サマースクール復習(2016)その7

Frobenius多様体とRiemann-Hilbert問題

• [S]Frobenius manifolds: isomonodromic deformations and infinitesimal period mappings

[S]のまとめ

• Riemann-Hilbert問題は、射影直線$U=\mathbf{P}^{1}-\Sigma$の場合、与えられた$\pi_{1}(U)$の表現に対応するモノドロミー表現を持つ、$\Sigma$の各点で高々対数的極のみを持つ微分方程式を与えよ、という問題。(Appendix A)
• 微分方程式の形は、$\Sigma_{\sigma}A_{\sigma}\frac{dz}{z-\sigma}$となり、matrix${A_{\sigma}}$を求める問題となる。
• Birkhoff問題は、polar partの標準形を与えよ、という問題で、Weilによるベクトル束のadele実現を用いてdouble cosetの標準形を与える、という観点から、射影直線$\mathbf{P}^{1}$上のベクトル束の分類に対応する。(A2.1, A2.2)
• 座標$z$を固定すると$B(z)=z^{-1}B_{0} + B_{\infty}$が原点でtype1, 無限遠点でtype0の極を持つmeromorphic connectionのBirkhoff normal form。(2.1.1)

• 対応するconnection matrixは、$B(z)\frac{dz}{z}$

• holomorphicなベクトル束$F$に対して層$\mathcal{F}$、meromorphicなベクトル束$M$に対して層$\mathcal{M}$およびlattice$\mathcal{E}$の概念がある。

• $\mathbf{P}^{1}$上のベクトル束は離散的な情報のみで定まる。そのため、自明束はパラメータに対するhypersurfaceを除いてrigidityを持つ。(Th1.1.1)
• よって、meromorphicにはtrivializationを取ることが出来る
• flat holomorphic connection、flat meromorphic connectionの概念がある。
• discD上のmeromorphic connection$(F, \nabla)$に対して、residue$R_{0}$、1-form$\Phi$が定まり、flatnessから定まる関係式を満たす。
• $\mathbf{P}^{1} \times X$上のTh1.1.1の条件でのflat meromorphic bundleの標準形(lem1.3.3)
• metricの条件を付加した場合(1.4)
• $(F, \nabla)$から定まるデータ$\Theta,\mathcal{M},\mathcal{E},\mathcal{E}_{\infty},\Phi,R_{0},\triangledown,R_{\infty}$(1.5.1-1.5.4)
• relation$\triangledown^{2}=0,\triangledown(R_{\infty})=0,\Phi\wedge\Phi=0,[R_{0},\Phi]=0,$$\triangledown(\Phi)=0,\triangledown(R_{0})+\Phi=[\Phi,R_{\infty}]$(1.5.5)
• metricの条件を付加した場合(1.5.6)
• 逆に1.5.5のデータから$(F, \nabla)$が定まる。(1.5.7)
• local Fourier 変換により、Riemann-Hilbert問題とBirkhoff normal formが等価となる。(Prop1.6.2)
• Riemann-Hilbert-Birkhoff問題は、rigidity(Prop2.2.1)と標準形を持つ。(Cor2.2.4)

• universal deformation(Th3.1.1)

• Saitoh structure without metric
  $\pi:\mathbf{P}^{1}\times M \rightarrow M$に対して、$\triangledown,\Phi,e,\frak{E}$(Def4.1.1)

• $R_{0}=-\Phi(\frak{E})$ $R'_{\infty}=\triangledown(\frak{E})$とすると、relation1.5.5を満たす(4.1.1)
• flat coordinates $t_{1},\cdots,t_{d}$が定まる。$\triangledown{\partial_{t_{i}}}=0$(4.1.5)
• Saitoh structureの$\Phi$により$\Theta_{M}$に対してmultiplicationが定義され、flatnessとsymmetricからcommutative,assosiativeがでる(4.1.2)
• $Specan{\Theta{M}}$は$TM$のclosed analytic varietyで、良い条件の場合はLagrangian。(4.1.7,4.1.9)
• さらに、$L \rightarrow M\times \mathbf{C}\rightarrow \mathbf{C}$、$\det(t Id - R_{0})=0$の形となる。(4.1.8)
• canonical coordinates(4.1.10)
• discriminants(4.1.11)
• Saitoh structure with metric(Def4.1.12)
• Frobenius manifold(Def4.2.1)

