結び目は3次元球面に埋め込まれた1次元球面のことであった。
結び目の情報を取得するために、
1. Morse関数を選んで1次元に射影し、critical pointsの位置と指数を記述する。
または、
2. 結び目の1点を固定し、結び目を包む2次元球面に対して、その点と結び目の点を通る直線による射影を行う。
(これは平面射影と同じである。)
という方法が考えられる。
2.のほうは、Lefshetz pencilの手法の類似とみなせる。
0次元球面は2点であり非連結であるから、S1上の2重分岐被覆は、
S1上の0次元球面バンドルで特異点を持つものと思える。
それをblow-upにより引き剥がすことで、
0次元球面、すなわち2点からなる0次元のvanishing cyclesの情報が付加される。
組紐群のKZ方程式による表現の局所モノドロミーからスケイン関係式が出てくることを思い出すと、
強引にLefshetz pencilのモノドロミー表現からスケイン関係式が生じている、
と思えないこともない。
(ただし、スケイン関係式のパラメータがこの場合何を指しているかというと、
モノドロミー表現の固有値ということになるが、
0次元球面だとパラメータを持てないため、その分の自由度をどこかで与える必要がある。)
Q:接バンドルを取ることにより、結び目から、射影直線上のrank2(ベクトル)束が生じるとみなすことができるか?
Q:だとすれば、射影直線上のrank2分岐ベクトル束は結び目の適当な集合の情報を保持していることになる。これはベクトル束と分岐の情報からどのように定まるか?
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