サマースクール 復習 その19

* The Calylay method

"Discriminants, Resultants, and Multidimensional Determinants"(GKZ)において,射影空間内の超平面Xに対して、そのprojective dualの定義方程式が、
X-discriminantΔ_{X}であることを示すのに、
1. Δ_{X}(f)=0が、Koszul complexのexactnessが(degree 0で)破れることと同値であることを示し、
2. そのcomplexをdeterminant complexの計算で置き換える、
という手順を踏む。(Ch2)
1.で使用されるのが、
Cor2.1.5のjet bundleとそのdualによるresolutionであり、
Th2.2.5の両者をつなぐ式だった。
Th2.2.5の根拠は、
incidence variety、およびそのleft resolutionのdual complexの定めるline bundleによる、
Hecke対応の記述だった。
2.で使用されるのが、Th2.5.2における計算だった。

それを利用して、Principal A-Determinantの分解を組み合わせ的に記述する。(Ch10)
V:vector space V^{*}:dual of V
として、
射影的トーリック多様体Xとそのaffine coneYは、
V^{*}-{0}->P(V^{*})というGm作用の軌道を取る写像を
Y-{0}->X
に制限することで得られる。これは、
A: Xを定める有限集合　
S: A*{1}と{0}の和
として、Sの元の重みをAの元の重みを1と定めることに対応する。
また、Sの元はrank kの自由アーベル群を生成するとする。(Aはrank k-1の自由アーベル群を生成する)
YはSpec C[S]の形で表され、トーラス作用としてk次元の開軌道Y0を持つ。
また、Yは唯一の0次元軌道を持つ。(affine空間の{0}に対応)(Prop5.3.5)

Q=convex hull(A)のfaceΓとYのトーラス軌道Y0(Γ)は一対一に対応する。
y∈Y0(Γ)の近傍は、Spec(C[S/Γ])*Y0(Γ)の有限個のbranchの和と局所的に表される。(Th5.3.6)

YのY-Y0に関するlogarithmic de Rham complexは、
1: j:Y0->YをembeddingとしてY0上の定数層のjによるdirect image
2. トーラス軌道の近傍の構造による分解
の2つの記述(modulo quasi-iso)がある。

2.の構造の記述のためにCh9で、
トーラスHに対し、その指標格子の上の離散ベクトル場による微分型式の表現(Prop9.2.2)
affine トーリック多様体に対し、理三ベクトル場によるDanilov i-formsの定義と微分形式の表現(Th9.2.5)
discriminant complexのgraded vector spaceによる置き換え(Th9.2.6)
があり、
これから、Prop10.1.1による記述と、そのprime factorization Cor10.2.5が出る。

Cor10.2.5におけるmultiplicityの計算に、
上記の1.の記述を用いる。
VとV^{*}の直積は、V,V^{*}のcotangent bundleと見なせるので、
トーラス軌道のconormal bundleの閉包はLagrangianになる。
これが、1.のcharacteristic cycleによる分解に現れる。(Th10.2.11)
Th10.2.15でcharacteristic cycleの重複度と上記のprime factorizationの重複度の対応がつく。

* モチーフ
Principal A-Determinantの分解は、

log-differential complexを用いて、
特性多様体の分解とEuler数を計算すること、
を基礎に置いていた。
ここで、Euler数を取る前の特性多様体の情報を保持したままで話を進めようとすると、
モチーフによる記述が妥当と思われる。
モチーフのBetti realizationには重みが存在するから、
重みの情報を用いることにより、Euler数よりも多くの情報を得ることができるはずである。

* 相対化
Q:トーラス退化の場合に、上記の話が相対化できるのか?
tropical vertexと関係はあるのか?
The tropical vertex
http://arxiv.org/abs/0902.0779v2

* crystalline
トーリック多様体は、整数環上でも定義できて、
判別式の部分に整数が出てこない。
Q:整数環上で相対化して退化を記述した場合に、
logarithmic differential formsの記述、
Riemann-Hilbert対応の記述に、
crystalline cohomologyが有効利用できるか?

On the crystalline period map
http://arxiv.org/abs/1111.3316v2

p-adic derived de Rham cohomology
http://arxiv.org/abs/1204.6560v1