* 極小表現
極小表現入門
http://rtweb.math.kyoto-u.ac.jp/preprint/min.pdf
* 冪零軌道
Quantization of Slodowy slices
http://arxiv.org/abs/math/0105225v2
Nilpotent orbits and finite W-algebras
http://arxiv.org/abs/0912.0689v2
PRINCIPAL AFFINE W-ALGEBRAS- AN OVERVIEW
http://dml.ms.u-tokyo.ac.jp/PSRT/PSRT_28/Arakawa.pdf
* CFT
Classical conformal blocks and Painlev ́e VI
http://media.scgp.stonybrook.edu/presentations/20130124_2_-facets-of-Integrability-Lukyanov.pdf
Conformal field theory of Painlevé VI
http://arxiv.org/abs/1207.0787v3
* Tau-function
τ函数の理論 -モ ノドロミー不変変形と場の量子論-
https://www.jstage.jst.go.jp/article/sugaku1947/32/4/32_4_289/_pdf
2次 元の可解な格子模型とモジュラー函数
https://www.jstage.jst.go.jp/article/sugaku1947/40/1/40_1_1/_pdf
Tau functions for the Dirac operator on the cylinder
http://arxiv.org/abs/hep-th/0312277v2
On the Quillen determinant
http://arxiv.org/abs/math/0309127v1
2013年5月30日木曜日
2013年5月21日火曜日
順当な疑問
* 佐藤Grassmann多様体
The algebraic formalism of soliton equations over arbitrary base fields
http://arxiv.org/abs/alg-geom/9606009v2
佐藤Grassmann多様体における時間発展の作用は、
標数0の体上では形式的にexponential mapを用いて記述でき、
1点穴あき円盤のなす形式スキームにおいて、
Abel-Jacobi mapを用いた定式化もできる。
標数pの体上では、そのままでは群作用が定義できないが、
Hodge-Pink構造の周期を見ることに対して、
Lubin-Tate formal group-lawを用いて群作用を定義することができる。
また、Abel-jacobi mapに対応するものは、
local-shtukaから定まる周期の対応、
と思える。
* Hodge-Pink構造
Period Spaces for Hodge Structures in Equal Characteristic
http://arxiv.org/abs/math/0511686v3
local shtukaの定義は、
ベクトル束にFrobenius作用があり、それがetaleであること、
さらに、1点を除いた円盤のうえの無限小の概念。
local shtukaにはTate加群が定義できる。
Tate加群に対してGalois群の作用を定めることができるので、
local shtukaとGalois表現を対応させることができる。
A Dictionary between Fontaine-Theory and its Analogue in Equal Characteristic
http://arxiv.org/abs/math/0607182v1
Vector bundles with a Frobenius structure on the punctured unit disc
http://www.journals.cambridge.org/abstract_S0010437X03000216
VECTOR BUNDLES ON CURVES AND p-ADIC HODGE THEORY
http://www.math.jussieu.fr/~fargues/Durham.pdf
標数pの体上の佐藤Grassmann多様体は、
FF-curve上で見るのがよさそうだ。
Q: 標数pの体上の頂点作用素代数を構成すること
Q: 混標数の局所体上の頂点作用素代数を構成すること
この場合、局所性は、
周期環におけるpとTeichmuller-liftとの差を用いて冪零という形で定式化されるはず。
Torsion points on Jacobian varieties via Anderson's p-adic soliton theory
http://arxiv.org/abs/1210.5838v2
Q: この論文の内容をFontaine-Fargues curveの上で定式化して見ること
さらに、Hodge-Pink構造の変動ということで、Barannikovのsemi-infinite VHSの類似とみなしたい。
The algebraic formalism of soliton equations over arbitrary base fields
http://arxiv.org/abs/alg-geom/9606009v2
佐藤Grassmann多様体における時間発展の作用は、
標数0の体上では形式的にexponential mapを用いて記述でき、
1点穴あき円盤のなす形式スキームにおいて、
Abel-Jacobi mapを用いた定式化もできる。
標数pの体上では、そのままでは群作用が定義できないが、
Hodge-Pink構造の周期を見ることに対して、
Lubin-Tate formal group-lawを用いて群作用を定義することができる。
また、Abel-jacobi mapに対応するものは、
local-shtukaから定まる周期の対応、
と思える。
* Hodge-Pink構造
Period Spaces for Hodge Structures in Equal Characteristic
http://arxiv.org/abs/math/0511686v3
local shtukaの定義は、
ベクトル束にFrobenius作用があり、それがetaleであること、
さらに、1点を除いた円盤のうえの無限小の概念。
local shtukaにはTate加群が定義できる。
Tate加群に対してGalois群の作用を定めることができるので、
local shtukaとGalois表現を対応させることができる。
A Dictionary between Fontaine-Theory and its Analogue in Equal Characteristic
http://arxiv.org/abs/math/0607182v1
Vector bundles with a Frobenius structure on the punctured unit disc
http://www.journals.cambridge.org/abstract_S0010437X03000216
VECTOR BUNDLES ON CURVES AND p-ADIC HODGE THEORY
http://www.math.jussieu.fr/~fargues/Durham.pdf
標数pの体上の佐藤Grassmann多様体は、
FF-curve上で見るのがよさそうだ。
Q: 標数pの体上の頂点作用素代数を構成すること
Q: 混標数の局所体上の頂点作用素代数を構成すること
この場合、局所性は、
周期環におけるpとTeichmuller-liftとの差を用いて冪零という形で定式化されるはず。
Torsion points on Jacobian varieties via Anderson's p-adic soliton theory
http://arxiv.org/abs/1210.5838v2
Q: この論文の内容をFontaine-Fargues curveの上で定式化して見ること
さらに、Hodge-Pink構造の変動ということで、Barannikovのsemi-infinite VHSの類似とみなしたい。
2013年5月10日金曜日
ちょっと大胆な疑問