• Saitoh structure with metricとFrobenius manifoldの等価性(Prop4.2.2)

• infinitesimal period mapping(4.3)1.5.5の状況で、$E$の構造を$TM$の構造にうつすために写像を定義する。
  $\phi_{\omega}:TM\rightarrow E, \phi_{\omega}(\xi)=-\Phi(\xi)(\omega)$
  $\phi_{\omega}$が同型の時、$\omega$をprimitive sectionと呼ぶ。(Def4.3.2)

• Frobenius manifoldの特徴づけ(Th4.3.6)
• simply connected massive Frobenius manifoldとuniversal isomonodromic deformationに付随するFrobenius manifoldの対応(Th5.1.2)

疑問

• 複素数体上では射影直線上のベクトル束のrigidityを用いてisomonodromy変形とFrobenius多様体の議論ができた。
• p進体上では射影直線に対応するのは、Fargues-Fontaine曲線となるはず。
• FF曲線上のベクトル束は離散データのみで定まるが、変形に対するrigidity、その上のflat connectionについて、Frobenius多様体の議論と並行する性質が存在するか?
• その場合、Frobenius作用を込みにした(p進の意味での)Frobenius構造が必要になるはずで、Frobenius-Frobenius多様体をFargues-Fontaine曲線を用いて定義できるか?という話になる。
• 前提として、Riemann-Hilbert問題、Simpson対応をp進で議論できるか?という点がクリアにならなければならない。

Painleve方程式との関係

• [D] Painleve’ transcendents and two-dimensional topological field theory
• [ILT] Isomonodromic tau-functions from Liouville conformal blocks
• [KMS] Flat structure on the space of isomonodromic deformations

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サマースクール復習(2016) その6

quadratic hamiltonianの量子化

• [CI] A Fock Sheaf For Givental Quantization
• [G] Gromov - Witten invariants and quantization of quadratic hamiltonians
• [M] Quantization of quadratic hamiltonians

Definition 4.47 ( [61]). Givental’s propagator

[M]では、

• $h_{A}(f)=\frac{1}{2}\Omega(Af,f)$の具体的な座標による表記(zの指数の符号–+,-+-,++の組み合わせで留数を展開)
• 内積に対するself-adjointを満たす式
  $S(-z)^{T}S(z)=1$
  の変形を記述する、$\sum_{k,l=0}^{\infty}W_{kl}z^{-k}w^{-l}=\frac{S(-z)^{T}S(w)-1}{z^{-1}+w^{-1}}$
  (Givental’s propagator,Givental’s R-matrix)を用いた、
  $\mathrm{S}^{-1}\cal{F}=\exp^{W(\mathbb{q},\mathbb{q})}\cal{F}([\mathrm{S}\mathbb{q}]_{+})$
  (Th1)の導出

が説明されている。
[G]では、

• 2次のHamiltonianの量子化
• Gromov-Witten invariantsのgravitational descendentsとancestorsの関係式(Th5.1)
• genus 0 descendent potentialのreconstruction(Cor5.4)

と、[M]の式の適用先の説明がされている。ただし、細かな完備化、収束などの正当化については省かれている。
これらの概念の詳細な記述、Frobenius多様体、幾何学的量子化によるreconstruction theoremの解釈は[CI]に詳しい。

