結び目は3次元球面に埋め込まれた1次元球面のことであった。
結び目の情報を取得するために、
1. Morse関数を選んで1次元に射影し、critical pointsの位置と指数を記述する。
または、
2. 結び目の1点を固定し、結び目を包む2次元球面に対して、その点と結び目の点を通る直線による射影を行う。
(これは平面射影と同じである。)
という方法が考えられる。
2.のほうは、Lefshetz pencilの手法の類似とみなせる。
0次元球面は2点であり非連結であるから、S1上の2重分岐被覆は、
S1上の0次元球面バンドルで特異点を持つものと思える。
それをblow-upにより引き剥がすことで、
0次元球面、すなわち2点からなる0次元のvanishing cyclesの情報が付加される。
組紐群のKZ方程式による表現の局所モノドロミーからスケイン関係式が出てくることを思い出すと、
強引にLefshetz pencilのモノドロミー表現からスケイン関係式が生じている、
と思えないこともない。
(ただし、スケイン関係式のパラメータがこの場合何を指しているかというと、
モノドロミー表現の固有値ということになるが、
0次元球面だとパラメータを持てないため、その分の自由度をどこかで与える必要がある。)
Q:接バンドルを取ることにより、結び目から、射影直線上のrank2(ベクトル)束が生じるとみなすことができるか?
Q:だとすれば、射影直線上のrank2分岐ベクトル束は結び目の適当な集合の情報を保持していることになる。これはベクトル束と分岐の情報からどのように定まるか?
2012年9月12日水曜日
2012年9月11日火曜日
サマースクール復習 その1
* 内容
ランダム結び目と環状高分子の統計物理
結び目を折れ線近似できる対象として定義して、その不変量を構成する。
結び目多項式を、スケイン関係式を満たす多項式として、
とくにJones多項式を、
組紐群の表現->ヤン-バクスター関係式->マルコフトレースの構成->絡み目不変量の構成
という枠組みの中で説明している。
(さらに背後にあるTemperlay-Lieb代数と6頂点模型についても言及しているが、
これは、
Six-Vertex, Loop and Tiling models: Integrability and Combinatorics
(http://arxiv.org/abs/0901.0665v2)
を参考に理解することとする。)
さらに、結び目の不変量を如何に計算するか、という点で、
結び目ダイアグラム及びそれと同値なガウスダイアグラム、
更に一般的なコードダイアグラム、矢印ダイアグラムを定義し、
Vassiliev不変量を定義している。
その応用として、長さを固定してランダムな移動のもとでどのような結び目が生じるか、
という実験を行なっている。
3次元双曲幾何とクラスター代数
カスプを持つRiemann面に対して、三角形分割をひとつ与えた時、
飾り付きTeichmuller空間にPenner座標が標準的に構成され、
空間を写像類群で割ったTeichmuller空間にFock座標が定義される。
これらは三角形分割のフリップに対してクラスター変換となる。
そこで、擬Anosov写像に対する写像トーラスに完備双曲構造を入れるために、
Fock座標を使用する。
ただし、Fock座標を取るTechmuller空間の点は、
写像トーラスの定義に用いた写像の固定点で、その存在は仮定する。
結び目不変量と量子場の理論
Chern-Simonsゲージ理論を用いて結び目不変量を定義する。
位相的場の理論の公理を適用し、物理的Hilbert空間がこの場合WZW模型の共形ブロックになることを利用し、
とくにトーラスの場合の共形ブロックをアフィンLie環の指標で表す。
さらにトーラスのS変換、T変換に対する指標の変換則を記述し、
分配関数の計算を行なってみる。
S2*S1、およびS3の場合に、Wilsonループ演算子を挿入して計算し、これがJones多項式にFrame因子を除いて一致することを示す。
結び目多項式の背後に、圏化として結び目ホモロジーがあり、その統一理論として、
Triply-gradedホモロジーの存在およびそのPincare多項式としての超多項式が期待される。
これは、弦理論的には、精密化されたChern-Simons理論が与えるTQFTの分配関数となるべきものである。
結び目の量子不変量とその応用
Kauffman bracketを用いて、結び目不変量を定義する。
これは、結び目の射影図の交差の解消をすべて列挙し、
解消後のループの数、解消の様子を用いて、重みを付けて足し合わせたものになる。
状態和を可解格子模型、面模型と関係付けて、量子展開環の表現と結びつける。
自然表現に対応するものがJones多項式で、
有限既約表現に対応するものが、Colored Jones不変量である。
さらに、
3価リボングラフの不変量、4価以上のリボングラフの不変量である横田不変量、および、
3次元多様体の不変量としての、Witten-Reshtihkin-Turaev不変量、Turaef-Viro不変量を定義する。
後者は量子パラメータqが1の冪根の時、すなわち表現に半単純でないものが生じるとき、
前者の不変量に対応する。
また、Turaef-Viro不変量と横田の不変量は離散Fourier変換で移りあう。
結び目補空間の位相不変量である体積について、Kashaevが堆積予想を提出したが、
それについて、modulo 鞍点法で、4面体分割と双曲構造方程式により解釈ができる。
これを厳密に示すために、logarithmic CFTからくる不変量と、qが1の冪根の時生じる半単純でない表現を用いて、
