Mirror symmetry for elliptic curves
http://zippy.ph.utexas.edu/~msihl/pubs/termpaperM390C.pdf
Categorical Mirror Symmetry: The Elliptic Curve
http://arxiv.org/abs/math/9801119v3
1次元円周M=S^{1}を実解析的多様体とみなして、
X=T^{*}Mとすると、
XはS^{2}-S^{0}=C^{*}と同型になる。
ここで、q=exp(2*¥pi*i*¥tau)というパラメータをいれてE=X/q^{Z}とTate-楕円曲線を構成することができる。
E上の連接層の構造は、Fourier-Mukai変換により1点にsupportを持つskyscraper層に帰着する。
さらに、1点上にsupportを持つ層はExtの計算により、lengthを与えるとuniqueに定まる。
E上のベクトル束の構造を記述するには、X上に引き戻して、
具体的に関数とベクトル空間及びそこに作用するnilpotent作用素を用いて
表すことができる。
具体的には、E上のdegree1の直線束Lおよびその大域切断φ0(すなわちテータ関数)を固定し、
degree:n, rank:rのベクトル束として、
φ=(φ0の平行移動)*φ0^{n-1}
V:次元rのベクトル空間
N:Vに作用するindecomposable nilpotent matrix
として、
L(φ)とF(V,exp(N))の直積の形で表わされるものから、isogenyと直和によって構成することができる。(上記Prop1)
特にN=0がstableに対応する。
一方で、楕円曲線E'内のLagrangianの集合として、
直線からなるものを取ることができ、
楕円曲線E'上の深谷圏を構成することができる。
E上のベクトル束に対して、E'上の深谷圏の対象を上記5.1のΦによって対応づけることができる。
- degree:dの直線束に対してslope:dの直線
という対応により、テータ関数の加法公式の直感的な解釈が与えられる。
The Local Langlands Correspondence for GL(n) over p-adic Fields
http://arxiv.org/abs/math/0011210v2
さて、
楕円曲線の場合は、skyscraper層の構造に帰着して対応を見ることができた。
一方で、局所Langlands対応で問題になるのは、
k:標数pの有限体、F=k((t))
として、
F上のGalois表現と保型表現の対応であるが、
Fの(Frobenius semisimple)Weil-Deligne表現でindecomposableなものは、
Weil群の既約表現とSp(m)の直積の形で記述される。(3.2.4)
特にirreducible表現はWeil表現としてirredusibleでかつN=0の場合となり、
保型表現側ではsupercuspical表現が対応する。(4.3.2)
対応の構成には、
p-divisible group+level structureの普遍変形空間のtowerが用いられる。
W(k)上定義されたrigid analytic spaceのvanising cyclesに対応する表現が実現される。(5.5.3)
Perfectoid spaces
http://arxiv.org/abs/1111.4914v1
Moduli of p-divisible groups
http://arxiv.org/abs/1211.6357v1
p-divisible groupのmoduliはperfectoid spaceになる。
すなわち、標数pの世界と標数0の世界を行き来できる。
2013年2月3日日曜日
2013年1月25日金曜日
特性類
* 特性類
幾何的な対象Xの上部構造に対して、
Xの幾何的な情報を対応させたい。
とくにXに対してコホモロジー群が定義できる場合には、
幾何的な情報としてコホモロジーの元をとることが考えられる。
これは、Xの上部構造に対してベクトル空間の元を対応させることになるが、
それが関手的であることを要請したい。
すなわち、
幾何的な対象からなる圏C
が存在して、Cの対象Xに対してベクトル空間H(X)が関手的に対応する状況で、
X上の圏Vの対象Fに対して、H(X)の元c(F)を対応させる、
という状況。
このような状況として現れるのが、
1.
C:実可微分多様体の圏、X:実可微分多様体
V:X上のベクトル束の圏、E:X上のベクトル束
c:Euler類、Stiefel-Whitney類、Chern類
2.
C:代数多様体の圏、X:代数多様体
V:X上のベクトル束の圏、E:X上のベクトル束
c:Chern類
3.