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サマースクール復習(2016) その5

量子コホモロジー

• [Givental] Symplectic geometry of Frobenius structures

• gravitational descendants

• Lagrangian coneとJ関数の関係
• gravitational ancestors
• twisted GW invariants

semi-infinite VHS

• [G] Tropical geometry and mirror symmetry

[G]2.1には、A-modelのFrobenius多様体の構造について説明がある。
[G]2.1.5では、

• 半無限Hodge構造の変動の定義(Def2.20)
• 半無限Hodge構造の変動がminiversalであることの定義(Def2.25)
• 量子コホモロジーの場合の構成(Ex.2.21,Ex2.22)
• flat sectionとconstant sectionをつなぐJ関数の具体的な記述(Prop2.23)
• opposite subspaceの定義と、miniversalな場合のFrobenius構造の復元(Th2.26)
• 量子コホモロジーの場合のminiversalityの説明(Ex2.27)

がある。

Krein型特異点

• [BG] Root Systems and the Quantum Cohomology of ADE resolutions
• [BKR] Mukai implies McKay: the McKay correspondence as an equivalence of derived categories
• [BMO] Quantum cohomology of the Springer resolution
• [Hosono] Central charges, symplectic forms, and hypergeometric series in local mirror symmetry
• [KV] Kleinian singularities, derived categories and Hall algebras

Krein型特異点の場合に、導来圏の記述はかなり透明になる。([BKR]Cor1.3)
さらに、A型の場合、超幾何関数を用いて、Krein型特異点に関わるBモデルの局所ミラー対称性の記述、central chargeの記述が出来る。([Hosono]§5)

整構造

• [I1] 量子 D 加群の大域的構造
• [I2] GROMOV-WITTEN 理論における整構造
• [I3] トーリック多様体のミラー対称性

トーリック多様体とLG模型のミラー対称性に対して、
Kahler moduliのコンパクト化とsecondary fanの対応がある。
各々の極限点における小量子D加群の対応がある。([I1]Th3.3)

小量子D加群の対応、平坦構造について、より詳細に整構造が定まる。([I2]Def3.2,Def4.1,Th7.3)

大同変ミラー対称性は、同変量子加群の定めるベクトル場をGivental cone上の線形ベクトル場と同一視することでI関数が具体的に記述できる。([I3]Th5.1)

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サマースクール復習(2016) その4

moduliの対応

• [CK] [Mirror symmetry and algebraic geometry ]

においては、
Hodge構造の退化として、maximally unipotent monodromyを定義し、monodromyがmaximally unipotent となる複素構造のmoduliのコンパクト化の境界点(で整数性条件を満たすもの)を、maximally unipotent boundary pointsとして定義している。(Def5.2.2)
一方で、Kahler構造のmoduliのコンパクト化において、large radius limit pointsを定義している。(Def6.2.2)
古典的ミラー対称性においては、
あるmaximally unipotent boundary pointにおけるPicard-Fuchs方程式の解から、良い座標系を導入することが出来て(6.31)、
large radius limit pointが対応する場合に、Kahler conesの生成元から定まる標準的な座標系との間に対応が付く、
ということがMirror mapの対応だった(6.3)。
しかし、Toric多様体およびそのanti canonical hypersurfaceの場合にconesを用いた例が記載されているものの、
moduliおよび、そのコンパクト化の対応、といった幾何学的側面は、
理論ではなく例証にとどまっているようだ。
その点で、このあたりの対応が理解できていない。

Hesse pencil

• [AD] The Hesse pencil of plane cubic curves
• [D] LECTURES ON MODULI AND MIRROR SYMMETRY OF K3 SURFACES
• [中村] 平面3次 曲線
• [R] Mirror symmetry of elliptic curves and Ising model
• [Z] Mirror Symmetry for Plane Cubics Revisited

Calabi-Yau多様体(ただし単連結性は除く)の最も単純な例は、楕円曲線で、
この場合には、moduliの幾何的な構造はかなり理解されている。
[中村]では、コンパクト化について、具体的な記述がある。
平面3次曲線を射影埋め込みと見た時、埋め込みを与える大尉的切断がテータ関数となるが、これは射影曲面の大域切断から得られる。