理論構成されることが期待されている。
2012年8月18日土曜日
vanishing cycles
Lectures on D-modules
http://www.math.columbia.edu/~scautis/dmodules/ginzburg.pdf
微分作用素は掛け算作用素と非可換だが、filtrationを入れることにより、
可換環への写像を作ることができる。
従って、
- D加群に対してよいfiltrationを入れてgraded algebraの性質を見る
- filtrationの取り方によらない性質を取り出す
という方針がある。
特性多様体は、D加群から取り出せるfiltrationによらない可換環の性質。
非可換と可換をつなぐ性質として、Noether性、有限生成の仮定の元、
特性多様体のPoisson括弧に対するinvolutivityが成り立つ。
可換環において局所化による単純化は有用だったが、D加群においても、
超局所化により、微分作用素の局所的な振る舞いを取り出すことができる。
左D加群と右D加群の間にvolume-formを用いて対応を付けることができる。
* 直線上のD加群の例
O=D/D∂, δ=D/Dt
がある。
これは、D加群に対する操作として、積分と制限があるが、
積分に対応するのは、水平方向に制限する操作なので∂で割る。
制限は、O加群としてのskyscrapper層を取ってみればO/tOなので、
D加群としてD/Dtが制限に対応する。
Fourier変換で互いに移ること、特性多様体が水平、垂直方向の直線であることに注意する。
0->O->C[t,t^{-1}]->D/Dt->0
が成り立つ。
つまり、0->D/D∂->C[t,t^{-1}]->D/Dt->0,
C[t,t^{-1}]=D(1/t)=D/D(t∂)となる。
これは佐藤超関数としてのδ関数が[1/t]であったことに対応する。
log(t)を∂log(t)=1/tの解を表す記号とする。
D(log(t))はD(1/t)=C[t,t^{-1}]=D/D(t∂)を含み、
商O(log(t))はO=D/D∂と同型なので、
0->D/D(t∂)->D(log(t))->D/D∂->0
となり、
D(log(t))=D/D(∂t∂)
となる。
直線を1点とそれ以外に分解してD加群の貼り合わせを考える。
X=Spec(C[t]), R=C[t,t^{-1}], U = Spec(R) j:U->X i:Y={0}->X
として、
logによるextenstionをみる。
すなわち、
j_{*}Log^{n-1}=D((∂t)^n)
j_{!}Log^{n-1}=D((t∂)^n)
となるD加群を見る。
Malgrange construction(4.6.36)によりt^sという記号を導入できて、
Residue pairingにより、
Log^{n-1})=R t^s[s]/s^n R t^s [s]
が成り立つ。(lem4.6.5)
これからlimを取ることにより、佐藤グラスマン多様体のC((s))による記述が対応してくる。
貼り合わせは、Def4.6.28のGlueing categoryによって与えられる。
Def4.12.26でNearby functorが定義される。
* 順像、逆像、duality
スキームの場合と異なり重複度を見ているので、
冪零分の不定性はなく閉集合への制限は圏同値となる。
* 連接性、holonomicD加群
O-加群として連接なD加群はlocal systemになる。
これは、特性多様体が0-sectionに含まれるので、holonomicD加群の一例になる。
Notes on Perverse Sheaves and Vanishing Cycles
http://arxiv.org/abs/math/9908107v5
Vanishing cycles and mutation
http://arxiv.org/abs/math/0007115v3
単位円盤内の1点に関するvanishing cyclesは佐藤グラスマン多様体内のLagrangianで解釈できる。
すなわち、1点をreal blow-upしたS1上のL^2空間内のLagrangian全体が佐藤グラスマン多様体
であり、vanishing cyclesを与えることとLagrangianを与えることが対応する。(要check)
同様にvanishing cyclesをLagrangian部分多様体として解釈したい。
A1型の場合
SL(2)表現のモノドロミー保存変形
1-Matrix Model
スペクトル曲線としての超楕円曲線
球面の接バンドル
という関連があった。
超楕円曲線と球面の接バンドルの対応は、
Homological Mirror Symmetryの立場で解釈できるだろう。
Exact Lagrangian submanifolds of $T^*S^n$ and the graded Kronecker quiver
http://arxiv.org/abs/math/0401212v1
では、
An型ではどうなるか?
A2型に対応するモノドロミー保存変形は、2-Matrix Model(Cauchy 2-model)により与えられるので、
An型に対応するモノドロミー保存変形はn-Matrix Modelにより与えられそうだ。
そのスペクトル曲線はn次分岐を持つ曲線となる。
問題は、
このスペクトル曲線のJacobianにJacobi-Moser-Mumford型の可積分系が存在するか?
Jacobian-テータ因子を束ねた空間として現れる空間は何か?
その空間はHMSの対応で解釈できるか?
