extensions of absolutely unramified complete discrete valuation fields
http://arxiv.org/abs/math/0012144v1
Witt環と1次元Galois cohomologyの対応。
p-adic etale cohomology
http://archive.numdam.org/ARCHIVE/PMIHES/PMIHES_1986__63_/PMIHES_1986__63__107_0/PMIHES_1986__63__107_0.pdf
混標数(0,p)でのp冪のエタールコホモロジーにおいて、
mod pでは、de-Rham部分だけが出てきたが、
mod p^nでは、de-Rham Witt complexを必要とする。
Algebraic K-theory and crystalline cohomology
http://www.springerlink.com/content/8j7n4613481q4408/fulltext.pdf
http://www.math.sci.osaka-u.ac.jp/~ochiai/ss2009proceeding/Yoshida_SummerSchool-1.pdf
淡中圏の考え方は
ベクトル空間の圏という枠組みを用いて、
種々の空間をGalois群の作用するベクトル空間の圏の対象と見なすことで、
統一的に理解することを目的としている。
An introduction to the theory of p-adic representations
http://arxiv.org/abs/math/0210184v1
p進HodgeにおけるGalois表現の圏と周期環の扱い
に対応する話が1元体であるか？
という疑問が出てくる。
すなわち、
1元体におけるWitt環とde-Rham周期環の定義があることから、
- 1元体のGalois表現の圏を構成できるか？
- crystalline周期環は何か？さまざまなGalois表現の圏に対応して周期環を構成できるか？
- 1-divisible groupのDiudonne theoryに対応するものはあるか？とくに、Kummer系列は存在するか？
- (φ,Γ)群の枠組みはあるか、特に表現の圏の線形代数による言い換えができるか？
などの疑問がでてくるわけだが、
Connesの論文で定義された周期環は柔らかい関数を多分に含んでいる。
気になるのは、
Hilbert空間で元が正則関数からなるもの、
といった固い空間と
それに比較して柔らかい空間が、
たとえばFourier変換を通して対応する場合があるが、
そうした空間の特徴付けをGalois群を用いて行うことができるか？
という点。
カーネル法(http://www.ism.ac.jp/~fukumizu/ISM_lecture_2010/Kernel_2_basics.pdf)
のような正値性をもつ再生核Hilbert空間の話と
トーリック多様体の幾何学
を結びつけることができるか?
Local class field theory via Lubin-Tate theory
http://arxiv.org/abs/math/0606108v2
局所類体論は、wildly ramifiedの部分を処理できれば、特に難しいところはない。
1次元の場合は、Lubin-Tate理論があるんで、その場合も
formal groupを用いて記述できる。
高次元局所類体論
http://msp.berkeley.edu/gtm/2000/03/
Invitation to higher local fields, Part I, section 2: p-primary part of the Milnor K-groups and Galois cohomology of fields of characteristic p
http://arxiv.org/abs/math/0012133v1
Invitation to higher local fields, Part I, section A: Appendix to Section 2
http://arxiv.org/abs/math/0012134v1
local ringにおけるKahler differentialの具体的な記述と
Bloch–Kato–Gabber’s theorem。
Invitation to higher local fields, Part I, section 9: Exponential maps and explicit formulas
http://arxiv.org/abs/math/0012140v1
指数写像により微分とK群の元の対応をつけている。
Invitation to higher local fields, Part I, section 13: Abelian extensions of absolutely unramified complete discrete valuation fields
http://arxiv.org/abs/math/0012144v1
Witt環と1次元Galois cohomologyの対応。
p-adic etale cohomology
http://archive.numdam.org/ARCHIVE/PMIHES/PMIHES_1986__63_/PMIHES_1986__63__107_0/PMIHES_1986__63__107_0.pdf
混標数(0,p)でのp冪のエタールコホモロジーにおいて、
mod pでは、de-Rham部分だけが出てきたが、
mod p^nでは、de-Rham Witt complexを必要とする。