* tropical curve
Analytification is the limit of all tropicalizations
http://arxiv.org/pdf/0805.1916v3
The tropicalization of the moduli space of curves
http://arxiv.org/abs/1212.0373v1
* Mirror symmetry
Mirror Symmetry and Monodromy of Hypergeometric Series
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/pdf/1501-7.pdf
トーリックミラー対称性
http://www.math.tohoku.ac.jp/~sa6m07/document/lecturenote/GP-TLM19-Iritani.pdf
* Semi-infinite VHS
Quantum periods - I. Semi-infinite variations of Hodge structures
http://arxiv.org/abs/math/0006193v2
Semi-infinite Hodge structures and mirror symmetry for projective spaces
http://arxiv.org/abs/math/0010157v2
* tropical diskによる数え上げ
Floer cohomology and disc instantons of Lagrangian torus fibers in Fano toric manifolds
http://arxiv.org/abs/math/0308225v1
Mirror symmetry for P^2 and tropical geometry
http://arxiv.org/abs/0903.1378v2
- A-model、すなわちGromov-Witten不変量の計算は、Frobenius多様体の構造に帰着される
- Frobenius多様体の構造は、semi-infinite VHSの構造から復元される
- semi-inifinite VHSの構造は、モノドロミー保存変形から定まる佐藤Grassmann多様体内の点の動きを与えること
0と∞に特異点をもつ射影直線上の常微分方程式、量子微分方程式
- toric Fanoの場合、A-model側のsemi-infinite VHSはGiventalのJ関数によって記述される
- toric Fanoの場合、B-model側のsemi-infinite VHSはuniversal unfoldingに関する振動積分の変動によって記述される
- 射影平面の場合、
torically-transverse stable map of genus zeroの数え上げは、tropical diskの数え上げに帰着する
B-model側のsemi-infinite VHSの構成は、
potential関数の摂動をmaslov index 2のtropical diskの数え上げに帰着させ得られる
* p進
Triangulation et cohomologie étale sur une courbe analytique
http://arxiv.org/abs/math/0501508v1
Relative p-adic Hodge theory, II: (phi, Gamma)-modules
http://arxiv.org/abs/1301.0795v1
* 疑問点
Q: toric多様体のtoric部分多様体によるstratificationにおいてのperverse sheavesの圏、超局所解析のfanによる記述
Q: p進Hodgeのsemi-infinite VHSの構成
Q: tropical diskの数え上げからp進Hodgeのsemi-infinite VHSを構成すること
Q: p進における振動積分の代替(Laumonによるstationary phaseの記述を参考にするとperverse sheafとなるはず?)
Q: semi-infinite VHSに付随するGalois表現が有限monodromyである場合にl進層へGalois表現を実現すること
Analytification is the limit of all tropicalizations
http://arxiv.org/pdf/0805.1916v3
The tropicalization of the moduli space of curves
http://arxiv.org/abs/1212.0373v1
* Mirror symmetry
Mirror Symmetry and Monodromy of Hypergeometric Series
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/pdf/1501-7.pdf
トーリックミラー対称性
http://www.math.tohoku.ac.jp/~sa6m07/document/lecturenote/GP-TLM19-Iritani.pdf
* Semi-infinite VHS
Quantum periods - I. Semi-infinite variations of Hodge structures
http://arxiv.org/abs/math/0006193v2
Semi-infinite Hodge structures and mirror symmetry for projective spaces
http://arxiv.org/abs/math/0010157v2
* tropical diskによる数え上げ
Floer cohomology and disc instantons of Lagrangian torus fibers in Fano toric manifolds
http://arxiv.org/abs/math/0308225v1
Mirror symmetry for P^2 and tropical geometry
http://arxiv.org/abs/0903.1378v2
- A-model、すなわちGromov-Witten不変量の計算は、Frobenius多様体の構造に帰着される
- Frobenius多様体の構造は、semi-infinite VHSの構造から復元される
- semi-inifinite VHSの構造は、モノドロミー保存変形から定まる佐藤Grassmann多様体内の点の動きを与えること
0と∞に特異点をもつ射影直線上の常微分方程式、量子微分方程式
- toric Fanoの場合、A-model側のsemi-infinite VHSはGiventalのJ関数によって記述される
- toric Fanoの場合、B-model側のsemi-infinite VHSはuniversal unfoldingに関する振動積分の変動によって記述される
- 射影平面の場合、
torically-transverse stable map of genus zeroの数え上げは、tropical diskの数え上げに帰着する
B-model側のsemi-infinite VHSの構成は、
potential関数の摂動をmaslov index 2のtropical diskの数え上げに帰着させ得られる
* p進
Triangulation et cohomologie étale sur une courbe analytique
http://arxiv.org/abs/math/0501508v1
Relative p-adic Hodge theory, II: (phi, Gamma)-modules
http://arxiv.org/abs/1301.0795v1
* 疑問点
Q: toric多様体のtoric部分多様体によるstratificationにおいてのperverse sheavesの圏、超局所解析のfanによる記述
Q: p進Hodgeのsemi-infinite VHSの構成
Q: tropical diskの数え上げからp進Hodgeのsemi-infinite VHSを構成すること
Q: p進における振動積分の代替(Laumonによるstationary phaseの記述を参考にするとperverse sheafとなるはず?)