ということになる。
Lagrangian homology spheres in (A_m) Milnor fibres via C^*-equivariant A_infinity modules
http://arxiv.org/abs/1202.1955v3
をみると、Am型の空間の候補として、Springer fibersの空間が考えられる。
Matrix-Modelには直交多項式が有効だった。
では、その高次元化として、
Calabi-Yau多様体のHMSに現れるテータ関数をタウ関数に持つmatrix-Model
を定義することはできるだろうか?
Lagrangian fibrations on blowups of toric varieties and mirror symmetry for hypersurfaces
http://arxiv.org/abs/1205.0053
http://www.math.columbia.edu/~scautis/dmodules/ginzburg.pdf
微分作用素は掛け算作用素と非可換だが、filtrationを入れることにより、
可換環への写像を作ることができる。
従って、
- D加群に対してよいfiltrationを入れてgraded algebraの性質を見る
- filtrationの取り方によらない性質を取り出す
という方針がある。
特性多様体は、D加群から取り出せるfiltrationによらない可換環の性質。
非可換と可換をつなぐ性質として、Noether性、有限生成の仮定の元、
特性多様体のPoisson括弧に対するinvolutivityが成り立つ。
可換環において局所化による単純化は有用だったが、D加群においても、
超局所化により、微分作用素の局所的な振る舞いを取り出すことができる。
左D加群と右D加群の間にvolume-formを用いて対応を付けることができる。
* 直線上のD加群の例
O=D/D∂, δ=D/Dt
がある。
これは、D加群に対する操作として、積分と制限があるが、
積分に対応するのは、水平方向に制限する操作なので∂で割る。
制限は、O加群としてのskyscrapper層を取ってみればO/tOなので、
D加群としてD/Dtが制限に対応する。
Fourier変換で互いに移ること、特性多様体が水平、垂直方向の直線であることに注意する。
0->O->C[t,t^{-1}]->D/Dt->0
が成り立つ。
つまり、0->D/D∂->C[t,t^{-1}]->D/Dt->0,
C[t,t^{-1}]=D(1/t)=D/D(t∂)となる。
これは佐藤超関数としてのδ関数が[1/t]であったことに対応する。
log(t)を∂log(t)=1/tの解を表す記号とする。
D(log(t))はD(1/t)=C[t,t^{-1}]=D/D(t∂)を含み、
商O(log(t))はO=D/D∂と同型なので、
0->D/D(t∂)->D(log(t))->D/D∂->0
となり、
D(log(t))=D/D(∂t∂)
となる。
直線を1点とそれ以外に分解してD加群の貼り合わせを考える。
X=Spec(C[t]), R=C[t,t^{-1}], U = Spec(R) j:U->X i:Y={0}->X
として、
logによるextenstionをみる。
すなわち、
j_{*}Log^{n-1}=D((∂t)^n)
j_{!}Log^{n-1}=D((t∂)^n)
となるD加群を見る。
Malgrange construction(4.6.36)によりt^sという記号を導入できて、
Residue pairingにより、
Log^{n-1})=R t^s[s]/s^n R t^s [s]
が成り立つ。(lem4.6.5)
これからlimを取ることにより、佐藤グラスマン多様体のC((s))による記述が対応してくる。
貼り合わせは、Def4.6.28のGlueing categoryによって与えられる。
Def4.12.26でNearby functorが定義される。
* 順像、逆像、duality
スキームの場合と異なり重複度を見ているので、
冪零分の不定性はなく閉集合への制限は圏同値となる。
* 連接性、holonomicD加群
O-加群として連接なD加群はlocal systemになる。
これは、特性多様体が0-sectionに含まれるので、holonomicD加群の一例になる。
Notes on Perverse Sheaves and Vanishing Cycles
http://arxiv.org/abs/math/9908107v5
Vanishing cycles and mutation
http://arxiv.org/abs/math/0007115v3
単位円盤内の1点に関するvanishing cyclesは佐藤グラスマン多様体内のLagrangianで解釈できる。
すなわち、1点をreal blow-upしたS1上のL^2空間内のLagrangian全体が佐藤グラスマン多様体
であり、vanishing cyclesを与えることとLagrangianを与えることが対応する。(要check)
同様にvanishing cyclesをLagrangian部分多様体として解釈したい。
A1型の場合
SL(2)表現のモノドロミー保存変形
1-Matrix Model
スペクトル曲線としての超楕円曲線
球面の接バンドル
という関連があった。
超楕円曲線と球面の接バンドルの対応は、
Homological Mirror Symmetryの立場で解釈できるだろう。
Exact Lagrangian submanifolds of $T^*S^n$ and the graded Kronecker quiver
http://arxiv.org/abs/math/0401212v1
では、
An型ではどうなるか?
A2型に対応するモノドロミー保存変形は、2-Matrix Model(Cauchy 2-model)により与えられるので、
An型に対応するモノドロミー保存変形はn-Matrix Modelにより与えられそうだ。
そのスペクトル曲線はn次分岐を持つ曲線となる。
問題は、
このスペクトル曲線のJacobianにJacobi-Moser-Mumford型の可積分系が存在するか?
Jacobian-テータ因子を束ねた空間として現れる空間は何か?
その空間はHMSの対応で解釈できるか?