Algebraic K-theory and crystalline cohomology
http://www.springerlink.com/content/8j7n4613481q4408/fulltext.pdf
2012年4月21日土曜日
グラフィカルモデル
確率分布の中で、具体的に計算ができて性質がよくわかるものをbuilding blockとしたい。
そのために、基本的な確率分布を列挙する。
Bernoulli分布
2値変数に対して、定義される。
2値ではなく自然数値にすると2項分布になる。
A={e1,e2}->R^{k-1}=R
[0,1]がモーメントマップの像で、これがパラメータ空間。
Beta分布
Bernoulli分布のパラメータに対する共役分布。
ベータ関数が周期として出てくる。
多項分布
2項分布の拡張として、n-単体で定義される。
Dirichlet分布
多項分布のパラメータに対する共役分布
がある。
これらはすべて指数分布族の範疇に属する。
Toric多様体と指数分布族との関係は、
ON THE TORIC ALGEBRA OF GRAPHICAL MODELShttp://math.berkeley.edu/~bernd/AOS0092.pdf
に記載されているように、
グラフィカルモデルの言葉で記述するのが見易い。
* Graphical model
PRML 8. GRAPHICAL MODELS
http://research.microsoft.com/en-us/um/people/cmbishop/PRML/Bishop-PRML-sample.pdf
確率モデルは、確率変数と確定的変数を用いた式で記述される。
確率変数の確率的要素の基本単位を定めて、
有向グラフと観測の有無の情報により、確率モデルに対する確率分布の性質を記述することを目的として、
有向グラフィカルモデルが定義される。
グラフィカルモデルで抽象化しているのは、
確率モデルにおける確率変数の依存性と、
確率変数の条件付き独立性。
* 確率分布に対する演算
確率変数の依存性に対するベイズの定理を用いることで、
有向グラフの向きを逆にする演算を行うことができる。
(これは、cluster代数におけるmutationの概念の類似と見なしたい。)この場合、指数分布族に対する共役分布のように、
パラメータの範囲が問題になる。
この演算において確率分布を求めるためには、
分配関数を計算する必要が出てくる。
すなわち、[0,1]をサイクルとする周期であるが、
パラメータが複素数であれば解析接続ができる。
この場合、出てきた値に何か意味がつくのだろうか？
また、別の確率分布に対する演算として、
混合がある。
グラフィカルモデルと、事後分布、混合、
の演算を繰り返してできる確率分布は、
グラフの各頂点に事前分布を与えると計算できる。
* 情報量
X:確率変数
に対して、情報量を、
I(X):=-log(p(X))
と置く。
I(X)は0<=p(X)<=1から0<=I(x)<=\infty
が成り立つ。
* total positivity
total positivityは、
モデルが定める多様体の実数値点が情報量を表す、
ということの言いかえとみなせる。
* 1元体
The Witt construction in characteristic one and Quantization
http://arxiv.org/abs/1009.1769v1
一般に、
k:標数pの有限体に対して、Witt環を構成すると、
W(k):標数0の環
となり、K'/k:有限拡大にW(k')/W(k)は商体が不分岐拡大となっている。
p進Hodge理論におけるガロア表現の取り扱いは、
不分岐拡大 p冪巡回拡大 暴分岐拡大
という形でガロア表現を分解し、
対応する周期環(B_{crys},B_{st},B_{dR})を用いて線形な情報に置き換えるのが、
効果的な手法だった。
標数1の有限semi-fieldとして
B={0,1}がある。
R:semi-ringがBを含むと、
和とスカラー倍に適合する部分順序が入る。
Rを商体に埋め込みたいが、そのためには、
multiplicatively cancellativeの条件が必要で、
このとき、冪は単射である。(lem4.3)
Rの例として、max-product代数がある。(logをとると、max-sum代数)
semi-ringから環を作る操作として、Symmetrizationがある。(Prop4.8)
冪が全射の時、perfectである、と定義する。(Def4.4)
これから、Frobenius写像に対応する写像が定義される。
これは正の有理数冪に対して定義されるが、完備化によりそれを実数上に拡張して、
one-parameter automorphism groupとしたい。
(Prop6.5)
ただし、完備化にあたって、p進体におけるpに相当する、
乗法の付値を与える元を一つ固定する必要がある。
標数1のmultiplicatively cancellative perfect semi-ring
に対して、完備化、加法の修正、Symmetrizationの操作により、
Witt環を定義する。
(Prop6.8, Def6.10)
ここで、加法の定義には、Entropyがでてくる。
(Th5.3)
Berkovich空間は、(multiplicative)semi-normを考えることで空間を定義したが、
その類似として、標数1においても、
Witt環上にsemi-normを定義できて、その完備化はBanach代数となる。
(Th6.15)
(ただし、Symmetrizationがあるので、multiplicative normにはならない。)
漸近展開におけるBorel総和法は、p進Hodgeにおける、
A_{crys}の定義に対応する?