Q: semi-infinite VHSに付随するGalois表現が有限monodromyである場合にl進層へGalois表現を実現すること
2013年3月21日木曜日
素朴な疑問
* 絶対Galois群のPersistent homologyもしも、局所体の絶対Galois群が、
局所体の位相構造によって標準的に定まる距離空間に連続に埋め込まれていれば、
距離空間から定まる距離によって、Persistent homologyが計算できる。
特に、その0次、すなわち連結成分の挙動を見ることにより、
絶対Galois群にfiltrationを入れることができる。
無論、標準的な距離空間への埋め込みは存在していないが、
Abbes-Saitoによる上付きfiltrationの考え方は、
quotientとしての有限群を
rigid analytic spaceへ標準的に埋め込んで、
各点での近傍に膨らましていった時の連結成分の挙動を調べ、
それを元の群の情報に持ち上げる、
ということのようだ。
filtrationに対するgraded groupを見るということは、
距離空間において焦点をあてるスケールを固定する、ということだが、
graded groupは(p-torsion)abel群になり、
特に、そのdualは
(log)微分形式からfiltrationにより一部を取り出したもの、
に埋め込まれる。
標数pでの基本的な拡大はArtin-Schreier拡大だが、
これは元の体の環の演算を用いていて、
絶対Galois群を抽象的な位相群と見ているだけではでてこない(はず)。
(局所体の分岐群について
http://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~t-saito/talk/ram.pdf
)
graded groupの微分形式への埋め込みは、
On refined ramification filtrations in the equal characteristic case
http://arxiv.org/abs/0911.1802v3
のProp3.1.11およびTh3.4.1で
p進微分方程式の分解と対応付けられている。
Q: 絶対Galois群に対して、高次のPersistent homologyは、
Galois群の情報から意味ある量で記述できるか?
* 数え上げ
Q:n次Galois拡大は、n個のdiviserの交わりと思い、
交わりを摂動することで、n角形と見なし、数え上げを行うことが出来ないだろうか?
* 深谷圏
Constructible Sheaves and the Fukaya Category
http://arxiv.org/abs/math/0604379v4
Microlocal branes are constructible sheaves
http://arxiv.org/abs/math/0612399v4
X:compact real analytic manifold
に対して、その余接バンドル内のexact Lagrangian branesのなす深谷圏は、
Xの可構層の導来圏から得られるdg圏と同値だった。
Riemann-Hilbert対応により、可構層の導来圏は、
確定特異点型ホロノミーD加群の導来圏と導来同値だった。
Q:不確定特異点型も含めたホロノミーD加群の導来圏と導来同値な
可構層の導来圏を含む三角圏は存在するか?
(Introduction to Stokes structures
http://arxiv.org/abs/0912.2762v3
ではStokes-perverse sheafの圏が定義されRiemann-Hilbert対応が成り立つ、とある。
)
Q:Stokes-perverse sheafに対して、
characteristic cycleによるNadler-Zaslowの対応を拡張することができるか?
できるとすれば、対応するLagrangianはどのような性質を持つか?
Q:標数pの体上の固有代数多様体上のl進層の導来圏に対して、
characteristic cycleの対応を与えることにより、dg圏を構成できるか?