C:実解析的多様体の圏、X:実解析的多様体
V:X上の可構層の圏、F:X上の可構層
c:特性類、特性Cycle
といった場合がある。
1.については、
公理系として、
- ベクトル束からコホモロジーの元への対応
- 自然性
- 積公式
- 非自明性
- Euler類による最高次数の表示
により、
向き付けを考慮しない場合にStiefel-Whitney類、
複素ベクトル束の場合(向き付け可能)に限定してChern類、
が定まる。
存在には、
ベクトル束の基本コホモロジー類とThom同型、
分類空間の存在とそのコホモロジー環の具体的な表示、
が使用される。
2.については、法束(管状近傍)は部分多様体がなめらかでない場合はそのままでは使用できないので、
normal coneを用いる。
E:X上のベクトル束に対して、自明束との直和の射影化P(E⊕1)は、
P(E)とEの非交和になる。
よって帰納法によりE,P(E)のChow群をXのChow群で表すことができる。
Yの部分多様体Xに対して、
C_{X}(Y): YのXに沿ったblow-upのexceptional divisorに付随するcone
としてnormal coneを定義する。
Y*P^{1}のX*{∞}でのblow-upは、P-{1]へ射影して、
Y*A^{1}と、
Y*{∞}でのfiberの和になる。
fiberは、
P(C⊕1)と
YのXにおけるblow-upのP(C)での貼り合わせになっている。
そこで、
Gysin-mapとexcision exact sequenceにより
specialization mapを構成する。
Topics in algebraic geometry: Introduction to intersection theory in algebraic geometry
http://math.stanford.edu/~vakil/245/
INTRODUCTION TO CHARACTERISTIC CLASSES AND INDEX THEORY
http://www.analg.ulg.ac.be/jps/rec/icc.pdf
3.については、
Sheaves on Manifolds(Kashiwara-Schapira)
で、
normal coneをパラメータを実直線として、さらに正の実数に制限する形で、
任意の部分集合に対して定義している。
(Def4.1.1)
X上の層、もしくは有界複体にquasi-isoな導来圏の対象Fに対して、
Xの部分多様体Mへのspecialization
ν_{M}(F)が定義され、
supp(ν_{M}(F))⊂supp(F)
を満たす。(Th4.2.3)
ν_{M}(F)のFourier-Sato変換として、microlocalization
μ_{M}(F)が定まる。(Def4.3.1)
specialization、microlocalizationは複素多様体のもとでは、
nearby-cycle,vanishing-cycleに対応する。(Prop8.6.3)
Fのmicrosupport SS(F)が定義される。(Def5.1.2)
microsupportを見ることにより、
大域切断の部分多様体への制限での不変性などを議論することができるようになる。(Prop5.2.1)
また、microsupportに対する仮定から、morse理論のような
パラメータに対して不変な性質を定式化できる。(Prop5.4.17)
X上の可構層Fに対して、characterinstic class(Euler類)
C(F)を定義するには、
トレース射と対角線埋め込みを用いる。(Def9.1.2)
写像f:X->Yに対する振る舞いは、
support上properの仮定のもとで順像に関してはTh9.1.7。
C(F)はX上の幾何的な情報だが、
Xの余接束上の幾何的な情報、Lagrangianとして、
characteristic cycle CC(F)が定義される。(Def9.4.1)
support上properの仮定のもとで順像に関してはProp9.4.2、
non-characteristicの仮定のもとで逆像に関してはProp9.4.3
で関手性が示されている。
C(F)とCC(F)の関係は、Prop9.5.1。
では、標数pの場合にはどうなるのだろうか?
Holonomic D-modules and positive characteristic
http://arxiv.org/pdf/1010.2908v1
Wild Ramification and the Cotangent Bundle
http://arxiv.org/abs/1301.4632v1
幾何的な対象Xの上部構造に対して、
Xの幾何的な情報を対応させたい。
とくにXに対してコホモロジー群が定義できる場合には、
幾何的な情報としてコホモロジーの元をとることが考えられる。
これは、Xの上部構造に対してベクトル空間の元を対応させることになるが、
それが関手的であることを要請したい。
すなわち、
幾何的な対象からなる圏C
が存在して、Cの対象Xに対してベクトル空間H(X)が関手的に対応する状況で、
X上の圏Vの対象Fに対して、H(X)の元c(F)を対応させる、
という状況。
このような状況として現れるのが、
1.
C:実可微分多様体の圏、X:実可微分多様体
V:X上のベクトル束の圏、E:X上のベクトル束
c:Euler類、Stiefel-Whitney類、Chern類
2.
C:代数多様体の圏、X:代数多様体
V:X上のベクトル束の圏、E:X上のベクトル束
c:Chern類
3.
C:実解析的多様体の圏、X:実解析的多様体
V:X上の可構層の圏、F:X上の可構層
c:特性類、特性Cycle
といった場合がある。
1.については、
公理系として、
- ベクトル束からコホモロジーの元への対応
- 自然性
- 積公式
- 非自明性
- Euler類による最高次数の表示
により、
向き付けを考慮しない場合にStiefel-Whitney類、
複素ベクトル束の場合(向き付け可能)に限定してChern類、
が定まる。
存在には、
ベクトル束の基本コホモロジー類とThom同型、
分類空間の存在とそのコホモロジー環の具体的な表示、
が使用される。
2.については、法束(管状近傍)は部分多様体がなめらかでない場合はそのままでは使用できないので、
normal coneを用いる。
E:X上のベクトル束に対して、自明束との直和の射影化P(E⊕1)は、
P(E)とEの非交和になる。
よって帰納法によりE,P(E)のChow群をXのChow群で表すことができる。
Yの部分多様体Xに対して、
C_{X}(Y): YのXに沿ったblow-upのexceptional divisorに付随するcone
としてnormal coneを定義する。
Y*P^{1}のX*{∞}でのblow-upは、P-{1]へ射影して、
Y*A^{1}と、
Y*{∞}でのfiberの和になる。
fiberは、
P(C⊕1)と
YのXにおけるblow-upのP(C)での貼り合わせになっている。
そこで、
Gysin-mapとexcision exact sequenceにより
specialization mapを構成する。
Topics in algebraic geometry: Introduction to intersection theory in algebraic geometry
http://math.stanford.edu/~vakil/245/
INTRODUCTION TO CHARACTERISTIC CLASSES AND INDEX THEORY
http://www.analg.ulg.ac.be/jps/rec/icc.pdf
3.については、
Sheaves on Manifolds(Kashiwara-Schapira)
で、
normal coneをパラメータを実直線として、さらに正の実数に制限する形で、
任意の部分集合に対して定義している。
(Def4.1.1)
X上の層、もしくは有界複体にquasi-isoな導来圏の対象Fに対して、
Xの部分多様体Mへのspecialization
ν_{M}(F)が定義され、
supp(ν_{M}(F))⊂supp(F)
を満たす。(Th4.2.3)
ν_{M}(F)のFourier-Sato変換として、microlocalization
μ_{M}(F)が定まる。(Def4.3.1)
specialization、microlocalizationは複素多様体のもとでは、
nearby-cycle,vanishing-cycleに対応する。(Prop8.6.3)
Fのmicrosupport SS(F)が定義される。(Def5.1.2)
microsupportを見ることにより、
大域切断の部分多様体への制限での不変性などを議論することができるようになる。(Prop5.2.1)
また、microsupportに対する仮定から、morse理論のような
パラメータに対して不変な性質を定式化できる。(Prop5.4.17)
X上の可構層Fに対して、characterinstic class(Euler類)
C(F)を定義するには、
トレース射と対角線埋め込みを用いる。(Def9.1.2)
写像f:X->Yに対する振る舞いは、
support上properの仮定のもとで順像に関してはTh9.1.7。
C(F)はX上の幾何的な情報だが、
Xの余接束上の幾何的な情報、Lagrangianとして、
characteristic cycle CC(F)が定義される。(Def9.4.1)
support上properの仮定のもとで順像に関してはProp9.4.2、
non-characteristicの仮定のもとで逆像に関してはProp9.4.3
で関手性が示されている。
C(F)とCC(F)の関係は、Prop9.5.1。
では、標数pの場合にはどうなるのだろうか?