* 周期環
- 整数環上のモデルを作り、局所化し、係数体で還元したものの性質を見る
という局所化の手法は広く用いられているが、
無限素点における還元とは何か？
1元体における還元とは何か？
ということが疑問になる。
無限素点として実数がとれる時に、
多様体の実数値集合の性質を見ることと、
Witt環上の性質、係数体での還元、
ということが問題になるが、
The universal thickening of the field of real numbers
http://arxiv.org/abs/1202.4377v1
では、実数体を係数に持つWitt環を構成し、
周期環を定義している。
有界変動関数に対して、長さを用いた逆関数を定義し、
ラプラス変換とWitt環の展開の類似を示している。
そのために、基本的な確率分布を列挙する。
Bernoulli分布
2値変数に対して、定義される。
2値ではなく自然数値にすると2項分布になる。
A={e1,e2}->R^{k-1}=R
[0,1]がモーメントマップの像で、これがパラメータ空間。
Beta分布
Bernoulli分布のパラメータに対する共役分布。
ベータ関数が周期として出てくる。
多項分布
2項分布の拡張として、n-単体で定義される。
Dirichlet分布
多項分布のパラメータに対する共役分布
がある。
これらはすべて指数分布族の範疇に属する。
Toric多様体と指数分布族との関係は、
ON THE TORIC ALGEBRA OF GRAPHICAL MODELShttp://math.berkeley.edu/~bernd/AOS0092.pdf
に記載されているように、
グラフィカルモデルの言葉で記述するのが見易い。
* Graphical model
PRML 8. GRAPHICAL MODELS
http://research.microsoft.com/en-us/um/people/cmbishop/PRML/Bishop-PRML-sample.pdf
確率モデルは、確率変数と確定的変数を用いた式で記述される。
確率変数の確率的要素の基本単位を定めて、
有向グラフと観測の有無の情報により、確率モデルに対する確率分布の性質を記述することを目的として、
有向グラフィカルモデルが定義される。
グラフィカルモデルで抽象化しているのは、
確率モデルにおける確率変数の依存性と、
確率変数の条件付き独立性。
* 確率分布に対する演算
確率変数の依存性に対するベイズの定理を用いることで、
有向グラフの向きを逆にする演算を行うことができる。
(これは、cluster代数におけるmutationの概念の類似と見なしたい。)この場合、指数分布族に対する共役分布のように、
パラメータの範囲が問題になる。
この演算において確率分布を求めるためには、
分配関数を計算する必要が出てくる。
すなわち、[0,1]をサイクルとする周期であるが、
パラメータが複素数であれば解析接続ができる。
この場合、出てきた値に何か意味がつくのだろうか？
また、別の確率分布に対する演算として、
混合がある。
グラフィカルモデルと、事後分布、混合、
の演算を繰り返してできる確率分布は、
グラフの各頂点に事前分布を与えると計算できる。
* 情報量
X:確率変数
に対して、情報量を、
I(X):=-log(p(X))
と置く。
I(X)は0<=p(X)<=1から0<=I(x)<=\infty
が成り立つ。
* total positivity
total positivityは、
モデルが定める多様体の実数値点が情報量を表す、
ということの言いかえとみなせる。
* 1元体
The Witt construction in characteristic one and Quantization
http://arxiv.org/abs/1009.1769v1
一般に、
k:標数pの有限体に対して、Witt環を構成すると、
W(k):標数0の環
となり、K'/k:有限拡大にW(k')/W(k)は商体が不分岐拡大となっている。
p進Hodge理論におけるガロア表現の取り扱いは、
不分岐拡大 p冪巡回拡大 暴分岐拡大
という形でガロア表現を分解し、
対応する周期環(B_{crys},B_{st},B_{dR})を用いて線形な情報に置き換えるのが、
効果的な手法だった。
標数1の有限semi-fieldとして
B={0,1}がある。
R:semi-ringがBを含むと、
和とスカラー倍に適合する部分順序が入る。
Rを商体に埋め込みたいが、そのためには、
multiplicatively cancellativeの条件が必要で、
このとき、冪は単射である。(lem4.3)
Rの例として、max-product代数がある。(logをとると、max-sum代数)
semi-ringから環を作る操作として、Symmetrizationがある。(Prop4.8)
冪が全射の時、perfectである、と定義する。(Def4.4)
これから、Frobenius写像に対応する写像が定義される。
これは正の有理数冪に対して定義されるが、完備化によりそれを実数上に拡張して、
one-parameter automorphism groupとしたい。
(Prop6.5)
ただし、完備化にあたって、p進体におけるpに相当する、
乗法の付値を与える元を一つ固定する必要がある。
標数1のmultiplicatively cancellative perfect semi-ring
に対して、完備化、加法の修正、Symmetrizationの操作により、
Witt環を定義する。
(Prop6.8, Def6.10)
ここで、加法の定義には、Entropyがでてくる。
(Th5.3)
Berkovich空間は、(multiplicative)semi-normを考えることで空間を定義したが、
その類似として、標数1においても、
Witt環上にsemi-normを定義できて、その完備化はBanach代数となる。
(Th6.15)
(ただし、Symmetrizationがあるので、multiplicative normにはならない。)
漸近展開におけるBorel総和法は、p進Hodgeにおける、
A_{crys}の定義に対応する?