局所体の位相構造によって標準的に定まる距離空間に連続に埋め込まれていれば、
距離空間から定まる距離によって、Persistent homologyが計算できる。
特に、その0次、すなわち連結成分の挙動を見ることにより、
絶対Galois群にfiltrationを入れることができる。
無論、標準的な距離空間への埋め込みは存在していないが、
Abbes-Saitoによる上付きfiltrationの考え方は、
quotientとしての有限群を
rigid analytic spaceへ標準的に埋め込んで、
各点での近傍に膨らましていった時の連結成分の挙動を調べ、
それを元の群の情報に持ち上げる、
ということのようだ。
filtrationに対するgraded groupを見るということは、
距離空間において焦点をあてるスケールを固定する、ということだが、
graded groupは(p-torsion)abel群になり、
特に、そのdualは
(log)微分形式からfiltrationにより一部を取り出したもの、
に埋め込まれる。
標数pでの基本的な拡大はArtin-Schreier拡大だが、
これは元の体の環の演算を用いていて、
絶対Galois群を抽象的な位相群と見ているだけではでてこない(はず)。
(局所体の分岐群について
http://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~t-saito/talk/ram.pdf
)
graded groupの微分形式への埋め込みは、
On refined ramification filtrations in the equal characteristic case
http://arxiv.org/abs/0911.1802v3
のProp3.1.11およびTh3.4.1で
p進微分方程式の分解と対応付けられている。
Q: 絶対Galois群に対して、高次のPersistent homologyは、
Galois群の情報から意味ある量で記述できるか?
* 数え上げ
Q:n次Galois拡大は、n個のdiviserの交わりと思い、
交わりを摂動することで、n角形と見なし、数え上げを行うことが出来ないだろうか?
* 深谷圏
Constructible Sheaves and the Fukaya Category
http://arxiv.org/abs/math/0604379v4
Microlocal branes are constructible sheaves
http://arxiv.org/abs/math/0612399v4
X:compact real analytic manifold
に対して、その余接バンドル内のexact Lagrangian branesのなす深谷圏は、
Xの可構層の導来圏から得られるdg圏と同値だった。
Riemann-Hilbert対応により、可構層の導来圏は、
確定特異点型ホロノミーD加群の導来圏と導来同値だった。
Q:不確定特異点型も含めたホロノミーD加群の導来圏と導来同値な
可構層の導来圏を含む三角圏は存在するか?
(Introduction to Stokes structures
http://arxiv.org/abs/0912.2762v3
ではStokes-perverse sheafの圏が定義されRiemann-Hilbert対応が成り立つ、とある。
)
Q:Stokes-perverse sheafに対して、
characteristic cycleによるNadler-Zaslowの対応を拡張することができるか?
できるとすれば、対応するLagrangianはどのような性質を持つか?
Q:標数pの体上の固有代数多様体上のl進層の導来圏に対して、
characteristic cycleの対応を与えることにより、dg圏を構成できるか?
2013年3月2日土曜日
常微分方程式
* 基礎的事項
常微分方程式について、
- 複素数体上
- p進体上
それぞれで特有の事項と類似の事項がある。
** 類似の事項
- 局所解、大局解の概念がある
- 微分加群の概念が定義でき、標数0の微分体上の微分加群の場合はcyclic vectorが存在する
- Riemann-Hilbert対応があり、位相的な情報と微分方程式の同値類の対応がある
- 形式冪級数、収束冪級数、それぞれに対応する環について算術的側面と幾何的側面がある
- 典型的な微分方程式として、指数関数、冪関数に対応する方程式が存在する
** 複素数体上の特有事項
- Cauchyの定理により非特異点では局所的に解が存在する
- 収束性と微分の相性が悪い
- 扇形領域における漸近展開の概念がある
- 形式解に対応する漸近展開を持つ真の解が存在する
- 確定特異点、不確定特異点の概念がある
- Stokes構造の概念があり、解空間の分解(filtration)が存在する
- モノドロミー保存変形の理論がある
** p進体上の特有事項
- 指数関数の収束半径が有限
- Cauchyの定理が成立せず、局所的な水平切断の収束半径が問題になる(収束半径>0だが完全不連結なので必ずしも繋げない)
- 収束性と微分の相性が良い
- 形式冪級数環の部分環として、円盤、円環上の関数環、有理関数体の部分環の完備化、(bounded)Robba ringなどが取れる
- spectral radiusによりNewton多角形が定義され、visible decomositionが存在する。
- Frobenius作用素によるpush-forward, pull-backが定義できる場合があり、収束半径の制御が出来る場合がある
- (dualizable)Frobenius構造に対してslope filtrationが定義できる。
- Berkovich空間上の微分加群はretractionとなっている局所有限グラフで制御される
- 標数pの完全体kに対してE=k((x))とすると、G:Eの絶対Galois群のp進表現の圏とetale-φ加群の圏は同値
- さらに、局所有限モノドロミーを持つp進表現の圏とbounded Robba ring上のetale-φ-∇加群の圏は同値
* 疑問点
- middle convolutionに対応する操作をp進常微分方程式に対して行うこと(有限体を完全体に拡張できるか?)
- p進常微分方程式におけるモノドロミー保存変形、特にTate-curve上でのIsing模型
- p進常微分方程式に対応するGalois表現に対応するAbbes-Saitoのcharacteristic cycleは、
複素数体上のD加群のcharacteristic cycleのような解釈を持つのか?