ということになる。
Lagrangian homology spheres in (A_m) Milnor fibres via C^*-equivariant A_infinity modules
http://arxiv.org/abs/1202.1955v3
をみると、Am型の空間の候補として、Springer fibersの空間が考えられる。
Matrix-Modelには直交多項式が有効だった。
では、その高次元化として、
Calabi-Yau多様体のHMSに現れるテータ関数をタウ関数に持つmatrix-Model
を定義することはできるだろうか?
Lagrangian fibrations on blowups of toric varieties and mirror symmetry for hypersurfaces
http://arxiv.org/abs/1205.0053
2012年8月16日木曜日
モノドロミー保存変形のタウ関数
* 直交多項式の性質
- 与えられた測度に対するL2空間の直交基底をなす
- 直交多項式からL2空間に関するKernel関数を定義することができる
- 3項漸化式により逐次計算できる
* 直交多項式と1-Matrix Model(1-MM)の関係
- 直交多項式を定義するのに用いた測度により1-MMを定義することができる
- 直交多項式から定まるKernel関数により2体相関関数が計算できる
- 多体相関関数は2体相関関数の計算に帰着する
- 1-MMの分配関数は直交多項式のnormsにより逐次計算できる
- 1-MMの分配関数はポテンシャルの時間発展に関してKP階層のタウ関数となっている
- 直交多項式によるHilbert空間内の基底表示からKPタウ関数を計算する行列式を表すことができる
([2] Appendix)
* 直交多項式のなすD加群 ([1]Th2.1 [2]Th2.1)
- 掛け算作用素は3重対角行列
- 2*2行列を用いて微分作用を書くことができる
これは、ポテンシャルによるtwist部分をあらわに計算することにより出てくる。
部分積分による反対称作用の記述のためにquasi-polynomialsを用いる。
- ポテンシャルと掛け算作用素を用いて微分作用を表すことができる
ポテンシャルの微分に関するFaber多項式になる。
* ポテンシャルが多項式の場合
* モノドロミー保存変形(IM)のタウ関数と1-MMの分配関数
- 定数倍を除き一致する([2]Th2.4)
- 積分路([2](2-5))
1-MMを計算する固有値の入る積分路は、
ポテンシャルにあわせて複素領域内の曲線とする。
そのため、直交多項式を定める測度も複素測度となる。
これによりStokes sectorsを与えることができる。
- 1-MMの分配関数とスペクトル曲線([2]Th2.3)
(n,n+1)次の直交多項式の微分作用の多項式表示
が定めるスペクトル曲線が1-MMの分配関数と関係する。
- Virasoro作用
1-MM分配関数にも、IM-タウ関数にもVirasoro作用がある。
0,-1次の作用が異なっていてその比較により定数が出てくる。([2](2-60))
* ポテンシャルが有理関数の場合
[3]で上記の結果を拡張している。
[1]A concise expression for the ODE's of orthogonal polynomials
http://arxiv.org/abs/math-ph/0109018v1
[2]Partition functions for Matrix Models and Isomonodromic Tau functions
http://arxiv.org/abs/nlin/0204054v4
[3]Semiclassical orthogonal polynomials, matrix models and isomonodromic tau functions
http://arxiv.org/abs/nlin/0410043v1
- 与えられた測度に対するL2空間の直交基底をなす
- 直交多項式からL2空間に関するKernel関数を定義することができる
- 3項漸化式により逐次計算できる
* 直交多項式と1-Matrix Model(1-MM)の関係
- 直交多項式を定義するのに用いた測度により1-MMを定義することができる
- 直交多項式から定まるKernel関数により2体相関関数が計算できる
- 多体相関関数は2体相関関数の計算に帰着する
- 1-MMの分配関数は直交多項式のnormsにより逐次計算できる
- 1-MMの分配関数はポテンシャルの時間発展に関してKP階層のタウ関数となっている
- 直交多項式によるHilbert空間内の基底表示からKPタウ関数を計算する行列式を表すことができる
([2] Appendix)
* 直交多項式のなすD加群 ([1]Th2.1 [2]Th2.1)
- 掛け算作用素は3重対角行列
- 2*2行列を用いて微分作用を書くことができる
これは、ポテンシャルによるtwist部分をあらわに計算することにより出てくる。
部分積分による反対称作用の記述のためにquasi-polynomialsを用いる。
- ポテンシャルと掛け算作用素を用いて微分作用を表すことができる
ポテンシャルの微分に関するFaber多項式になる。
* ポテンシャルが多項式の場合
* モノドロミー保存変形(IM)のタウ関数と1-MMの分配関数
- 定数倍を除き一致する([2]Th2.4)
- 積分路([2](2-5))
1-MMを計算する固有値の入る積分路は、
ポテンシャルにあわせて複素領域内の曲線とする。
そのため、直交多項式を定める測度も複素測度となる。
これによりStokes sectorsを与えることができる。
- 1-MMの分配関数とスペクトル曲線([2]Th2.3)
(n,n+1)次の直交多項式の微分作用の多項式表示
が定めるスペクトル曲線が1-MMの分配関数と関係する。
- Virasoro作用
1-MM分配関数にも、IM-タウ関数にもVirasoro作用がある。
0,-1次の作用が異なっていてその比較により定数が出てくる。([2](2-60))
* ポテンシャルが有理関数の場合
[3]で上記の結果を拡張している。
[1]A concise expression for the ODE's of orthogonal polynomials
http://arxiv.org/abs/math-ph/0109018v1
[2]Partition functions for Matrix Models and Isomonodromic Tau functions
http://arxiv.org/abs/nlin/0204054v4
[3]Semiclassical orthogonal polynomials, matrix models and isomonodromic tau functions
http://arxiv.org/abs/nlin/0410043v1
2012年7月23日月曜日
microlocal analysis
Three lectures on Algebraic Microlocal Analysis
http://arxiv.org/abs/1206.1435v1
microlocal homによるSerre functorの実現。
これから、Hall代数的な扱いができるのでは?
