サマースクール 復習 その17

Poisson properties of cluster algebras

http://www.math.jussieu.fr/~bbertrand/gtaa/school2012/ParisApril2012-Day3.pdf
extended cluster variablesに対するlog canonicalなPoisson構造の入れ方は、
τ座標を用いることにより、具体的に表すことができる。
cluster variablesとcompatibileな2-formを用いて表すこともできる。
Cluster algebraに対して、それをcoordinate ringとするvarietyと
その良いsub varietyであるCluster manifold(+2-form)を対応させる。
- A-cluster algebraとX-algebraという形で、cluster variablesとτ座標が対応する。
- Grassmann多様体に対して、cluster構造を入れることができる。
G(2,4)の場合は、a,cをcluster variables, b,d,ad-bcをfrozen variablesにして、
{a,b,d,ad-bc}<->{c,b,d,ad-bc}
の2つのclusterになる。
これは、4=3+1でA1型に対応するので、Weyl群がS2であることに対応する。

- cluster manifoldはnonsigular
cluster manifoldは各cluster毎に、
cluster変数から生成されるトーラスと、frozen variablesから生成されるaffine空間、
の直積をcexchange relationsで貼りあわせて得られるvariety。
よって、nonsingular。
さらに、log canonical w.r.t extended cluster variablesとなるPoisson構造が入る。
- local toric action
各cluster毎に、
cluster monomialsに対して、重みを付けてトーラス作用を与えることができる。
全てのclusterに対するトーラス作用がcompatibleで貼り合わせることができるとき、
cluster manifoldにトーラス作用が入り、そのregular locusを定義できる。
- regular locusの連結成分の個数
regular locusはcluster manifoldにおけるPoisoon構造のleavesに分割されるが、
とくに、generic leavesで分割される。
regular locusの連結成分の個数は、cluster algebraを定める反対称行列のmod2作用から
計算できる。

- cluster A-manifold, cluster X-manifold
cluster manifoldに対して、log canonicalなPoisson構造を与え対応する2-formをΩとする。
Ker(Ω)のgeneric filberは次元がrank(B)のsmooth manifoldになり、
Ωのpush forwardによりsymplectic型式が入る。

- cluster algebra with coefficients
tropical semifieldの元を係数に持つcluster algebra。

Cluster algebras and Poisson geometry
http://arxiv.org/abs/math/0208033v2


* Planar network
http://www.math.jussieu.fr/~bbertrand/gtaa/school2012/Paris2012-Day4_no_pause.pdf
- GL(n)にはSklyanin bracketにより標準的なPoisson-Lie構造が入る
- Coxeter Double Bruhat cell
A型の場合、2つのpermutation(u,v)に対して、Sklyanin bracketに対するPoisson manifoldが定まる。
Jacobi行列は、u=v^(-1)が一番長いpermutationの場合。
GL(n)は上三角行列、対角行列、下三角行列に分解でき、
それぞれを更に、Ga,Gmに対応する1-parameter群の元に分解することができる。
とくに、double Bruhat cell G^{u,v}は、
l(u)+l(v)+n次元のベクトル空間と双有理同値で、具体的に記述できる。

- Rn:Q/Pの形の互いに素な多項式からなる分数で、P(0)!=0, deg(Q)Rn
という写像(Moser map)を経由するが、これに対して、
Toda階層に類似の可積分系の存在、
Moser mapの逆写像
が存在するかどうかが問題になる。

G^{u,v}/H->Wn->Rn->(C*)^{2n}->G^{u,v}/H
が恒等写像になるように、
m:G^{u,v}/H->Wn
x:Rn->(C*)^{2n}
ρ:C*)^{2n}->G^{u,v}/H
を定めることができる。({u,v}に依存する。)

- A:cluster algebra
(u,v)に寄らないcluster algebraで、stable(frozen) variablesによる局所化がRnになるもの、
が存在する。
さらに、上の写像xの{u,v}の依存に対する変換は、Aにおけるcluster transformationの積で表される。


Generalized Bäcklund-Darboux transformations for Coxeter-Toda flows from a cluster algebra perspective
http://arxiv.org/abs/0906.1364v4

KP solitons and total positivity for the Grassmannian
http://arxiv.org/abs/1106.0023v1