- 具体的なGalois拡大(Artin-Schrier拡大、Kummer拡大)に対応するp進微分方程式の具体的な記述
- 複素数体上における特異点の合流の類似として暴分岐Galois表現のconductorのblow-upによる解釈を理解すること
* 基礎的事項に関して
微分方程式の不確定特異点
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kenkyubu/kokai-koza/H23-takuro.pdf
p進表現とp進微分方程式: 正標数の局所体の場合
http://www.math.is.tohoku.ac.jp/~fujiwara/sendai/shiho.E.pdf
Local and global structure of connections on nonarchimedean curves
http://arxiv.org/abs/1301.6309v2
Continuity and finiteness of the radius of convergence of a p-adic differential equation via potential theory
http://arxiv.org/abs/1209.6276v1
* 疑問点に関して
特殊関数と代数的線型常微分方程式
http://www.ms.u-tokyo.ac.jp/publication/documents/spfct3.pdf
Arithmetic and Differential Swan Conductors of rank one representations with finite local monodromy
http://arxiv.org/abs/0711.0701v2
On refined ramification filtrations in the equal characteristic case
http://arxiv.org/abs/0911.1802v3
Rank One Solvable p-adic Differential Equation and Finite Abelian Characters via Lubin-Tate groups
http://arxiv.org/abs/math/0612725v2
常微分方程式について、
- 複素数体上
- p進体上
それぞれで特有の事項と類似の事項がある。
** 類似の事項
- 局所解、大局解の概念がある
- 微分加群の概念が定義でき、標数0の微分体上の微分加群の場合はcyclic vectorが存在する
- Riemann-Hilbert対応があり、位相的な情報と微分方程式の同値類の対応がある
- 形式冪級数、収束冪級数、それぞれに対応する環について算術的側面と幾何的側面がある
- 典型的な微分方程式として、指数関数、冪関数に対応する方程式が存在する
** 複素数体上の特有事項
- Cauchyの定理により非特異点では局所的に解が存在する
- 収束性と微分の相性が悪い
- 扇形領域における漸近展開の概念がある
- 形式解に対応する漸近展開を持つ真の解が存在する
- 確定特異点、不確定特異点の概念がある
- Stokes構造の概念があり、解空間の分解(filtration)が存在する
- モノドロミー保存変形の理論がある
** p進体上の特有事項
- 指数関数の収束半径が有限
- Cauchyの定理が成立せず、局所的な水平切断の収束半径が問題になる(収束半径>0だが完全不連結なので必ずしも繋げない)
- 収束性と微分の相性が良い
- 形式冪級数環の部分環として、円盤、円環上の関数環、有理関数体の部分環の完備化、(bounded)Robba ringなどが取れる
- spectral radiusによりNewton多角形が定義され、visible decomositionが存在する。
- Frobenius作用素によるpush-forward, pull-backが定義できる場合があり、収束半径の制御が出来る場合がある
- (dualizable)Frobenius構造に対してslope filtrationが定義できる。
- Berkovich空間上の微分加群はretractionとなっている局所有限グラフで制御される
- 標数pの完全体kに対してE=k((x))とすると、G:Eの絶対Galois群のp進表現の圏とetale-φ加群の圏は同値
- さらに、局所有限モノドロミーを持つp進表現の圏とbounded Robba ring上のetale-φ-∇加群の圏は同値
* 疑問点
- middle convolutionに対応する操作をp進常微分方程式に対して行うこと(有限体を完全体に拡張できるか?)
- p進常微分方程式におけるモノドロミー保存変形、特にTate-curve上でのIsing模型
- p進常微分方程式に対応するGalois表現に対応するAbbes-Saitoのcharacteristic cycleは、
複素数体上のD加群のcharacteristic cycleのような解釈を持つのか?
- 具体的なGalois拡大(Artin-Schrier拡大、Kummer拡大)に対応するp進微分方程式の具体的な記述
- 複素数体上における特異点の合流の類似として暴分岐Galois表現のconductorのblow-upによる解釈を理解すること
* 基礎的事項に関して
微分方程式の不確定特異点
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kenkyubu/kokai-koza/H23-takuro.pdf
p進表現とp進微分方程式: 正標数の局所体の場合
http://www.math.is.tohoku.ac.jp/~fujiwara/sendai/shiho.E.pdf
Local and global structure of connections on nonarchimedean curves
http://arxiv.org/abs/1301.6309v2
Continuity and finiteness of the radius of convergence of a p-adic differential equation via potential theory
http://arxiv.org/abs/1209.6276v1
* 疑問点に関して
特殊関数と代数的線型常微分方程式
http://www.ms.u-tokyo.ac.jp/publication/documents/spfct3.pdf
Arithmetic and Differential Swan Conductors of rank one representations with finite local monodromy
http://arxiv.org/abs/0711.0701v2
On refined ramification filtrations in the equal characteristic case
http://arxiv.org/abs/0911.1802v3
Rank One Solvable p-adic Differential Equation and Finite Abelian Characters via Lubin-Tate groups
http://arxiv.org/abs/math/0612725v2
2013年2月3日日曜日
Perfectoid
Mirror symmetry for elliptic curves
http://zippy.ph.utexas.edu/~msihl/pubs/termpaperM390C.pdf
Categorical Mirror Symmetry: The Elliptic Curve