l 進層の特性類と分岐について
http://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~t-saito/jd/ag.pdf
Riemann-Roch theorems via deformation quantization
http://arxiv.org/abs/alg-geom/9705014
Riemann-Roch Theorems via deformation quanitzation I
http://arxiv.org/abs/math/9904121v1
Riemann-Roch via deformation quantization, II
http://arxiv.org/abs/math/0002115v2
Donaldson-Thomas invariants via microlocal geometry
http://arxiv.org/abs/math/0507523v2
Ribbon Graphs and Mirror Symmetry I
http://arxiv.org/abs/1103.2462v1
Constructible Sheaves and the Fukaya Category
http://arxiv.org/abs/math/0604379v4
Polytopes and Skeleta
http://arxiv.org/abs/1109.4430v1
http://arxiv.org/abs/1206.1435v1
microlocal homによるSerre functorの実現。
これから、Hall代数的な扱いができるのでは?
l 進層の特性類と分岐について
http://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~t-saito/jd/ag.pdf
Riemann-Roch theorems via deformation quantization
http://arxiv.org/abs/alg-geom/9705014
Riemann-Roch Theorems via deformation quanitzation I
http://arxiv.org/abs/math/9904121v1
Riemann-Roch via deformation quantization, II
http://arxiv.org/abs/math/0002115v2
Donaldson-Thomas invariants via microlocal geometry
http://arxiv.org/abs/math/0507523v2
Ribbon Graphs and Mirror Symmetry I
http://arxiv.org/abs/1103.2462v1
Constructible Sheaves and the Fukaya Category
http://arxiv.org/abs/math/0604379v4
Polytopes and Skeleta
http://arxiv.org/abs/1109.4430v1
2012年6月24日日曜日
クラスター
* Seiberg-Witten曲線
Seiberg-Witten integrable systemshttp://arxiv.org/abs/alg-geom/9705010v1
Geometry and physics of localization sums
http://www.math.columbia.edu/~thaddeus/seattle/okounkov.pdf
Donaldson-Thomas theoryは、
target space内の空間をイデアル層で数え上げるもの。
そのために、コホモロジー類(degree)、genus, Euler数をパラメータとするHilbert schemeを用いる。
target spaceがtoric Calabi-Yau 3foldの場合、
virtual fundamental classは0次元。
toricの場合、トーラス作用がHilbert schemeにあり、
局所化による計算が可能になり、DTの母関数はトーラス作用の孤立不動点の和になる。
トーラス作用の不動点は、凸多面体の頂点に対応する。
結晶溶解モデルにより統計力学の考え方に則って、
エネルギー=-化学ポテンシャル*体積+const*面積
として平衡状態のパラメータの条件を見ると、
化学ポテンシャルとDTのgenus依存性が対応し、
凸多面体の辺の長さとDTのdegree依存性が対応する。
熱力学的極限は、
化学ポテンシャルが0になる極限、すなわち、DTのgenus依存部分が0の場合。
この場合、
離散的な凸多面体の極限であるlimit shapeが現れるが、
これは、Ronkin関数を用いて記述される(実)代数曲線となり、
mirror curveである。
すなわち、Seiberg-Witten曲線となる。
行列模型とストークス現象
http://www2.yukawa.kyoto-u.ac.jp/~tada/matrix/pdfs/Irie.pdf
行列模型においてlargeN極限とは、
離散的に定義された三角形分割による離散曲面に対する経路積分の、
meshの目の細かさに対する連続極限に対応する。
すなわち、弦の摂動展開。
行列模型のスペクトル曲線は、lageN極限における固有値の分布の情報を持っているので、
摂動的物理量はスペクトル曲線の情報から計算できる。
この場合、スペクトル曲線=Seiberg-Witten曲線。
一方、
非摂動的に化学ポテンシャルを入れた場合の分配関数は、
Seiberg-Witten曲線の情報だけでは定まらない。
Seiberg-Witten曲線は熱力学的極限、
あるいは、半古典近似であるから、
WKB法によるシュレーディンガー方程式の解の近似と
関係があることが想像される。
* WKB法
特異摂動の代数解析学
https://www.jstage.jst.go.jp/article/sugaku1947/45/4/45_4_299/_pdf
1次元シュレディンガー方程式を、ポテンシャルQ(x)で用いて表した時に、
Q(x)^{1/2}をSeiberg-Witten曲線と見なしたい。
それが(1.4)の漸化式。
解のBorel変換を波動方程式の解と見る
(1.9)は、陪特性曲線に沿って特異性が伝搬する、
ということを示しているが、
これはEynardのスペクトル曲線における(y,x)の積分、あるいはSeiberg-Witten微分の積分
の一つの解釈になる。
Stokes曲線を変わり点を頂点とする2部グラフとみなすと、
Q(x)がFuchs型の微分方程式として与えられる場合には、
モノドロミー表現は2部グラフに対する組み合わせ的操作によって記述できる。
- 一番簡単な場合はAiry関数の場合で、これはQ(x)=xの場合に相当する。
- Random matrix側でのRiemann-Hilbert問題の解法との関係は?