[AD]lemma1では平面3次曲線のパラメータは1次元で、楕円曲線のレベル3のmoduli空間に対応することが示されている。また、moduliの具体的な構造は、[AD]Prop5.1。

[Z]において、上記をトーリック多様体のanti-canonical hypersurfaceとみなして、古典的ミラー対称性のMirror mapを具体的に構成することが出来ることがまとめられている。([Z]3.1.2, 3.2.3,4.1)

楕円曲線は、Ising模型と関係が深い。
[R]5 Elliptic Curves in Ising Model、では、
(54)式に現れる$X_{9}$-familyが、Ising模型の自由エネルギーの計算に用いられる楕円曲線となっている。(ホロノミック量子場p32(2.40))
Ising模型の場合は、モノドロミー保存変形、タウ関数が導出されているが、
これをミラー対称性の側から見ると、Frobenius多様体のモノドロミー保存変形、タウ関数が対応する(はず)。

楕円曲線の場合のミラー対称性

• [BBBM] Tropical mirror symmetry for elliptic curves
• [LP] Arithmetic mirror symmetry for genus 1 curves with $n$ marked points
• [Zaslow] Seidel’s Mirror Map for the Torus

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サマースクール復習(2016) その3

Witten予想とタウ関数

• [DM] Lectures on the topological recursion for Higgs bundles and quantum curves
• [M] MATRIX INTEGRALS AND INTEGRABLE SYSTEMS
• [村瀬]Witten-Kontsevich理論の思いがけない新展開

[M]では、
“Kontsevich [55] used the matrix Airy function to obtain all intersection numbers. The topological recursion replaces the asymptotic analysis of matrix integrations with a series of residue calculations on the spectral curve x = y^2.”
という記載がある。

[村瀬]では、

• W:Riemann面のモジュライ空間の交点理論の生成関数
• K:行列積分=リボングラフの空間のユークリッド体積を与える生成関数
• Witten予想は、W(の指数)がVirasoro代数の作用(半分)で消える、ということと、それがKdV階層のタウ関数であること

に対して、

• Kは、行列積分の一般的な性質からVirasoro条件、タウ関数の性質を自明に満たす
• W=Kは、開いた弦理論と閉じた弦理論の対応

という説明があり、
更に自然な説明として、Eynard-OrantinのTopological recursionによる説明をあげている。

[DM]では、

• Airy関数(複素関数)の漸近展開から定まる係数がRiemann面のモジュライ空間の交点数を用いて表わされること
• それが、Topological recursionと、Hitchin spectral curveの量子化としてのQuantum curveとの関係によって解釈できること

の記述がある。
Riemann面のモジュライ空間の交点数、とは、1点に対するGromov-Witten invariantsであるから、一般の(シンプレクティック)多様体に対して、同様の解釈ができるのか?という点が自然な疑問となる。

CohFT

• [Dub] Geometry of 2d topological field theories
• [KM] Gromov-Witten classes, quantum cohomology, and enumerative geometry

Gromov-Witten invariantsに対する抽象化として、Frobenius多様体がある。
これは、多様体に対するordinary cohomologyを変形する際の条件を抜き出したもの、と解釈できる。
[Dub]のLecture2では、位相的場の理論のmoduliがFrobenius多様体の構造を持つことの説明がある。

タウ関数

• [DZ] Normal forms of hierarchies of integrable PDEs, Frobenius manifolds and Gromov - Witten invariants
• [DLYZ] Hodge integrals and tau-symmetric integrable hierarchies of Hamiltonian evolutionary PDEs

幾何学的量子化

[CPS] Geometric Quantization with Applications to Gromov-Witten Theory

• Weyl量子化
• 変形量子化
• 幾何学的量子化

という量子化の方法があるが、
佐藤グラスマン多様体と量子化を結びつけようとすると、
シンプレクティックLoop群の接空間として現れる無限次元ベクトル空間に対する量子化がでてくる。