http://arxiv.org/abs/math/9801119v3
1次元円周M=S^{1}を実解析的多様体とみなして、
X=T^{*}Mとすると、
XはS^{2}-S^{0}=C^{*}と同型になる。
ここで、q=exp(2*¥pi*i*¥tau)というパラメータをいれてE=X/q^{Z}とTate-楕円曲線を構成することができる。
E上の連接層の構造は、Fourier-Mukai変換により1点にsupportを持つskyscraper層に帰着する。
さらに、1点上にsupportを持つ層はExtの計算により、lengthを与えるとuniqueに定まる。
E上のベクトル束の構造を記述するには、X上に引き戻して、
具体的に関数とベクトル空間及びそこに作用するnilpotent作用素を用いて
表すことができる。
具体的には、E上のdegree1の直線束Lおよびその大域切断φ0(すなわちテータ関数)を固定し、
degree:n, rank:rのベクトル束として、
φ=(φ0の平行移動)*φ0^{n-1}
V:次元rのベクトル空間
N:Vに作用するindecomposable nilpotent matrix
として、
L(φ)とF(V,exp(N))の直積の形で表わされるものから、isogenyと直和によって構成することができる。(上記Prop1)
特にN=0がstableに対応する。
一方で、楕円曲線E'内のLagrangianの集合として、
直線からなるものを取ることができ、
楕円曲線E'上の深谷圏を構成することができる。
E上のベクトル束に対して、E'上の深谷圏の対象を上記5.1のΦによって対応づけることができる。
- degree:dの直線束に対してslope:dの直線
という対応により、テータ関数の加法公式の直感的な解釈が与えられる。
The Local Langlands Correspondence for GL(n) over p-adic Fields
http://arxiv.org/abs/math/0011210v2
さて、
楕円曲線の場合は、skyscraper層の構造に帰着して対応を見ることができた。
一方で、局所Langlands対応で問題になるのは、
k:標数pの有限体、F=k((t))
として、
F上のGalois表現と保型表現の対応であるが、
Fの(Frobenius semisimple)Weil-Deligne表現でindecomposableなものは、
Weil群の既約表現とSp(m)の直積の形で記述される。(3.2.4)
特にirreducible表現はWeil表現としてirredusibleでかつN=0の場合となり、
保型表現側ではsupercuspical表現が対応する。(4.3.2)
対応の構成には、
p-divisible group+level structureの普遍変形空間のtowerが用いられる。
W(k)上定義されたrigid analytic spaceのvanising cyclesに対応する表現が実現される。(5.5.3)
Perfectoid spaces
http://arxiv.org/abs/1111.4914v1
Moduli of p-divisible groups
http://arxiv.org/abs/1211.6357v1
p-divisible groupのmoduliはperfectoid spaceになる。
すなわち、標数pの世界と標数0の世界を行き来できる。
http://zippy.ph.utexas.edu/~msihl/pubs/termpaperM390C.pdf
Categorical Mirror Symmetry: The Elliptic Curve
http://arxiv.org/abs/math/9801119v3
1次元円周M=S^{1}を実解析的多様体とみなして、
X=T^{*}Mとすると、
XはS^{2}-S^{0}=C^{*}と同型になる。
ここで、q=exp(2*¥pi*i*¥tau)というパラメータをいれてE=X/q^{Z}とTate-楕円曲線を構成することができる。
E上の連接層の構造は、Fourier-Mukai変換により1点にsupportを持つskyscraper層に帰着する。
さらに、1点上にsupportを持つ層はExtの計算により、lengthを与えるとuniqueに定まる。
E上のベクトル束の構造を記述するには、X上に引き戻して、
具体的に関数とベクトル空間及びそこに作用するnilpotent作用素を用いて
表すことができる。
具体的には、E上のdegree1の直線束Lおよびその大域切断φ0(すなわちテータ関数)を固定し、
degree:n, rank:rのベクトル束として、
φ=(φ0の平行移動)*φ0^{n-1}
V:次元rのベクトル空間
N:Vに作用するindecomposable nilpotent matrix
として、
L(φ)とF(V,exp(N))の直積の形で表わされるものから、isogenyと直和によって構成することができる。(上記Prop1)
特にN=0がstableに対応する。
一方で、楕円曲線E'内のLagrangianの集合として、
直線からなるものを取ることができ、
楕円曲線E'上の深谷圏を構成することができる。
E上のベクトル束に対して、E'上の深谷圏の対象を上記5.1のΦによって対応づけることができる。
- degree:dの直線束に対してslope:dの直線
という対応により、テータ関数の加法公式の直感的な解釈が与えられる。
The Local Langlands Correspondence for GL(n) over p-adic Fields
http://arxiv.org/abs/math/0011210v2
さて、
楕円曲線の場合は、skyscraper層の構造に帰着して対応を見ることができた。
一方で、局所Langlands対応で問題になるのは、
k:標数pの有限体、F=k((t))
として、
F上のGalois表現と保型表現の対応であるが、
Fの(Frobenius semisimple)Weil-Deligne表現でindecomposableなものは、
Weil群の既約表現とSp(m)の直積の形で記述される。(3.2.4)
特にirreducible表現はWeil表現としてirredusibleでかつN=0の場合となり、
保型表現側ではsupercuspical表現が対応する。(4.3.2)
対応の構成には、
p-divisible group+level structureの普遍変形空間のtowerが用いられる。
W(k)上定義されたrigid analytic spaceのvanising cyclesに対応する表現が実現される。(5.5.3)
Perfectoid spaces
http://arxiv.org/abs/1111.4914v1
Moduli of p-divisible groups
http://arxiv.org/abs/1211.6357v1
p-divisible groupのmoduliはperfectoid spaceになる。
すなわち、標数pの世界と標数0の世界を行き来できる。
2013年1月25日金曜日
特性類
* 特性類
幾何的な対象Xの上部構造に対して、
Xの幾何的な情報を対応させたい。
とくにXに対してコホモロジー群が定義できる場合には、
幾何的な情報としてコホモロジーの元をとることが考えられる。
これは、Xの上部構造に対してベクトル空間の元を対応させることになるが、
それが関手的であることを要請したい。
すなわち、
幾何的な対象からなる圏C
が存在して、Cの対象Xに対してベクトル空間H(X)が関手的に対応する状況で、
X上の圏Vの対象Fに対して、H(X)の元c(F)を対応させる、
という状況。
このような状況として現れるのが、
1.