* 周期環
- 整数環上のモデルを作り、局所化し、係数体で還元したものの性質を見る
という局所化の手法は広く用いられているが、
無限素点における還元とは何か？
1元体における還元とは何か？
ということが疑問になる。
無限素点として実数がとれる時に、
多様体の実数値集合の性質を見ることと、
Witt環上の性質、係数体での還元、
ということが問題になるが、
The universal thickening of the field of real numbers
http://arxiv.org/abs/1202.4377v1
では、実数体を係数に持つWitt環を構成し、
周期環を定義している。
有界変動関数に対して、長さを用いた逆関数を定義し、
ラプラス変換とWitt環の展開の類似を示している。
2012年4月11日水曜日
GKZ超幾何関数
Log-Linear Models, Toric Varieties, and Their Markov Bases
http://www.math.harvard.edu/~seths/lecture2.pdf
指数分布族がトーリック多様体のモーメント写像の像に対応する。
マルコフ基底と(A,h)の対応がつき、
マルコフ連鎖モンテカルロにより乱数を用いたサンプルを生成する場合の、
遷移グラフとマルコフ基底の代数的操作が対応する。
では、遷移グラフは、トーリック多様体のスペクトル曲線と関係があるか？
トーリック多様体の同変直線束の積が、
多面体のミンコフスキー和で記述できることを、
hyperfieldの観点から解釈できないか？
Thermodynamics and the moment map
http://arxiv.org/abs/1108.3472v1
統計力学の枠組みでGibbs分布に基づく分配関数は指数和。
(1.6)で超幾何分布がでてくる。
(2.1)で複数のハミルトニアンからなる写像で凸多角形をEuclid空間に埋め込むことにより、
指数分布族とトーリック多様体のmoment mapを関連づけている。
逆温度は、指数分布族のパラメータと解釈される。
Prop2.3では、
- エネルギー期待値により、パラメータ空間は状態の凸閉包のなす凸多角形にdiffeoに移る。
- Legendre変換により、分配関数の対数とエントロピーが対応する。
が示されている。
指数分布族の十分統計量、とは単に、凸多角形内のエネルギー期待値のことで、
この場合には情報幾何でいうところのe-座標系とm−座標系の対応になる。
Symplectic Toric Manifolds
http://www.math.ist.utl.pt/~acannas/Books/toric.pdf
Th1.2.2 Delzant polytopeとsymplectic Toric manifoldsは一対一に対応する
1.3.3でgenericなベクトルに対するmoment mapをとって、
Morse functionとしている。
GKZ Hypergeometric Structureshttp://arxiv.org/abs/math/0511351v1
- Aとhによって微分方程式系が定まる
微分方程式系はEuler積分の形から導出される系と
トーラス作用から導出される系の2種類がある。
- Fourier-Γ seriesが定義でき、GKZ微分方程式系を満たす
- Aの生成元でよい性質のものがとれる
Secondary fan
グレブナー基底
Stanley-Reisner ideal
-区分的線形関数
Tropical reductionとみると、fiberは指数和
GKZ超幾何関数は、トーリック多様体の量子化を与えるものと
解釈できる。
secondary fanのmaximal coneを与えると、
Fourier-Γ seriesの無限小変形をすることができる。
これは GKZ微分方程式の解を与える。
ある可積分系における固有関数の分布関数の漸近挙動
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/pdf/1364-10.pdf
Distribution laws for integrable eigenfunctions
http://arxiv.org/abs/math/0306189v1
http://www.math.harvard.edu/~seths/lecture2.pdf
指数分布族がトーリック多様体のモーメント写像の像に対応する。
マルコフ基底と(A,h)の対応がつき、
マルコフ連鎖モンテカルロにより乱数を用いたサンプルを生成する場合の、
遷移グラフとマルコフ基底の代数的操作が対応する。
では、遷移グラフは、トーリック多様体のスペクトル曲線と関係があるか？
トーリック多様体の同変直線束の積が、
多面体のミンコフスキー和で記述できることを、
hyperfieldの観点から解釈できないか？
Thermodynamics and the moment map
http://arxiv.org/abs/1108.3472v1
統計力学の枠組みでGibbs分布に基づく分配関数は指数和。
(1.6)で超幾何分布がでてくる。
(2.1)で複数のハミルトニアンからなる写像で凸多角形をEuclid空間に埋め込むことにより、
指数分布族とトーリック多様体のmoment mapを関連づけている。
逆温度は、指数分布族のパラメータと解釈される。
Prop2.3では、
- エネルギー期待値により、パラメータ空間は状態の凸閉包のなす凸多角形にdiffeoに移る。
- Legendre変換により、分配関数の対数とエントロピーが対応する。
が示されている。
指数分布族の十分統計量、とは単に、凸多角形内のエネルギー期待値のことで、
この場合には情報幾何でいうところのe-座標系とm−座標系の対応になる。
Symplectic Toric Manifolds