• SE:String equation(2.2.1)
• DE:Dilation equation(2.2.2)
• TRR:Topological recursion relations(2.2.3)
• DE:Divisor equation(2.2.4)

のうち、SE+DE+TRRを満たすものを、Gromov-Witten theoryの公理系と呼ぶ。これは、FJRW理論にも適用可能(らしい)。(2.3. Axiomatization)
Gromov-Witten theoryの公理系に対してタウ関数が定義される。(Def4.2)
さらに、シンプレクティックLoop群がGromov-Witten theoryの公理系の集合に作用し、rankを固定すれば推移的。(Th4.1)

量子コホモロジー

• [CI] A Fock Sheaf For Givental Quantization
• [G1] A tutorial on Quantum Cohomology
• [G2] Symplectic geometry of Frobenius structures

Frobenius多様体に対応する、ordinary cohomologyの変形として現れるcohomologyは量子コホモロジーと呼ばれる。

量子コホモロジーに関しては、
Weyl量子化により、量子D加群がでてきて、その特性多様体として、Lagrangianが出てくる。
一方、Gromov-Witten invariantsの生成関数からGivental Lagrangian coneが定義される。

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サマースクール復習(2016) その2

[H]の講義では、Lagrangianを用いて、
Non-Linear sigma modelとLandau-Ginzburg modelを導出していた。
Landau-Ginzburg modelにおいてA-twistに対応するtopological string theoryがFJRW theoryである、という記述があった。(2.6)

FJRW(Fan-Jarvis-Ruan-Witten) thoery

[FJ]§1.2にある、CY-LG対応と、CY-Mirror symmetry、LG Mirror symmetryにより、
Calabi-Yau Amodel/B-model
Landau-Ginzburg Amodel/B-model
の間に対応が付くことが予想されている。

FJRW theoryは、

• LG A-modelに位置するべきCohomological Field theory(§2 Def2.2)
• 状態空間はrelative cohomologyで定義され,degreeはageによるshiftがある(Def3.10, Def3.11)
• 状態空間はsectorの直和であり、broad sectorとnarrow sectorに別れる(Rem3.12)
• pairingが存在する(§3.3)
• stableW,G-curveのmoduli stack(Def3.21)に対して、evaluation mapとvirtual fundamental classが定義できて、Gromov-Witten theoryの類似のCohFTが定義できる(Th3.27)

ミラー対称性に関わる予想としては、

• Frobenious多様体の構造が定義されると予想されている(§4.1)
• Witten予想(=Kontsevichの定理)の類似で、integrable hierarchiesのタウ関数が存在すると予想されている(§4.2)(ADEの場合は、[FJR2]§6)
• Givental’s I-functionとJ-functionの対応がつくと予想されている(§4.3)

がある。

GLSM

[H]では、$G$としてアーベル群のみが例として挙げられていたが、
任意の簡約群をゲージ群として理論が展開できる。

quasi-homogeneous polinomial$W$に対して、
FJRWではWitten方程式が定義されたが、
GLSMでは、さらにmoment mapの情報を加えた、Gauged Witten方程式が定義される。
virtual-cycleが定義できて、そこから相関関数が定義できる。([FJR]Th1.1.1)

• [FJ] A Brief Survey of FJRW Theory
• [FJR] A Mathematical Theory of the Gauged Linear Sigma Model
• [FJR2] The Witten equation, mirror symmetry and quantum singularity theory
• [H] Komaba Lectures on Mirror Symmetry

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サマースクール復習(2016) その1

講義内容

ミラー対称性講義

物理の側から見た、ミラー対称性の基礎的部分の解説。
Komaba Lectures on Mirror Symmetry

• 2d (2,2) Supersyymetric、chiral ringの説明
• T-dualityの説明
• Lagrangianを用いたGLSM(Gauged Linear Sigma Models)の説明とclassical vacua、phase、およびQuantum effectsの説明
• 例を用いたCY/LG対応とOrlovの導来圏の半直交分解の関連の説明