C:実可微分多様体の圏、X:実可微分多様体
V:X上のベクトル束の圏、E:X上のベクトル束
c:Euler類、Stiefel-Whitney類、Chern類
2.
C:代数多様体の圏、X:代数多様体
V:X上のベクトル束の圏、E:X上のベクトル束
c:Chern類
3.
C:実解析的多様体の圏、X:実解析的多様体
V:X上の可構層の圏、F:X上の可構層
c:特性類、特性Cycle
といった場合がある。
1.については、
公理系として、
- ベクトル束からコホモロジーの元への対応
- 自然性
- 積公式
- 非自明性
- Euler類による最高次数の表示
により、
向き付けを考慮しない場合にStiefel-Whitney類、
複素ベクトル束の場合(向き付け可能)に限定してChern類、
が定まる。
存在には、
ベクトル束の基本コホモロジー類とThom同型、
分類空間の存在とそのコホモロジー環の具体的な表示、
が使用される。
2.については、法束(管状近傍)は部分多様体がなめらかでない場合はそのままでは使用できないので、
normal coneを用いる。
E:X上のベクトル束に対して、自明束との直和の射影化P(E⊕1)は、
P(E)とEの非交和になる。
よって帰納法によりE,P(E)のChow群をXのChow群で表すことができる。
Yの部分多様体Xに対して、
C_{X}(Y): YのXに沿ったblow-upのexceptional divisorに付随するcone
としてnormal coneを定義する。
Y*P^{1}のX*{∞}でのblow-upは、P-{1]へ射影して、
Y*A^{1}と、
Y*{∞}でのfiberの和になる。
fiberは、
P(C⊕1)と
YのXにおけるblow-upのP(C)での貼り合わせになっている。
そこで、
Gysin-mapとexcision exact sequenceにより
specialization mapを構成する。
Topics in algebraic geometry: Introduction to intersection theory in algebraic geometry
http://math.stanford.edu/~vakil/245/
INTRODUCTION TO CHARACTERISTIC CLASSES AND INDEX THEORY
http://www.analg.ulg.ac.be/jps/rec/icc.pdf
3.については、
Sheaves on Manifolds(Kashiwara-Schapira)
で、
normal coneをパラメータを実直線として、さらに正の実数に制限する形で、
任意の部分集合に対して定義している。
(Def4.1.1)
X上の層、もしくは有界複体にquasi-isoな導来圏の対象Fに対して、
Xの部分多様体Mへのspecialization
ν_{M}(F)が定義され、
supp(ν_{M}(F))⊂supp(F)
を満たす。(Th4.2.3)
ν_{M}(F)のFourier-Sato変換として、microlocalization
μ_{M}(F)が定まる。(Def4.3.1)
specialization、microlocalizationは複素多様体のもとでは、
nearby-cycle,vanishing-cycleに対応する。(Prop8.6.3)
Fのmicrosupport SS(F)が定義される。(Def5.1.2)
microsupportを見ることにより、
大域切断の部分多様体への制限での不変性などを議論することができるようになる。(Prop5.2.1)
また、microsupportに対する仮定から、morse理論のような
パラメータに対して不変な性質を定式化できる。(Prop5.4.17)
X上の可構層Fに対して、characterinstic class(Euler類)
C(F)を定義するには、
トレース射と対角線埋め込みを用いる。(Def9.1.2)
写像f:X->Yに対する振る舞いは、
support上properの仮定のもとで順像に関してはTh9.1.7。
C(F)はX上の幾何的な情報だが、
Xの余接束上の幾何的な情報、Lagrangianとして、
characteristic cycle CC(F)が定義される。(Def9.4.1)
support上properの仮定のもとで順像に関してはProp9.4.2、
non-characteristicの仮定のもとで逆像に関してはProp9.4.3
で関手性が示されている。
C(F)とCC(F)の関係は、Prop9.5.1。
では、標数pの場合にはどうなるのだろうか?