Holonomic D-modules and positive characteristic
http://arxiv.org/pdf/1010.2908v1
Wild Ramification and the Cotangent Bundle
http://arxiv.org/abs/1301.4632v1
2012年11月21日水曜日
サマースクール 復習 その23
Finite volume flows and Morse theory
http://arxiv.org/abs/math/0101268v1
de-Rhamによる、
微分形式を用いたcohomology類の表現と
currentを用いたhomology類の表現があり、
積分によりPoincare dualityが表現される。
(e.g. http://www.math.upenn.edu/~ghrist/EAT/EATchapter6.pdf
http://www-math.mit.edu/~rbm/papers/deRham.11.May.2011.pdf)
コンパクト多様体Xに対して、
時間tをパラメータとするsmooth flow φ_{t}:X->X
が与えられると、これから、
P: φによるt->+∞における極限を対応させるpull-backによる微分形式への写像
を考えることができるが、φがfinite volume flowのときには、これは収束し(Th1.2)、
Pは微分形式からcurrentsへの写像を誘導する。
一方で、
I:微分形式からcurrentsへのinclusion
に対して、
IとPはあるchain mapTを用いてchain homotopicであることが示せる(Th2.3)。
これから、IとPはcohomology上で同じ写像を与えるが、Iはisomorphismを与えるので、
結局Pはcohomology上のisomorphismを与えることになる。
この議論をf:X->Rが実数値Morse関数の時に、
critical setsを安定多様体と不安定多様体に分割して、φを具体的に与えることによって(式(3.2))、
安定多様体からなるcohomologyの生成元と微分の表現を与えることができる。
(Th3.3, Th4.1, Th4.2)
これは、X*Xにおける対角線のresolutionを与えている、と見ることができる。
Boundary values, Fourier-Sato transform and Laplace transform
http://www.math.jussieu.fr/~schapira/respapers/BV.pdf
のLem5.1では、quadratic coneのFourier-Sato変換の計算をしている。
specializationはγ-topologyを入れた実直線上にログ構造を入れて、
その上でghostを見ていることに対応する(はず)。
microlocalizationはspecializationのFourier変換であるが、
実数上ではtempered distributionが必要になる。
標数pにおけるl進層での類似物では、Deligne-LaumonのFrouier変換が存在する。
On algebraic models for morse homotopy and their noncommutative deformations
http://www2.yukawa.kyoto-u.ac.jp/~kajiura/msj-kikagaku2006.pdf
An $A_\infty$-structure for lines in a plane
http://arxiv.org/abs/math/0703164v1
実2次元平面内の直線の組みに対してそれで囲まれる多角形を対応させて、
A∞圏を構成している。
ただし、1つの直線のself-intersectionやtransversalでない場合の問題があるので、
微分形式とcurrentsによる別の圏の構成をして、
ホモトピー同値性により、所望の圏を構成する。(Th3.2)
distributionの積は一般には定義されないが、
佐藤超函数と見てmicro supportを確認すれば積が定義できる。
そのため、デルタ関数とstep関数で生成されるDG代数を定義し(Def3.3)、
それを用いてself-intersectionの場合の代数を定義する。(Th3.7)
Homological mirror symmetry and torus fibrations
http://arxiv.org/abs/math/0011041v2
2012年11月12日月曜日
サマースクール 復習 その22
* 熱力学
熱力学の本(田崎)を見てみると、
熱平衡という概念があり、
平衡状態は、
環境という概念と、線形関数である示量変数の概念によって指定される。
環境と示量変数の組が状態空間を定め、状態空間上の関数として、状態量が定まる。
平衡状態に対する操作として、
- 環境を変化させない等温操作
- 環境に変化を許す断熱操作
の2種類がある。
操作に対して不変な式として状態方程式が存在する。
熱力学特有の概念として、
- 最大仕事と呼ばれる示量変数
が存在し、等温操作における仕事は最大仕事に等しい。
最大仕事を用いて、熱力学関数であるHelmholzの自由エネルギーが定まる。
すなわち、断熱操作に対する依存性が記述できる。
Helmholzの自由エネルギーの、
断熱操作の環境のパラメータに対する依存性を記述する示量変数として、
エントロピー、
が定義される。
状態に対する操作は一般に可逆ではなく、非可逆性を表す尺度として、
エントロピーが用いられる。
以上の概念を、もう少し馴染みやすい数学の言葉でアナロジーを作ってみる。
Constructuble sheafという概念があり、
Constructible sheafは、
sheafが定義される空間という概念と、Grothendieck群上の線形関数であるConstructible functionによって(一意ではなく)指定される。
Constructible sheafに対する操作として、
- 空間を変化させずGrothendieckのsix operationを行う
- 空間の変形(A,B-model双方の意味で緩く)
の2種類がある。
操作に対して不変な式として、相対Riemann-Roch(あるいはConstructible shaefに対するindex theorem)が存在する。
空間変形に対する依存性として、障害類の概念が定まる。
また、接続によるliftingにより、断熱操作に対応する状態が定まる。
非可逆性に対する尺度として、"重み"が対応するべきと思われるが、
"重み"は、Constructible sheafを単純層のextenstionで書いた時の矢印の向きを規定するもので、
そのままでは、示量変数とはならない。
* 統計力学
熱力学は、マクロな概念である熱の起源の説明を、ミクロの世界の言葉を使用する統計力学に委ねた。
では、そのアナロジーとして、Constructible sheafをよりミクロな世界の言葉で記述できるか、
という疑問が生じるが、