http://www.math.ist.utl.pt/~acannas/Books/toric.pdf
Th1.2.2 Delzant polytopeとsymplectic Toric manifoldsは一対一に対応する
1.3.3でgenericなベクトルに対するmoment mapをとって、
Morse functionとしている。
GKZ Hypergeometric Structureshttp://arxiv.org/abs/math/0511351v1
- Aとhによって微分方程式系が定まる
微分方程式系はEuler積分の形から導出される系と
トーラス作用から導出される系の2種類がある。
- Fourier-Γ seriesが定義でき、GKZ微分方程式系を満たす
- Aの生成元でよい性質のものがとれる
Secondary fan
グレブナー基底
Stanley-Reisner ideal
-区分的線形関数
Tropical reductionとみると、fiberは指数和
GKZ超幾何関数は、トーリック多様体の量子化を与えるものと
解釈できる。
secondary fanのmaximal coneを与えると、
Fourier-Γ seriesの無限小変形をすることができる。
これは GKZ微分方程式の解を与える。
ある可積分系における固有関数の分布関数の漸近挙動
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/pdf/1364-10.pdf
Distribution laws for integrable eigenfunctions
http://arxiv.org/abs/math/0306189v1
2012年3月19日月曜日
有理Cherednik代数
From Double Hecke algebra to analysishttp://arxiv.org/abs/math/9806097v2
Representations of rational Cherednik algebras
http://arxiv.org/abs/math/0504600v2
Hecke代数の階層として、
0次元:Weyl群 <-> 有限Hecke代数
1次元:nilpotent part <-> affine Hecke代数
2次元:包絡環 <-> double affine Hecke代数
と思える。
幾何学的実現は、finite,affine Hecke代数については、
Chriss-GinzburgによるWeyl群の群環のSteinberg多様体上の同変K群による表現
曲線のHall代数またはLusztigによる構成
があったが、DAHAについて、幾何学的実現があるか？
という問題意識がある。
DAHAの前に、それが退化した形で有理Cherednik代数
を見るのが自然のようだ。
量子群の場合結晶基底の概念があったが、
有理Cherednik代数の場合はどうか？
という疑問がおこる。
そのために、まず表現論を見る必要がある。
有理Cherednik代数の表現論は、
highest weight categoryとして捉えられる部分がある。
すなわち、
多項式環を二つ用意して、それぞれに群を作用させたものを、
一方の多項式環を微分作用素と見なすのが有理Cherednik代数であるから、
Verma加群に対応するもの、
有限列をもつこと、
既約表現の具体的な構成、
sl2-tripleの構成
がある。
Lecture notes on Cherednik algebras
http://arxiv.org/abs/1001.0432v4
の3章では、
PBW型の基底の表示と
表現論の証明の概説があり、
3.14で群が巡回群の場合の例がある。
4章では、行列積分と多項式表現から定まるsymmetric formのdeterminant因子での値を結びつけている。
有理Cherednik代数の中心の値に関する漸化式として示している。
これから、ガンマ関数の一般論を援用して、
The Macdonald-Mehta integralを示している。
(行列積分とCohomological Hall代数との関係、それと有理Cherednik代数の関係
と、このあたりの代数系のつながりが、Shiffmann-Vasserotの話と絡めて気になるところだ。)
共形場理論では、KZ方程式により、
Braid群の作用を考えることができたが、
有理Cherednik代数の場合も、discriminant divisorで局所化することにより、
Euler作用が0の加群からBraid群に関する局所系に対応させる
KZ-functorを考えることができる。
Microlocalization of rational Cherednik algebras
http://arxiv.org/abs/0705.1245v2
F-actionの概念が導入されている。
有理Cherednik代数とそのspherical subalgebraが
森田同値となることを利用して、
spherical subalgebraの量子化を行う。
Representation theory of the rational Cherednik algebras of type Z/lZ via microlocal analysis
http://arxiv.org/abs/1003.3407v2
巡回群の場合の有理Cherednik代数の表現論を、超局所解析を用いて
アーベル圏として同値な圏に移している。
Representations of rational Cherednik algebras
http://arxiv.org/abs/math/0504600v2
Hecke代数の階層として、
0次元:Weyl群 <-> 有限Hecke代数
1次元:nilpotent part <-> affine Hecke代数