- Q(x)のアメーバとStokes曲線の関係は?
- モノドロミー保存変形の場合に許される操作は?
- Stokes曲線とtrain tracksとの関係は?
といった疑問が生じる。
* 1点で分岐している場合NOTES ON PSI CLASSES
http://www.mat.uab.es/~kock/GW/notes/psi-notes.pdf
Invariants of spectral curves and intersection theory of moduli spaces of complex curves
http://arxiv.org/abs/1110.2949v1
* モノドロミー保存変形とHitchin Hamiltonian
Quantized moduli spaces of flat connections, Liouville theory, and integrable models
http://online.itp.ucsb.edu/online/integral11/teschner/pdf/Teschner_Integral11_KITP.pdf
Quantization of the Hitchin moduli spaces, Liouville theory, and the geometric Langlands correspondence I
http://arxiv.org/abs/1005.2846v4
G=SL(2)の場合に、
a) Fuchs型の微分方程式のモノドロミー保存変形
b) Liouville theory
c) Hitchin系(の量子化)
に対応がある。
* タイヒミュラー空間
Moduli spaces of local systems and higher Teichmuller theory
http://arxiv.org/abs/math/0311149v4
上記のa),b),c)の対応を一般の簡約群Gで定義するためには、
タイヒミュラー空間が定義される必要がある。
そのため、positeive representationの概念を定義し、
そのmoduliを定義する。
* クラスター代数
http://www.math.tohoku.ac.jp/~kuroki/LaTeX/201205Nagao/
Seiberg-Witten integrable systemshttp://arxiv.org/abs/alg-geom/9705010v1
Geometry and physics of localization sums
http://www.math.columbia.edu/~thaddeus/seattle/okounkov.pdf
Donaldson-Thomas theoryは、
target space内の空間をイデアル層で数え上げるもの。
そのために、コホモロジー類(degree)、genus, Euler数をパラメータとするHilbert schemeを用いる。
target spaceがtoric Calabi-Yau 3foldの場合、
virtual fundamental classは0次元。
toricの場合、トーラス作用がHilbert schemeにあり、
局所化による計算が可能になり、DTの母関数はトーラス作用の孤立不動点の和になる。
トーラス作用の不動点は、凸多面体の頂点に対応する。
結晶溶解モデルにより統計力学の考え方に則って、
エネルギー=-化学ポテンシャル*体積+const*面積
として平衡状態のパラメータの条件を見ると、
化学ポテンシャルとDTのgenus依存性が対応し、
凸多面体の辺の長さとDTのdegree依存性が対応する。
熱力学的極限は、
化学ポテンシャルが0になる極限、すなわち、DTのgenus依存部分が0の場合。
この場合、
離散的な凸多面体の極限であるlimit shapeが現れるが、
これは、Ronkin関数を用いて記述される(実)代数曲線となり、
mirror curveである。
すなわち、Seiberg-Witten曲線となる。
行列模型とストークス現象
http://www2.yukawa.kyoto-u.ac.jp/~tada/matrix/pdfs/Irie.pdf
行列模型においてlargeN極限とは、
離散的に定義された三角形分割による離散曲面に対する経路積分の、
meshの目の細かさに対する連続極限に対応する。
すなわち、弦の摂動展開。
行列模型のスペクトル曲線は、lageN極限における固有値の分布の情報を持っているので、
摂動的物理量はスペクトル曲線の情報から計算できる。
この場合、スペクトル曲線=Seiberg-Witten曲線。
一方、
非摂動的に化学ポテンシャルを入れた場合の分配関数は、
Seiberg-Witten曲線の情報だけでは定まらない。
Seiberg-Witten曲線は熱力学的極限、
あるいは、半古典近似であるから、
WKB法によるシュレーディンガー方程式の解の近似と
関係があることが想像される。
* WKB法
特異摂動の代数解析学
https://www.jstage.jst.go.jp/article/sugaku1947/45/4/45_4_299/_pdf
1次元シュレディンガー方程式を、ポテンシャルQ(x)で用いて表した時に、
Q(x)^{1/2}をSeiberg-Witten曲線と見なしたい。
それが(1.4)の漸化式。
解のBorel変換を波動方程式の解と見る
(1.9)は、陪特性曲線に沿って特異性が伝搬する、
ということを示しているが、
これはEynardのスペクトル曲線における(y,x)の積分、あるいはSeiberg-Witten微分の積分
の一つの解釈になる。
Stokes曲線を変わり点を頂点とする2部グラフとみなすと、
Q(x)がFuchs型の微分方程式として与えられる場合には、
モノドロミー表現は2部グラフに対する組み合わせ的操作によって記述できる。
- 一番簡単な場合はAiry関数の場合で、これはQ(x)=xの場合に相当する。
- Random matrix側でのRiemann-Hilbert問題の解法との関係は?