空間を固定した時に、
その上のConstructible sheafの複体のなすdg圏と
その余接空間をSymplrectic多様体と見た時の深谷圏のtriangulated envelopの圏が、
microlocalizationを通して同値、
ということが成り立つ。(空間はコンパクト実解析的多様体)
深谷圏におけるブレーンの射は擬正則多角形の個数であるから、
これはミクロな言葉で記述されている、と思ってよいだろう。
Constructible Sheaves and the Fukaya Category
http://arxiv.org/abs/math/0604379v4
Microlocal branes are constructible sheaves
http://arxiv.org/abs/math/0612399v4
Fukaya categories as categorical Morse homology
http://arxiv.org/abs/1109.4848v1
Springer theory via the Hitchin fibration
http://arxiv.org/abs/0806.4566v3
l進層およびLaumonのFourier変換の代わりにmicrolocal geometryの言葉を用いる。
* l進層における重み
l進層においては、Weil予想により"重み"は定義されていて、
良い性質を持っている。
http://www.ams.org/journals/bull/2009-46-04/S0273-0979-09-01268-3/S0273-0979-09-01268-3.pdf
Q:l進層において、なんらかのブレーンの深谷圏による記述は存在するか?
- l進層において、microlocalizationにおける特性cycleに対応する概念は存在する
INTRODUCTION TO WILD RAMIFICATION OF SCHEMES AND SHEAVES
http://swc.math.arizona.edu/aws/2012/2012MiedaSaitoNotes.pdf
l 進層の特性類と分岐について
http://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~t-saito/jd/ag.pdf
Q:l進層のブレーンによる記述によりKatz-Sarnakの定理の自然な解釈ができるか?
* 混合モチーフの圏
l進層、Hodge加群といった"重み"の存在する圏の親玉に対応するものとして、
混合モチーフの圏がある(だろうと思われている)。
導来圏は構成されている。
Q:もしl進層の導来圏にブレーン解釈が存在するなら、混合モチーフの導来圏にも同様の解釈ができないか?
ただし、
その場合のブレーンに対応するものは、
宇宙際理論によれば、簡単に記述できるものでは無さそうだ。
熱力学の本(田崎)を見てみると、
熱平衡という概念があり、
平衡状態は、
環境という概念と、線形関数である示量変数の概念によって指定される。
環境と示量変数の組が状態空間を定め、状態空間上の関数として、状態量が定まる。
平衡状態に対する操作として、
- 環境を変化させない等温操作
- 環境に変化を許す断熱操作
の2種類がある。
操作に対して不変な式として状態方程式が存在する。
熱力学特有の概念として、
- 最大仕事と呼ばれる示量変数
が存在し、等温操作における仕事は最大仕事に等しい。
最大仕事を用いて、熱力学関数であるHelmholzの自由エネルギーが定まる。
すなわち、断熱操作に対する依存性が記述できる。
Helmholzの自由エネルギーの、
断熱操作の環境のパラメータに対する依存性を記述する示量変数として、
エントロピー、
が定義される。
状態に対する操作は一般に可逆ではなく、非可逆性を表す尺度として、
エントロピーが用いられる。
以上の概念を、もう少し馴染みやすい数学の言葉でアナロジーを作ってみる。
Constructuble sheafという概念があり、
Constructible sheafは、
sheafが定義される空間という概念と、Grothendieck群上の線形関数であるConstructible functionによって(一意ではなく)指定される。
Constructible sheafに対する操作として、
- 空間を変化させずGrothendieckのsix operationを行う
- 空間の変形(A,B-model双方の意味で緩く)
の2種類がある。
操作に対して不変な式として、相対Riemann-Roch(あるいはConstructible shaefに対するindex theorem)が存在する。
空間変形に対する依存性として、障害類の概念が定まる。
また、接続によるliftingにより、断熱操作に対応する状態が定まる。
非可逆性に対する尺度として、"重み"が対応するべきと思われるが、
"重み"は、Constructible sheafを単純層のextenstionで書いた時の矢印の向きを規定するもので、
そのままでは、示量変数とはならない。
* 統計力学
熱力学は、マクロな概念である熱の起源の説明を、ミクロの世界の言葉を使用する統計力学に委ねた。
では、そのアナロジーとして、Constructible sheafをよりミクロな世界の言葉で記述できるか、
という疑問が生じるが、
空間を固定した時に、
その上のConstructible sheafの複体のなすdg圏と
その余接空間をSymplrectic多様体と見た時の深谷圏のtriangulated envelopの圏が、
microlocalizationを通して同値、
ということが成り立つ。(空間はコンパクト実解析的多様体)
深谷圏におけるブレーンの射は擬正則多角形の個数であるから、
これはミクロな言葉で記述されている、と思ってよいだろう。
Constructible Sheaves and the Fukaya Category
http://arxiv.org/abs/math/0604379v4
Microlocal branes are constructible sheaves
http://arxiv.org/abs/math/0612399v4
Fukaya categories as categorical Morse homology
http://arxiv.org/abs/1109.4848v1
Springer theory via the Hitchin fibration
http://arxiv.org/abs/0806.4566v3
l進層およびLaumonのFourier変換の代わりにmicrolocal geometryの言葉を用いる。
* l進層における重み
l進層においては、Weil予想により"重み"は定義されていて、
良い性質を持っている。
http://www.ams.org/journals/bull/2009-46-04/S0273-0979-09-01268-3/S0273-0979-09-01268-3.pdf
Q:l進層において、なんらかのブレーンの深谷圏による記述は存在するか?