2次元:包絡環 <-> double affine Hecke代数
と思える。
幾何学的実現は、finite,affine Hecke代数については、
Chriss-GinzburgによるWeyl群の群環のSteinberg多様体上の同変K群による表現
曲線のHall代数またはLusztigによる構成
があったが、DAHAについて、幾何学的実現があるか？
という問題意識がある。
DAHAの前に、それが退化した形で有理Cherednik代数
を見るのが自然のようだ。
量子群の場合結晶基底の概念があったが、
有理Cherednik代数の場合はどうか？
という疑問がおこる。
そのために、まず表現論を見る必要がある。
有理Cherednik代数の表現論は、
highest weight categoryとして捉えられる部分がある。
すなわち、
多項式環を二つ用意して、それぞれに群を作用させたものを、
一方の多項式環を微分作用素と見なすのが有理Cherednik代数であるから、
Verma加群に対応するもの、
有限列をもつこと、
既約表現の具体的な構成、
sl2-tripleの構成
がある。
Lecture notes on Cherednik algebras
http://arxiv.org/abs/1001.0432v4
の3章では、
PBW型の基底の表示と
表現論の証明の概説があり、
3.14で群が巡回群の場合の例がある。
4章では、行列積分と多項式表現から定まるsymmetric formのdeterminant因子での値を結びつけている。
有理Cherednik代数の中心の値に関する漸化式として示している。
これから、ガンマ関数の一般論を援用して、
The Macdonald-Mehta integralを示している。
(行列積分とCohomological Hall代数との関係、それと有理Cherednik代数の関係
と、このあたりの代数系のつながりが、Shiffmann-Vasserotの話と絡めて気になるところだ。)
共形場理論では、KZ方程式により、
Braid群の作用を考えることができたが、
有理Cherednik代数の場合も、discriminant divisorで局所化することにより、
Euler作用が0の加群からBraid群に関する局所系に対応させる
KZ-functorを考えることができる。
Microlocalization of rational Cherednik algebras
http://arxiv.org/abs/0705.1245v2
F-actionの概念が導入されている。
有理Cherednik代数とそのspherical subalgebraが
森田同値となることを利用して、
spherical subalgebraの量子化を行う。
Representation theory of the rational Cherednik algebras of type Z/lZ via microlocal analysis
http://arxiv.org/abs/1003.3407v2
巡回群の場合の有理Cherednik代数の表現論を、超局所解析を用いて
アーベル圏として同値な圏に移している。
2012年3月14日水曜日
Persistent homology
Topology and Data
http://comptop.stanford.edu/u/preprints/topologyAndData.pdf
では、点群に対して、単体的複体を構成し、
persistent cyclesを計算している。
これは、離散的な集合から非アルキメデス的なデータを作る操作と見なすことができないだろうか？
Measuring Shape with Topology
http://arxiv.org/abs/1011.2258
では、フラクタル的な図形に対して、
persistencyを計算している。
カントール集合のような完全不連結集合に対して、
persistencyを計算すると、
cycleの生死の状況はtree構造になり、カントール集合を境界とする非アルキメデス距離空間の構造が復元される。
Euler Calculus with Applications to Signals and Sensing
http://arxiv.org/abs/1202.0275v1
整数値可構関数に対して、Euler数を計算している。
層と関数の対応を(Grothendieckの辞書はない状況だが)用いている。
Fourier-Sato変換やBessel変換といった超局所解析のおもちゃ版として、
馴染み易い。
* クラスタリングの拡張としてのpersistent homology
機械学習におけるクラスタリングは連結集合を数えていた。
persistent homologyは高次の特徴を捉えるもの。
(関連して多様体学習や計算代数統計といったキーワードがある。
趣味で学ぶほどには興味はわかないが、
プログラマとしての一般教養として知っておきたいところである。子会社勤務のIT土方としては、業務に直接の関係はないのが辛いところだ。)
http://comptop.stanford.edu/u/preprints/topologyAndData.pdf
では、点群に対して、単体的複体を構成し、
persistent cyclesを計算している。
これは、離散的な集合から非アルキメデス的なデータを作る操作と見なすことができないだろうか？
Measuring Shape with Topology
http://arxiv.org/abs/1011.2258
では、フラクタル的な図形に対して、
persistencyを計算している。
カントール集合のような完全不連結集合に対して、
persistencyを計算すると、
cycleの生死の状況はtree構造になり、カントール集合を境界とする非アルキメデス距離空間の構造が復元される。