カラビ・ヤウ多様体の幾何学とミラー対称性

90年代における3次元カラビ・ヤウ多様体(3CY)の幾何学の観点からの基礎的部分の解説。

• トーラスに対して、Fourier変換、Poisson総和公式を用いたT-dualityの解説
• トーラスに対する、Narainモジュライ空間の説明
• 3CYに対するBogomolov-Tial-Todorovの定理、複素構造の変形空間の定義
• 3CYに対する複素化されたケーラー錐、chiral ring $H^{even}(X)$の定義、Hard Lefshetz定理
• anti-chral ring $H^{3}(X, \mathbb{C})$の定義、LCSL(Large complex structure limit)の解説、B-structureの存在の妥当性の説明
• 古典ミラー対称性予想の説明
• 周期領域の説明、楕円曲線、K3曲面、3CYにおける周期領域の自然な座標の説明
• 3CYにおけるミラー対の構成法の説明Determinantal Quintics and Mirror Symmetry of Reye Congruences

超曲面特異点のミラー対称性と関連する話題

可逆多項式に対して、位相的ミラー対称性、ホモロジー的ミラー対称性、環構造の具体的構成の話。

• コンパクトケーラー多様体と超曲面特異点は似ている
• 代数的背景を持つ三角圏とシンプレクティック幾何学的背景を持つ三角圏の同値
• 半直交分解は収縮に対応し、ミラー対称性のもとで変形に対応す、ということからカスプ多項式を導出する
• Dolgachev数とGabrielov数を入れ替える奇妙な双対性は奇妙ではない
• 群同変の場合のJacobi環の積構造は、一般論ではなく手で入れる。
• Hochshild cohomologyの積構造は、canonicalに対応付けられない

Floer Theory and Mirror Symmetry

深谷圏はありまーす、という話。

• 普遍Novikov環(体)$\Lambda$、$A_{\infty}$構造の定義
• 有限次元のMorse理論の場合の境界写像の説明
• 安定写像のモジュライ空間の説明
• Weak Maurer-Cartan equation、potential function、obstructionがない場合のFloer cohomologyの説明
• バルク変形、閉開写像、開閉写像の説明
• $\Lambda_{0}$係数の場合のtorsionの現れ方の説明
• トーリック(Fano)多様体の場合のポテンシャルの臨界点の計算、射影的トーリック多様体の場合の一般論
• 深谷圏の定義、Hochshild cohomologyとQuantum cohomology間の標準射の説明、Trace mapの定義
• Cardy relationに基づくgereration criterionに関する定理の証明の概略の説明

疑問点

• 感覚的には、Fontaineの周期環とNovikov環は、変形を環の拡大により制御するという意味で似ている。面積と分岐がともに実数で測る量であることも似ている。周期環はHodge-Tate代数をGalois群の作用に対して自然にするために完備化やdivided powerを用いた複数のversionがあるが、Novikov環は、更に何らかの対称性に対してより複雑な環が必要になることはないのか?
• 一般ルート系に対応する幾何的対象は、講義ではまだ見つかっていない、とのことだったが、Flag varietyやSpringer resolutionのような構成ができないか気になる。また、超曲面特異点の議論を、数論的曲面で、同様に展開できるか?(楕円曲面の場合にはNeronモデルがあった。)もし展開できれば、可逆多項式のパラメータの一つを素数に変えて、変数ごとに還元を考える、ということもできるかも。幾何という点では、ADEの場合には、affine Weyl群、hereditary algebra、重み付き射影曲線、が簡明に関係していたが、Quiverがwildにある場合は表現のmoduliが大きいので、重み付き射影曲線の幾何的情報だけでは対応する情報が少なすぎるはず。

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