- l進層において、microlocalizationにおける特性cycleに対応する概念は存在する
INTRODUCTION TO WILD RAMIFICATION OF SCHEMES AND SHEAVES
http://swc.math.arizona.edu/aws/2012/2012MiedaSaitoNotes.pdf
l 進層の特性類と分岐について
http://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~t-saito/jd/ag.pdf
Q:l進層のブレーンによる記述によりKatz-Sarnakの定理の自然な解釈ができるか?
* 混合モチーフの圏
l進層、Hodge加群といった"重み"の存在する圏の親玉に対応するものとして、
混合モチーフの圏がある(だろうと思われている)。
導来圏は構成されている。
Q:もしl進層の導来圏にブレーン解釈が存在するなら、混合モチーフの導来圏にも同様の解釈ができないか?
ただし、
その場合のブレーンに対応するものは、
宇宙際理論によれば、簡単に記述できるものでは無さそうだ。
2012年11月6日火曜日
サマースクール 復習 その21
SERRE-TATE LOCAL MODULI
https://web.math.princeton.edu/~nmk/old/serretatelocmod.pdf
標数pの世界から標数0の世界に持ち上げる、ということを問題にする。
一番簡単な場合は、group schemeであるが、
変形を持たないschemeの場合は面白くない。
そこで、abelian schemeの持ち上げが問題となる。
標数pの完全体k上のabelian schemeと
W(k)上のabelian schemeの比較を行うことが目的となる。
そのために、
Th1.2.1(Serre-Tate)で、
R: pがnilpotentな環
I:Rのイデアル
R0=R/I
に対して、
R上のabelian schemeの圏と、
R0上のabelian scheme + R上のBarsotti-Tate group + R0上でのabelian schemeとBT groupの同型写像のなす圏、
を定義して、両者が圏同値であることを示している。
この圏同値が有効に利用できるのは、標数pの体k上のordinary abelian varietyの場合で、
- dual abelian varietyの存在
- etale partのunique lifting
- troidal partとetale partのdualityによる対応
を用いて、
Th2.1が示される。
すなわち、formal deformation spaceにはformal torusの構造が入り、
W(k)上、その原点に対応するcanonical liftingが存在する。
さらに、
canonical liftingのEndomorphismsはreductionのEndomorphismsとbijectiveになる。
背後にあるのは、複素数体上では、アーベル多様体の複素Lie群の構造から、
1-jet(あるいはAtiyah-class)をとると、
不変微分型式のなすベクトル空間によるextensionが存在し、
Hodge構造によるcohomologyの分解となっている、
そして、それはGauss-Manin connectionに対応している、ということ。
Barsotti-Tate groupの場合は、接続に対応してCrystalが構成でき、
さらにCrystalline cohomologyに入るp進Hodge分解によるFiltration
が対応する。
それを、Kodaira-Spencer mapとして具体的に記述しているのが、
Th3.7.1。
deformation space上のformal abelian schemeの1次元de-Rham cohomology
のHodge分解と、Frobenius写像の持ち上げの作用をみる。
http://math.stanford.edu/~conrad/papers/notes.pdf
12. Applications to p-divisible groups and finite group schemes
Theorem 12.1.5 (Grothendieck-Messing)
"The Crystals Associated to Barsotti-Tate Groups"(Messing)
http://math.arizona.edu/~cais/scans/Messing-The_crystals_associated_to_Barsotti-Tate_groups/5.pdf
では、Appendix Prop3.2,3.3で
ordinary elliptic curveの場合の議論をしている。
https://web.math.princeton.edu/~nmk/old/serretatelocmod.pdf
標数pの世界から標数0の世界に持ち上げる、ということを問題にする。
一番簡単な場合は、group schemeであるが、
変形を持たないschemeの場合は面白くない。
そこで、abelian schemeの持ち上げが問題となる。
標数pの完全体k上のabelian schemeと
W(k)上のabelian schemeの比較を行うことが目的となる。
そのために、
Th1.2.1(Serre-Tate)で、
R: pがnilpotentな環
I:Rのイデアル
R0=R/I
に対して、
R上のabelian schemeの圏と、
R0上のabelian scheme + R上のBarsotti-Tate group + R0上でのabelian schemeとBT groupの同型写像のなす圏、
を定義して、両者が圏同値であることを示している。
この圏同値が有効に利用できるのは、標数pの体k上のordinary abelian varietyの場合で、
- dual abelian varietyの存在
- etale partのunique lifting
- troidal partとetale partのdualityによる対応
を用いて、
Th2.1が示される。
すなわち、formal deformation spaceにはformal torusの構造が入り、
W(k)上、その原点に対応するcanonical liftingが存在する。
さらに、
canonical liftingのEndomorphismsはreductionのEndomorphismsとbijectiveになる。
背後にあるのは、複素数体上では、アーベル多様体の複素Lie群の構造から、
1-jet(あるいはAtiyah-class)をとると、
不変微分型式のなすベクトル空間によるextensionが存在し、
Hodge構造によるcohomologyの分解となっている、
そして、それはGauss-Manin connectionに対応している、ということ。
Barsotti-Tate groupの場合は、接続に対応してCrystalが構成でき、
さらにCrystalline cohomologyに入るp進Hodge分解によるFiltration