- Q(x)のアメーバとStokes曲線の関係は?
- モノドロミー保存変形の場合に許される操作は?
- Stokes曲線とtrain tracksとの関係は?
といった疑問が生じる。
* 1点で分岐している場合NOTES ON PSI CLASSES
http://www.mat.uab.es/~kock/GW/notes/psi-notes.pdf
Invariants of spectral curves and intersection theory of moduli spaces of complex curves
http://arxiv.org/abs/1110.2949v1
* モノドロミー保存変形とHitchin Hamiltonian
Quantized moduli spaces of flat connections, Liouville theory, and integrable models
http://online.itp.ucsb.edu/online/integral11/teschner/pdf/Teschner_Integral11_KITP.pdf
Quantization of the Hitchin moduli spaces, Liouville theory, and the geometric Langlands correspondence I
http://arxiv.org/abs/1005.2846v4
G=SL(2)の場合に、
a) Fuchs型の微分方程式のモノドロミー保存変形
b) Liouville theory
c) Hitchin系(の量子化)
に対応がある。
* タイヒミュラー空間
Moduli spaces of local systems and higher Teichmuller theory
http://arxiv.org/abs/math/0311149v4
上記のa),b),c)の対応を一般の簡約群Gで定義するためには、
タイヒミュラー空間が定義される必要がある。
そのため、positeive representationの概念を定義し、
そのmoduliを定義する。
* クラスター代数
http://www.math.tohoku.ac.jp/~kuroki/LaTeX/201205Nagao/
2012年6月19日火曜日
クリスタリン
* 標数0でのalgebraic de Rham cohomology
Basics of Algebraic de Rham Cohomology
http://www.math.harvard.edu/~jay/writings/derham.pdf
で、Grothendieckによる代数的なde Rham cohomologyと解析的de Rham cohomologyのisomorphism
が説明されている。
properでない場合は広中の特異点解消定理によりsmooth proper schemeに埋め込んで議論をする。
埋め込み方によらず、complementで任意位数の極を持つ微分形式が定義でき、
GAGAが使用できる点がポイント。
ON THE DE RHAM COHOMOLOGY OF ALGEBRAIC VARIETIES
http://www.math.brown.edu/~wgillam/dR.pdf
のExample1に、
局所環に対応するde Rham complexとその点での形式環に対応するde Rham complex
の比較に言及されている。
ON THE DE RHAM COHOMOLOGY OF ALGEBRAIC VARIETIES
http://archive.numdam.org/ARCHIVE/PMIHES/PMIHES_1975__45_/PMIHES_1975__45__5_0/PMIHES_1975__45__5_0.pdf
section7でAmbient spaceの方を元のschemeに沿って完備化し、normal bundleを取る、という形で定式化を行っている。
Comparison theorems between algebraic and analytic De Rham cohomology (with emphasis on the p-adic case)
http://www.emis.de/journals/JTNB/2004-2/pages335-355.pdf
Grothendieckの同型対応を、定数層から係数を代数的ベクトル束とした場合、
問題になるのは、微分、すなわち接続の特異性(分岐)で、
これが穏やかでないと、単純な同型対応はできない。
devissageにより、射影直線上の分岐被覆について成り立てば全体で成り立つ、
という議論に帰着できる場合がある。
ただし、複素数の場合とp進の場合で、収束の状況が異なり、
微分方程式が解けるためにパラメータがLiouville数でない、など制限がつく場合がある。
* inifinitesimal site
http://www.math.harvard.edu/~gaitsgde/grad_2009/SeminarNotes/Nov17-19%28Crystals%29.pdf
標数0の場合、crystalはinifinitesimal site上のtoposとして定義される。
可微分多様体の場合には、jetという概念があり、
関数のテーラー展開の提示の項のみを取り出す操作ができた。
これを代数的に行うと、infinitesimal siteとなり、
そのsite上での層の圏がinfinitesimal toposとなる。
Cohomology of the Infinitesimal site
http://archive.numdam.org/ARCHIVE/ASENS/ASENS_1975_4_8_3/ASENS_1975_4_8_3_295_0/ASENS_1975_4_8_3_295_0.pdf
Th4.6でinifinitesimal site上のcohomologyを計算している。
また、標数pの場合にinifinitesimal site上のcohomologyはetale cohomologyとなり、
crystalline cohomologyのstable partとなることを示している。
* divided power
DIFFERENTIAL EQUATIONS IN DIVIDED POWER ALGEBRAS, RECURRENCE RELATIONS AND FORMAL GROUPS
http://www.maths.gla.ac.uk/~ajb/dvi-ps/recde.pdf
Hopf代数の観点から見ると、divided powerは解り易い。
(dualはLie代数のenvelopping algebraになるが、q-deformのような話はあるのだろうか?)
