サマースクール 復習 その12

*Donaldson-Thomas invariatns

Donaldson-Thomas invariants
http://www.ihes.fr/~maxim/TEXTS/DTinv-AT2007.pdf

導来圏の安定性条件を用いて、
t-構造およびそれに付随するアーベル圏を定めることができる。
代数多様体の導来圏について、安定性条件から一つアーベル圏を定めると、
アーベル圏が、
有限次元代数の加群の圏の場合や、
Quiver with potentialの場合がある。
このようなアーベル圏を扱う枠組みとして、
3次元Calabi-Yau圏がある。

実3次元多様体(の上の接続)に対して、Chern-Simons汎関数が定義され、
その正則バージョンとして、
複素3次元Calabi-Yau多様体(の上の正則接続)にして、正則Chern-Simons汎関数が定義される。
そのcritical pointsに対し不変量がされる。

これを拡張して、
3次元Calabi-Yau圏に対して、
安定性条件から定まるアーベル圏のmoduli stackの
virtual dimensionが0の時、そのvirtual numbersで、
numerical Donaldson-Thomas(DT) invariantsが定義できる。
(GW理論と同様、モジュライに対してvirtual fundamental classが定義できて、
不変量がwell-definedであることを確かめる必要がある。)

3次元Calabi-Yau圏に対して、
Motivic Hall代数とその部分群として、
Motivic Quantum Torusが定まる。
さらに、phaseを固定して無限積を取ることで、
DT-invariantsからMotivic Quantum Torusの元を定義することができる。
この元は、安定性条件の壁超えに対して、
良い振る舞いをする。