Euler Calculus with Applications to Signals and Sensing
http://arxiv.org/abs/1202.0275v1
整数値可構関数に対して、Euler数を計算している。
層と関数の対応を(Grothendieckの辞書はない状況だが)用いている。
Fourier-Sato変換やBessel変換といった超局所解析のおもちゃ版として、
馴染み易い。
* クラスタリングの拡張としてのpersistent homology
機械学習におけるクラスタリングは連結集合を数えていた。
persistent homologyは高次の特徴を捉えるもの。
(関連して多様体学習や計算代数統計といったキーワードがある。
趣味で学ぶほどには興味はわかないが、
プログラマとしての一般教養として知っておきたいところである。子会社勤務のIT土方としては、業務に直接の関係はないのが辛いところだ。)
2012年3月4日日曜日
Jack多項式
Alday-Gaiotto-Tachikawa 予想とその発展
http://www2.yukawa.kyoto-u.ac.jp/~sokened/sokendenshi/vol11/lectureAGTfinalDenshi.pdf
- Gaiotto による M5-ブレイン構成
NSブレーンとD4ブレーンによる図式
弱結合はパンツ分解がグラフに退化している状況に対応する。
また、
質量がない場合は、特異有理曲線の場合で、曲線の変形が質量パラメータに対応する。
すなわち、ハイパー多重項のパラメータはSeiberg-Witten微分の2次の極の係数に対応する。
これをリーマン面の2次微分とリボングラフの対応から理解すると解り易い。
- ストレステンソルと量子 Seiberg-Witten 微分
ストレステンソルを入れた時のWard-Takahashiの恒等式とSW微分の質量変形の解釈の類似。
- Dijkgraaf-Vafa β-アンサンブル
- Zorichのflat surfaceとGross Siebertのtropicalの話
リボングラフの話と2次微分の関係を、退化を込めて記述する。
そのために、分岐を許した被覆をとる。
- 幾何学的転移
行列模型のラージ N 極限における振る舞いはスペクトル曲線として、古典的な曲線に量子補正が加わったものと
解釈できる。
Generalized matrix models and AGT correspondence at all genera
http://arxiv.org/abs/1011.5417v2
Quantum Hitchin Systems via beta-deformed Matrix Models
http://arxiv.org/abs/1104.4016v2
* Calogero-Sutherland
A lecture on the Calogero-Sutherland models
http://arxiv.org/abs/hep-th/9405104v3
Calogero-Sutherland模型は、
変数¥betaを用いて、調和振動子のハミルトニアンを変形したもの。
¥beta=0のときは、元々の調和振動子で、
¥beta=1のときは、パウリの排他律が成り立つ、すなわちフェルミオンになる。
実際には、円周上の自由電子のモデルになる。
そこで、変数を円周の普遍被覆、すなわち直線上に引き戻すことができる。(2.4)
さらに励起状態/基底状態はJack多項式で表される。
対角化のために、Dunkl作用素が使用される。
Jack polynomials and Hilbert schemes of points on surfaces
http://arxiv.org/abs/alg-geom/9610021v1
射影直線の直線束の全空間にトーラス作用を入れたもののHilbert schemeをみる。
直線束のdegreeがJack多項式のパラメータに対応する。
Jack多項式のdominant順序はトーラス作用による軌道の順序に言い換えられる。(Prop4.14)
The cohomology rings of Hilbert schemes via Jack polynomials
http://arxiv.org/abs/math/0411255v1
Nakajimaの論文とトーラス作用が異なっているが大筋は一緒。
The elliptic Hall algebra and the equivariant K-theory of the Hilbert scheme of $\mathbb{A}^2$
http://arxiv.org/abs/0905.2555v3
Conformal blocks in Virasoro and W theories: duality and the Calogero-Sutherland model
http://arxiv.org/abs/1110.1101v2
Laumon Spaces and the Calogero-Sutherland Integrable System
http://arxiv.org/abs/0811.4454v2
The elliptic Hall algebra, Cherednick Hecke algebras and Macdonald polynomials
http://arxiv.org/abs/0802.4001v1
Cherednik algebras, W algebras and the equivariant cohomology of the moduli space of instantons on A^2
http://arxiv.org/abs/1202.2756v1
* beta ensembleと概均質ベクトル空間
Eisenstein級数と概均質ベクトル空間のゼータ関数
