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\cite{Tau}の内容を
\cite[p21]{SW}にある例に即した形で読み替えられないか？
という疑問が出る。

\[
W=W_{0}(\mathbb{R}^{2})=
\{w \in C([0,1] \to \mathbb{R}^{2} \vert w(0) = 0\}
\]
にWiener測度を与えた実２次元空間に値を取るWiener空間について、
\[
H=
\{h\in W \vert s \in[0,1] \mapsto h(s) \in \mathbb{R}^{2} \text{absolutely continuous}, \dot{h} \in L^{2}([0,1] \to \mathbb{R}^{2}) \}
\]
をそのCameron-Martin空間とする。
定義により内積は、
\[
\langle h,k \rangle=\int_{0}^{1}\dot{h}(s)\dot{k}(s)ds \text{ } (h,k \in H)
\]
となる。
\cite[Prop10.1]{SW}でガウス測度を付加された空間があるが、これとHを同一視したい。

\[
\mathbb{R}^{2}=\mathbb{C}
\]
として、Hの基底を次のように取る。


\[
\phi_{n}(s):=
\begin{cases}
\phi_{0}(s)= s, & \qquad n = 0 \\
\phi_{n}(s)= \frac{1}{2\pi n}(\exp(2\pi \mathrm{i} n s) -1), & \qquad n >= 1
\end{cases}
\]
\[
\psi_{n}(s):=
\frac{1}{2\pi n}(\exp(-2\pi \mathrm{i} n s) -1), \qquad n >= 1
\]

これにより、
\begin{gather*}
H_{+} = < \phi_{n} \vert n \geq 0 >_{\mathbb{C}} \\
H_{ - } = < \psi_{n} \vert n \geq 1 >_{\mathbb{C}} \\
\end{gather*}
\[
H = H_{+}\oplus H_{ - }
\]
と分解する。
Hの部分空間を
\[
H_{n}:= \{f \in H \vert f(\frac{k}{n}) = 0, \qquad k = 0, 1, \cdots, n \}
\]
\[
H_{+n}:= H_{+} \cap H_{n}
\]
とする。
\[
H \supset H_{1} \supset H_{n}
\]
である。

Ito\^ -Nishioの定理により、Hの元をpathと思うと、その係数は、それぞれ独立な2次元正規分布をもつ。\\
\[
[H:H_{n}]=n
\]
であり、ずれは、等分点での値の指定の任意性である。

\begin{thebibliography}{KP}
\bibitem[SW]{SW} G. Segal, G. Wilson, Loop groups and equations of KdV type. Publ. Math., Inst. Hautes Etud. Sci. 61, 5-65 (1985).
\bibitem[Tau]{Tau} Hidemi Aihara, Jiro Akahori, Hiroko Fujii and Yasufumi Nitta, Tau functions of KP solitons realized in Wiener space. http://arxiv.org/abs/1108.0768
\end{thebibliography}