* 標数pでsmooth schemeの場合
Notes on Crystalline cohomology
http://www.mabli.org/mabli/files/BerthelotOgus-Crystalline.pdf
標数pの体上で代数多様体のde-Rham cohomologyを計算しようとすると、
係数の問題が生じる。
係数が標数pのままであればよいが、標数0の係数上で複体を計算する場合、
p冪方向にも変形が生じるので、その分を考慮に入れる必要がある。
そのため、infinitesimal siteではいわゆるunit root方向しか補足できず、
toposの条件にdivided powerを入れて、位相を強くする。
それがcrystalになる。
crystalは具体的には接続が定義されたmoduleの列。
* 標数pの場合
Crystalline cohomology and de Rham cohomologyhttp://arxiv.org/abs/1110.5001v1
Basics of Algebraic de Rham Cohomology
http://www.math.harvard.edu/~jay/writings/derham.pdf
で、Grothendieckによる代数的なde Rham cohomologyと解析的de Rham cohomologyのisomorphism
が説明されている。
properでない場合は広中の特異点解消定理によりsmooth proper schemeに埋め込んで議論をする。
埋め込み方によらず、complementで任意位数の極を持つ微分形式が定義でき、
GAGAが使用できる点がポイント。
ON THE DE RHAM COHOMOLOGY OF ALGEBRAIC VARIETIES
http://www.math.brown.edu/~wgillam/dR.pdf
のExample1に、
局所環に対応するde Rham complexとその点での形式環に対応するde Rham complex
の比較に言及されている。
ON THE DE RHAM COHOMOLOGY OF ALGEBRAIC VARIETIES
http://archive.numdam.org/ARCHIVE/PMIHES/PMIHES_1975__45_/PMIHES_1975__45__5_0/PMIHES_1975__45__5_0.pdf
section7でAmbient spaceの方を元のschemeに沿って完備化し、normal bundleを取る、という形で定式化を行っている。
Comparison theorems between algebraic and analytic De Rham cohomology (with emphasis on the p-adic case)
http://www.emis.de/journals/JTNB/2004-2/pages335-355.pdf
Grothendieckの同型対応を、定数層から係数を代数的ベクトル束とした場合、
問題になるのは、微分、すなわち接続の特異性(分岐)で、
これが穏やかでないと、単純な同型対応はできない。
devissageにより、射影直線上の分岐被覆について成り立てば全体で成り立つ、
という議論に帰着できる場合がある。
ただし、複素数の場合とp進の場合で、収束の状況が異なり、
微分方程式が解けるためにパラメータがLiouville数でない、など制限がつく場合がある。
* inifinitesimal site
http://www.math.harvard.edu/~gaitsgde/grad_2009/SeminarNotes/Nov17-19%28Crystals%29.pdf
標数0の場合、crystalはinifinitesimal site上のtoposとして定義される。
可微分多様体の場合には、jetという概念があり、
関数のテーラー展開の提示の項のみを取り出す操作ができた。
これを代数的に行うと、infinitesimal siteとなり、
そのsite上での層の圏がinfinitesimal toposとなる。
Cohomology of the Infinitesimal site
http://archive.numdam.org/ARCHIVE/ASENS/ASENS_1975_4_8_3/ASENS_1975_4_8_3_295_0/ASENS_1975_4_8_3_295_0.pdf
Th4.6でinifinitesimal site上のcohomologyを計算している。
また、標数pの場合にinifinitesimal site上のcohomologyはetale cohomologyとなり、
crystalline cohomologyのstable partとなることを示している。
* divided power
DIFFERENTIAL EQUATIONS IN DIVIDED POWER ALGEBRAS, RECURRENCE RELATIONS AND FORMAL GROUPS
http://www.maths.gla.ac.uk/~ajb/dvi-ps/recde.pdf
Hopf代数の観点から見ると、divided powerは解り易い。
(dualはLie代数のenvelopping algebraになるが、q-deformのような話はあるのだろうか?)
* 標数pでsmooth schemeの場合
Notes on Crystalline cohomology
http://www.mabli.org/mabli/files/BerthelotOgus-Crystalline.pdf
標数pの体上で代数多様体のde-Rham cohomologyを計算しようとすると、
係数の問題が生じる。
係数が標数pのままであればよいが、標数0の係数上で複体を計算する場合、
p冪方向にも変形が生じるので、その分を考慮に入れる必要がある。
そのため、infinitesimal siteではいわゆるunit root方向しか補足できず、
toposの条件にdivided powerを入れて、位相を強くする。
それがcrystalになる。
crystalは具体的には接続が定義されたmoduleの列。
* 標数pの場合
Crystalline cohomology and de Rham cohomologyhttp://arxiv.org/abs/1110.5001v1
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