サマースクール 復習 その20

Tropical geometry and mirror symmetry
http://www.math.ucsd.edu/~mgross/kansas.pdf
toric Fano varietyのB-modelはlangau-Ginzburg modelで、
ここにtwisted de-Rham complexが現れる。

- tropical world
- log world
- classical world
のつなぎ方を説明している。

* 以下極めていい加減な妄想
tropical worldからclassical worldへ行く道とは別に、
tropical worldからBerkovich空間へ行く道もある。
そこで、
Berkovich空間からの写像に持ち上げようとすると、難点が生じる。
すなわち、
Mumford curveのようなtotally degenereteの場合以外は、
そのままでは良い幾何的対象がない、
ということ。
これは、
A-modelの定義で、
stable mapを定義する際に概複素構造を用いて、モジュライ空間をコンパクトにして写像の存在を示す、
ということと同等のことを行う必要がある、
ということになる。

代数曲線に関するGrothendieck予想 --- p進幾何の視点から
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Daisuukyokusen%20ni%20kansuru%20Grothendieck%20yosou%20-%20p-shin%20kika%20no%20shiten%20kara%20(Tsudajuku%20genkou%201998-10).pdf
では、
p進Hodge理論を用いて、擬似的に一位化を構成している。
複素構造に対応するものが、Hodge分解であり、p進Hodge理論の使える拡大体の上で、
有理点の収束定理を証明している。(D. 主定理の証明)

SEMI-GRAPHS OF ANABELIOIDS
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Semi-graphs%20of%20Anabelioids.pdf
では、
tempered 基本群によるGalois圏を頂点に乗せて、群作用付き(無向)グラフの圏(anabelioid)を構成している。
このanabelioidの言葉を用いて、special fiberのdual graphから圏を構成できる。

Anabelioidの幾何学とp進Teichmuller理論
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Anabelioid%20no%20kikagaku%20to%20Teichmuller%20riron%20(Muroran%202002-08).pdf
では、
定理3で、圏同値から元の代数曲線が復元されることをcanonical liftingの言葉で言っている。

Anabelian Geometry in the Hodge-Arakelov Theory of Elliptic Curves
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Anabelian%20Geometry%20in%20the%20Hodge-Arakelov%20Theory%20of%20Elliptic%20Curves%20(Kokyuroku%202002).pdf
複素構造の積分可能性に対応する概念は、anabelioidを標識を固定してつないでいく、
ということに対応すると思える。
その標識を作るのに、Tate curveを利用する。

これらから、連想されるのは、IUTとは概複素構造のGalois版、いわば、概Galois構造ともよぶべきものだろう、
というもの。
ここで、代数曲線からの写像ではなく、数体を用いるために、
p進teichmuller空間においてのindigenous bundleの代わりをするのが、1点穴あき楕円曲線になる。


シンプレクティック幾何学の圧縮不能性定理が擬正則曲線の存在によって示される(シンプレクティック幾何学(深谷)定理2.108)
のと同様に、ABC予想が示されるのであれば、まさしく最初の応用、というのに適切なのだろう。