が対応する。
それを、Kodaira-Spencer mapとして具体的に記述しているのが、
Th3.7.1。
deformation space上のformal abelian schemeの1次元de-Rham cohomology
のHodge分解と、Frobenius写像の持ち上げの作用をみる。
http://math.stanford.edu/~conrad/papers/notes.pdf
12. Applications to p-divisible groups and finite group schemes
Theorem 12.1.5 (Grothendieck-Messing)
"The Crystals Associated to Barsotti-Tate Groups"(Messing)
http://math.arizona.edu/~cais/scans/Messing-The_crystals_associated_to_Barsotti-Tate_groups/5.pdf
では、Appendix Prop3.2,3.3で
ordinary elliptic curveの場合の議論をしている。
2012年10月26日金曜日
サマースクール 復習 その20
Tropical geometry and mirror symmetry
http://www.math.ucsd.edu/~mgross/kansas.pdf
toric Fano varietyのB-modelはlangau-Ginzburg modelで、
ここにtwisted de-Rham complexが現れる。
- tropical world
- log world
- classical world
のつなぎ方を説明している。
* 以下極めていい加減な妄想
tropical worldからclassical worldへ行く道とは別に、
tropical worldからBerkovich空間へ行く道もある。
そこで、
Berkovich空間からの写像に持ち上げようとすると、難点が生じる。
すなわち、
Mumford curveのようなtotally degenereteの場合以外は、
そのままでは良い幾何的対象がない、
ということ。
これは、
A-modelの定義で、
stable mapを定義する際に概複素構造を用いて、モジュライ空間をコンパクトにして写像の存在を示す、
ということと同等のことを行う必要がある、
ということになる。
代数曲線に関するGrothendieck予想 --- p進幾何の視点から
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Daisuukyokusen%20ni%20kansuru%20Grothendieck%20yosou%20-%20p-shin%20kika%20no%20shiten%20kara%20(Tsudajuku%20genkou%201998-10).pdf
では、
p進Hodge理論を用いて、擬似的に一位化を構成している。
複素構造に対応するものが、Hodge分解であり、p進Hodge理論の使える拡大体の上で、
有理点の収束定理を証明している。(D. 主定理の証明)
SEMI-GRAPHS OF ANABELIOIDS
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Semi-graphs%20of%20Anabelioids.pdf
では、
tempered 基本群によるGalois圏を頂点に乗せて、群作用付き(無向)グラフの圏(anabelioid)を構成している。
このanabelioidの言葉を用いて、special fiberのdual graphから圏を構成できる。
Anabelioidの幾何学とp進Teichmuller理論
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Anabelioid%20no%20kikagaku%20to%20Teichmuller%20riron%20(Muroran%202002-08).pdf
では、
定理3で、圏同値から元の代数曲線が復元されることをcanonical liftingの言葉で言っている。
Anabelian Geometry in the Hodge-Arakelov Theory of Elliptic Curves
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Anabelian%20Geometry%20in%20the%20Hodge-Arakelov%20Theory%20of%20Elliptic%20Curves%20(Kokyuroku%202002).pdf
複素構造の積分可能性に対応する概念は、anabelioidを標識を固定してつないでいく、
ということに対応すると思える。
その標識を作るのに、Tate curveを利用する。
これらから、連想されるのは、IUTとは概複素構造のGalois版、いわば、概Galois構造ともよぶべきものだろう、
というもの。
ここで、代数曲線からの写像ではなく、数体を用いるために、
p進teichmuller空間においてのindigenous bundleの代わりをするのが、1点穴あき楕円曲線になる。
シンプレクティック幾何学の圧縮不能性定理が擬正則曲線の存在によって示される(シンプレクティック幾何学(深谷)定理2.108)
のと同様に、ABC予想が示されるのであれば、まさしく最初の応用、というのに適切なのだろう。
http://www.math.ucsd.edu/~mgross/kansas.pdf
toric Fano varietyのB-modelはlangau-Ginzburg modelで、
ここにtwisted de-Rham complexが現れる。
- tropical world
- log world
- classical world
のつなぎ方を説明している。
* 以下極めていい加減な妄想
tropical worldからclassical worldへ行く道とは別に、
tropical worldからBerkovich空間へ行く道もある。
そこで、
Berkovich空間からの写像に持ち上げようとすると、難点が生じる。
すなわち、
Mumford curveのようなtotally degenereteの場合以外は、
そのままでは良い幾何的対象がない、
ということ。
これは、
A-modelの定義で、
stable mapを定義する際に概複素構造を用いて、モジュライ空間をコンパクトにして写像の存在を示す、
ということと同等のことを行う必要がある、
ということになる。
代数曲線に関するGrothendieck予想 --- p進幾何の視点から
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Daisuukyokusen%20ni%20kansuru%20Grothendieck%20yosou%20-%20p-shin%20kika%20no%20shiten%20kara%20(Tsudajuku%20genkou%201998-10).pdf