http://www.math.kobe-u.ac.jp/publications/rlm-2-106.pdf
行列積分をアデール化したいが、
有限素点の場合にポテンシャルとHaar測度を設定して計算するとどうなるか？
代数体上の直交群の非正規玉河数の密度につ いて
http://www2.kobe-u.ac.jp/~mhsaito/agsymkobe07/proceedings/hayasaka-yukie.pdf
http://www2.yukawa.kyoto-u.ac.jp/~sokened/sokendenshi/vol11/lectureAGTfinalDenshi.pdf
- Gaiotto による M5-ブレイン構成
NSブレーンとD4ブレーンによる図式
弱結合はパンツ分解がグラフに退化している状況に対応する。
また、
質量がない場合は、特異有理曲線の場合で、曲線の変形が質量パラメータに対応する。
すなわち、ハイパー多重項のパラメータはSeiberg-Witten微分の2次の極の係数に対応する。
これをリーマン面の2次微分とリボングラフの対応から理解すると解り易い。
- ストレステンソルと量子 Seiberg-Witten 微分
ストレステンソルを入れた時のWard-Takahashiの恒等式とSW微分の質量変形の解釈の類似。
- Dijkgraaf-Vafa β-アンサンブル
- Zorichのflat surfaceとGross Siebertのtropicalの話
リボングラフの話と2次微分の関係を、退化を込めて記述する。
そのために、分岐を許した被覆をとる。
- 幾何学的転移
行列模型のラージ N 極限における振る舞いはスペクトル曲線として、古典的な曲線に量子補正が加わったものと
解釈できる。
Generalized matrix models and AGT correspondence at all genera
http://arxiv.org/abs/1011.5417v2
Quantum Hitchin Systems via beta-deformed Matrix Models
http://arxiv.org/abs/1104.4016v2
* Calogero-Sutherland
A lecture on the Calogero-Sutherland models
http://arxiv.org/abs/hep-th/9405104v3
Calogero-Sutherland模型は、
変数¥betaを用いて、調和振動子のハミルトニアンを変形したもの。
¥beta=0のときは、元々の調和振動子で、
¥beta=1のときは、パウリの排他律が成り立つ、すなわちフェルミオンになる。
実際には、円周上の自由電子のモデルになる。
そこで、変数を円周の普遍被覆、すなわち直線上に引き戻すことができる。(2.4)
さらに励起状態/基底状態はJack多項式で表される。
対角化のために、Dunkl作用素が使用される。
Jack polynomials and Hilbert schemes of points on surfaces
http://arxiv.org/abs/alg-geom/9610021v1
射影直線の直線束の全空間にトーラス作用を入れたもののHilbert schemeをみる。
直線束のdegreeがJack多項式のパラメータに対応する。
Jack多項式のdominant順序はトーラス作用による軌道の順序に言い換えられる。(Prop4.14)
The cohomology rings of Hilbert schemes via Jack polynomials
http://arxiv.org/abs/math/0411255v1
Nakajimaの論文とトーラス作用が異なっているが大筋は一緒。
The elliptic Hall algebra and the equivariant K-theory of the Hilbert scheme of $\mathbb{A}^2$
http://arxiv.org/abs/0905.2555v3
Conformal blocks in Virasoro and W theories: duality and the Calogero-Sutherland model
http://arxiv.org/abs/1110.1101v2
Laumon Spaces and the Calogero-Sutherland Integrable System
http://arxiv.org/abs/0811.4454v2
The elliptic Hall algebra, Cherednick Hecke algebras and Macdonald polynomials
http://arxiv.org/abs/0802.4001v1
Cherednik algebras, W algebras and the equivariant cohomology of the moduli space of instantons on A^2
http://arxiv.org/abs/1202.2756v1
* beta ensembleと概均質ベクトル空間
Eisenstein級数と概均質ベクトル空間のゼータ関数
http://www.math.kobe-u.ac.jp/publications/rlm-2-106.pdf
行列積分をアデール化したいが、
有限素点の場合にポテンシャルとHaar測度を設定して計算するとどうなるか？
代数体上の直交群の非正規玉河数の密度につ いて
http://www2.kobe-u.ac.jp/~mhsaito/agsymkobe07/proceedings/hayasaka-yukie.pdf
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