Holonomic D-modules and positive characteristic
http://arxiv.org/pdf/1010.2908v1
Wild Ramification and the Cotangent Bundle
http://arxiv.org/abs/1301.4632v1
幾何的な対象Xの上部構造に対して、
Xの幾何的な情報を対応させたい。
とくにXに対してコホモロジー群が定義できる場合には、
幾何的な情報としてコホモロジーの元をとることが考えられる。
これは、Xの上部構造に対してベクトル空間の元を対応させることになるが、
それが関手的であることを要請したい。
すなわち、
幾何的な対象からなる圏C
が存在して、Cの対象Xに対してベクトル空間H(X)が関手的に対応する状況で、
X上の圏Vの対象Fに対して、H(X)の元c(F)を対応させる、
という状況。
このような状況として現れるのが、
1.
C:実可微分多様体の圏、X:実可微分多様体
V:X上のベクトル束の圏、E:X上のベクトル束
c:Euler類、Stiefel-Whitney類、Chern類
2.
C:代数多様体の圏、X:代数多様体
V:X上のベクトル束の圏、E:X上のベクトル束
c:Chern類
3.
C:実解析的多様体の圏、X:実解析的多様体
V:X上の可構層の圏、F:X上の可構層
c:特性類、特性Cycle
といった場合がある。
1.については、
公理系として、
- ベクトル束からコホモロジーの元への対応
- 自然性
- 積公式
- 非自明性
- Euler類による最高次数の表示
により、
向き付けを考慮しない場合にStiefel-Whitney類、
複素ベクトル束の場合(向き付け可能)に限定してChern類、
が定まる。
存在には、
ベクトル束の基本コホモロジー類とThom同型、
分類空間の存在とそのコホモロジー環の具体的な表示、
が使用される。
2.については、法束(管状近傍)は部分多様体がなめらかでない場合はそのままでは使用できないので、
normal coneを用いる。
E:X上のベクトル束に対して、自明束との直和の射影化P(E⊕1)は、
P(E)とEの非交和になる。
よって帰納法によりE,P(E)のChow群をXのChow群で表すことができる。
Yの部分多様体Xに対して、
C_{X}(Y): YのXに沿ったblow-upのexceptional divisorに付随するcone
としてnormal coneを定義する。
Y*P^{1}のX*{∞}でのblow-upは、P-{1]へ射影して、
Y*A^{1}と、
Y*{∞}でのfiberの和になる。
fiberは、
P(C⊕1)と
YのXにおけるblow-upのP(C)での貼り合わせになっている。
そこで、
Gysin-mapとexcision exact sequenceにより
specialization mapを構成する。
Topics in algebraic geometry: Introduction to intersection theory in algebraic geometry
http://math.stanford.edu/~vakil/245/
INTRODUCTION TO CHARACTERISTIC CLASSES AND INDEX THEORY
http://www.analg.ulg.ac.be/jps/rec/icc.pdf
3.については、
Sheaves on Manifolds(Kashiwara-Schapira)
で、
normal coneをパラメータを実直線として、さらに正の実数に制限する形で、
任意の部分集合に対して定義している。
(Def4.1.1)
X上の層、もしくは有界複体にquasi-isoな導来圏の対象Fに対して、
Xの部分多様体Mへのspecialization
ν_{M}(F)が定義され、
supp(ν_{M}(F))⊂supp(F)
を満たす。(Th4.2.3)
ν_{M}(F)のFourier-Sato変換として、microlocalization
μ_{M}(F)が定まる。(Def4.3.1)
specialization、microlocalizationは複素多様体のもとでは、
nearby-cycle,vanishing-cycleに対応する。(Prop8.6.3)
Fのmicrosupport SS(F)が定義される。(Def5.1.2)
microsupportを見ることにより、
大域切断の部分多様体への制限での不変性などを議論することができるようになる。(Prop5.2.1)
また、microsupportに対する仮定から、morse理論のような
パラメータに対して不変な性質を定式化できる。(Prop5.4.17)
X上の可構層Fに対して、characterinstic class(Euler類)
C(F)を定義するには、
トレース射と対角線埋め込みを用いる。(Def9.1.2)
写像f:X->Yに対する振る舞いは、
support上properの仮定のもとで順像に関してはTh9.1.7。
C(F)はX上の幾何的な情報だが、
Xの余接束上の幾何的な情報、Lagrangianとして、
characteristic cycle CC(F)が定義される。(Def9.4.1)
support上properの仮定のもとで順像に関してはProp9.4.2、
non-characteristicの仮定のもとで逆像に関してはProp9.4.3
で関手性が示されている。
C(F)とCC(F)の関係は、Prop9.5.1。
では、標数pの場合にはどうなるのだろうか?
Holonomic D-modules and positive characteristic
http://arxiv.org/pdf/1010.2908v1
Wild Ramification and the Cotangent Bundle
http://arxiv.org/abs/1301.4632v1
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