では、
p進Hodge理論を用いて、擬似的に一位化を構成している。
複素構造に対応するものが、Hodge分解であり、p進Hodge理論の使える拡大体の上で、
有理点の収束定理を証明している。(D. 主定理の証明)
SEMI-GRAPHS OF ANABELIOIDS
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Semi-graphs%20of%20Anabelioids.pdf
では、
tempered 基本群によるGalois圏を頂点に乗せて、群作用付き(無向)グラフの圏(anabelioid)を構成している。
このanabelioidの言葉を用いて、special fiberのdual graphから圏を構成できる。
Anabelioidの幾何学とp進Teichmuller理論
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Anabelioid%20no%20kikagaku%20to%20Teichmuller%20riron%20(Muroran%202002-08).pdf
では、
定理3で、圏同値から元の代数曲線が復元されることをcanonical liftingの言葉で言っている。
Anabelian Geometry in the Hodge-Arakelov Theory of Elliptic Curves
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Anabelian%20Geometry%20in%20the%20Hodge-Arakelov%20Theory%20of%20Elliptic%20Curves%20(Kokyuroku%202002).pdf
複素構造の積分可能性に対応する概念は、anabelioidを標識を固定してつないでいく、
ということに対応すると思える。
その標識を作るのに、Tate curveを利用する。
これらから、連想されるのは、IUTとは概複素構造のGalois版、いわば、概Galois構造ともよぶべきものだろう、
というもの。
ここで、代数曲線からの写像ではなく、数体を用いるために、
p進teichmuller空間においてのindigenous bundleの代わりをするのが、1点穴あき楕円曲線になる。
シンプレクティック幾何学の圧縮不能性定理が擬正則曲線の存在によって示される(シンプレクティック幾何学(深谷)定理2.108)
のと同様に、ABC予想が示されるのであれば、まさしく最初の応用、というのに適切なのだろう。
2012年10月21日日曜日
サマースクール 復習 その19
* The Calylay method
"Discriminants, Resultants, and Multidimensional Determinants"(GKZ)において,射影空間内の超平面Xに対して、そのprojective dualの定義方程式が、
X-discriminantΔ_{X}であることを示すのに、
1. Δ_{X}(f)=0が、Koszul complexのexactnessが(degree 0で)破れることと同値であることを示し、
2. そのcomplexをdeterminant complexの計算で置き換える、
という手順を踏む。(Ch2)
1.で使用されるのが、
Cor2.1.5のjet bundleとそのdualによるresolutionであり、
Th2.2.5の両者をつなぐ式だった。
Th2.2.5の根拠は、
incidence variety、およびそのleft resolutionのdual complexの定めるline bundleによる、
Hecke対応の記述だった。
2.で使用されるのが、Th2.5.2における計算だった。
それを利用して、Principal A-Determinantの分解を組み合わせ的に記述する。(Ch10)
V:vector space V^{*}:dual of V
として、
射影的トーリック多様体Xとそのaffine coneYは、
V^{*}-{0}->P(V^{*})というGm作用の軌道を取る写像を
Y-{0}->X
に制限することで得られる。これは、
A: Xを定める有限集合
S: A*{1}と{0}の和
として、Sの元の重みをAの元の重みを1と定めることに対応する。
また、Sの元はrank kの自由アーベル群を生成するとする。(Aはrank k-1の自由アーベル群を生成する)
YはSpec C[S]の形で表され、トーラス作用としてk次元の開軌道Y0を持つ。
また、Yは唯一の0次元軌道を持つ。(affine空間の{0}に対応)(Prop5.3.5)
Q=convex hull(A)のfaceΓとYのトーラス軌道Y0(Γ)は一対一に対応する。
y∈Y0(Γ)の近傍は、Spec(C[S/Γ])*Y0(Γ)の有限個のbranchの和と局所的に表される。(Th5.3.6)
YのY-Y0に関するlogarithmic de Rham complexは、
1: j:Y0->YをembeddingとしてY0上の定数層のjによるdirect image
2. トーラス軌道の近傍の構造による分解
の2つの記述(modulo quasi-iso)がある。
2.の構造の記述のためにCh9で、
トーラスHに対し、その指標格子の上の離散ベクトル場による微分型式の表現(Prop9.2.2)
affine トーリック多様体に対し、理三ベクトル場によるDanilov i-formsの定義と微分形式の表現(Th9.2.5)
discriminant complexのgraded vector spaceによる置き換え(Th9.2.6)
があり、
これから、Prop10.1.1による記述と、そのprime factorization Cor10.2.5が出る。
Cor10.2.5におけるmultiplicityの計算に、
上記の1.の記述を用いる。
VとV^{*}の直積は、V,V^{*}のcotangent bundleと見なせるので、
トーラス軌道のconormal bundleの閉包はLagrangianになる。
これが、1.のcharacteristic cycleによる分解に現れる。(Th10.2.11)
Th10.2.15でcharacteristic cycleの重複度と上記のprime factorizationの重複度の対応がつく。
* モチーフ
Principal A-Determinantの分解は、
log-differential complexを用いて、
特性多様体の分解とEuler数を計算すること、
を基礎に置いていた。
ここで、Euler数を取る前の特性多様体の情報を保持したままで話を進めようとすると、
モチーフによる記述が妥当と思われる。
モチーフのBetti realizationには重みが存在するから、
重みの情報を用いることにより、Euler数よりも多くの情報を得ることができるはずである。
* 相対化
Q:トーラス退化の場合に、上記の話が相対化できるのか?
tropical vertexと関係はあるのか?
