サマースクール 復習 その18

*非可換DT
Non-commutative Donaldson-Thomas theory and the conifold
http://arxiv.org/abs/0705.3419v3
Quiver with potentialからJacobi環の表現のmoduli空間を構成したいが、
とくに、cyclic modlueの場合をみる。
- path algebraのレベルでcyclicな場合はmoduliを構成できる(lem1.2.1)
- Jacobi環のframed cyclic moduleのfine moduliを構成できて、path algebraのレベルのmoduli(smooth)に埋め込める
(Prop1.2.2)
- さらにmoduliの各点での接空間をイデアルと加群で記述できる(Cor1.2.3)
- moduliはsymmetric perfect obstruction theoryを持つ(Th1.3.1)
path algebraのレベルのmoduliがsmoothで、
moduliはその中でのexact 1-formのzero locusとして記述できるので、
obsutruction theoryを持つ。

- 3次元Calabi-Yau代数の表現について、
射影加群の有限余次元有限生成部分加群と有限次元cyclic加群
の間に対応がある。(Prop1.4.1)

- 具体的にnon-commutative conifoldの場合を扱う
Q: 2点と4つの辺からなるquiver
W: potential
A: Jacobi環
R=Z(A):Aの中心
とすると、RはGL(2)のdeterminant locusと同型。
Z=Spec(R)はsingularだが、そのcrepant resolutionとして、
X:可換(resolved conifold)
X+:可換(Xのflop)
A:非可換
が存在する。(Figure 8)
- framed cyclic moduleのfine moduliには、2次元トーラスの作用が入る
トーラス作用の重みを固定して、
pyramid partitionとmoduliのトーラス作用の固定点に一対一対応がある(Prop2.5.1)
- DT-invariantの計算に必要になる接空間の次元のparityは、path algebraのレベルのmoduliのpaityと同一
(lem2.5.2)
- Aの非可換分配関数がpyramid partitionを用いて計算できる(Th2.7.1)
さらに無限積展開が具体的に計算できる(Th2.7.2)