The tropical vertex
http://arxiv.org/abs/0902.0779v2
* crystalline
トーリック多様体は、整数環上でも定義できて、
判別式の部分に整数が出てこない。
Q:整数環上で相対化して退化を記述した場合に、
logarithmic differential formsの記述、
Riemann-Hilbert対応の記述に、
crystalline cohomologyが有効利用できるか?
On the crystalline period map
http://arxiv.org/abs/1111.3316v2
p-adic derived de Rham cohomology
http://arxiv.org/abs/1204.6560v1
"Discriminants, Resultants, and Multidimensional Determinants"(GKZ)において,射影空間内の超平面Xに対して、そのprojective dualの定義方程式が、
X-discriminantΔ_{X}であることを示すのに、
1. Δ_{X}(f)=0が、Koszul complexのexactnessが(degree 0で)破れることと同値であることを示し、
2. そのcomplexをdeterminant complexの計算で置き換える、
という手順を踏む。(Ch2)
1.で使用されるのが、
Cor2.1.5のjet bundleとそのdualによるresolutionであり、
Th2.2.5の両者をつなぐ式だった。
Th2.2.5の根拠は、
incidence variety、およびそのleft resolutionのdual complexの定めるline bundleによる、
Hecke対応の記述だった。
2.で使用されるのが、Th2.5.2における計算だった。
それを利用して、Principal A-Determinantの分解を組み合わせ的に記述する。(Ch10)
V:vector space V^{*}:dual of V
として、
射影的トーリック多様体Xとそのaffine coneYは、
V^{*}-{0}->P(V^{*})というGm作用の軌道を取る写像を
Y-{0}->X
に制限することで得られる。これは、
A: Xを定める有限集合
S: A*{1}と{0}の和
として、Sの元の重みをAの元の重みを1と定めることに対応する。
また、Sの元はrank kの自由アーベル群を生成するとする。(Aはrank k-1の自由アーベル群を生成する)
YはSpec C[S]の形で表され、トーラス作用としてk次元の開軌道Y0を持つ。
また、Yは唯一の0次元軌道を持つ。(affine空間の{0}に対応)(Prop5.3.5)
Q=convex hull(A)のfaceΓとYのトーラス軌道Y0(Γ)は一対一に対応する。
y∈Y0(Γ)の近傍は、Spec(C[S/Γ])*Y0(Γ)の有限個のbranchの和と局所的に表される。(Th5.3.6)
YのY-Y0に関するlogarithmic de Rham complexは、
1: j:Y0->YをembeddingとしてY0上の定数層のjによるdirect image
2. トーラス軌道の近傍の構造による分解
の2つの記述(modulo quasi-iso)がある。
2.の構造の記述のためにCh9で、
トーラスHに対し、その指標格子の上の離散ベクトル場による微分型式の表現(Prop9.2.2)
affine トーリック多様体に対し、理三ベクトル場によるDanilov i-formsの定義と微分形式の表現(Th9.2.5)
discriminant complexのgraded vector spaceによる置き換え(Th9.2.6)
があり、
これから、Prop10.1.1による記述と、そのprime factorization Cor10.2.5が出る。
Cor10.2.5におけるmultiplicityの計算に、
上記の1.の記述を用いる。
VとV^{*}の直積は、V,V^{*}のcotangent bundleと見なせるので、
トーラス軌道のconormal bundleの閉包はLagrangianになる。
これが、1.のcharacteristic cycleによる分解に現れる。(Th10.2.11)
Th10.2.15でcharacteristic cycleの重複度と上記のprime factorizationの重複度の対応がつく。
* モチーフ
Principal A-Determinantの分解は、
log-differential complexを用いて、
特性多様体の分解とEuler数を計算すること、
を基礎に置いていた。
ここで、Euler数を取る前の特性多様体の情報を保持したままで話を進めようとすると、
モチーフによる記述が妥当と思われる。
モチーフのBetti realizationには重みが存在するから、
重みの情報を用いることにより、Euler数よりも多くの情報を得ることができるはずである。
* 相対化
Q:トーラス退化の場合に、上記の話が相対化できるのか?
tropical vertexと関係はあるのか?
The tropical vertex
http://arxiv.org/abs/0902.0779v2
* crystalline
トーリック多様体は、整数環上でも定義できて、
判別式の部分に整数が出てこない。
Q:整数環上で相対化して退化を記述した場合に、
logarithmic differential formsの記述、
Riemann-Hilbert対応の記述に、
crystalline cohomologyが有効利用できるか?
On the crystalline period map
http://arxiv.org/abs/1111.3316v2
p-adic derived de Rham cohomology
http://arxiv.org/abs/1204.6560v1
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