折れ線近似による計算

確率面積を試しに折れ線近似により計算してみる。

各時間$t$において、

¥begin{equation}
z_{t}:=x_{t}+y_{t}i
¥end{equation}
とする。
面積を¥¥
¥[
A(z_{t+1};z_{t}):=
¥begin{pmatrix}
x_{t+1} & y_{t+1} ¥¥
x_{t+1}-x_{t} & y_{t+1}-y_{t}
¥end{pmatrix}
¥]
と定義した行列の行列式として、
¥begin{equation}
a(z_{t+1};z_{t}):=det(A(z_{t+1};z_{t}))
¥end{equation}
とする。¥¥
¥[
¥Delta x_{t}:=x_{t+1}-x_{t}
¥]
¥[
¥Delta y_{t}:=y_{t+1}-y_{t}
¥]
とすると、定義より、
¥begin{equation}
a(z_{t+1};z_{t})=det(
¥begin{pmatrix}
¥sum_{s=0}^{t}¥Delta x_{s}& ¥sum_{s=0}^{t}¥Delta y_{s} ¥¥
¥Delta x_{t} & ¥Delta y_{t}
¥end{pmatrix}
)
=¥¥
¥sum_{s=0}^{t}
det(
¥begin{pmatrix}
¥Delta x_{s} & ¥Delta y_{s} ¥¥
¥Delta x_{t} & ¥Delta y_{t} ¥¥
¥end{pmatrix}
)
¥end{equation}
となる。¥¥
よって、$0$と$z=(x,y)$を時刻Nで結ぶpath
¥[
w=¥{z_{0}=0,z_{1},¥ldots,z_{N}=z¥}
¥]
の面積は、
¥begin{equation}
S(w):=¥sum_{t=0}^{N}a(z_{t+1};z_{t}) ¥¥
=¥sum_{t=0}^{N}¥sum_{s=0}^{t}det(
¥begin{pmatrix}
¥Delta x_{s} & ¥Delta y_{s} ¥¥
¥Delta x_{t} & ¥Delta y_{t} ¥¥
¥end{pmatrix}
)
¥end{equation}
となる。¥¥
ここで、pathの動きを動きの方向によって符号化する。¥¥
¥[
(1,1),(-1,1),(-1,-1),(1,-1)
¥]
をそれぞれ1,2,3,4とラベル付けすると、¥¥
原点を出発するpathは、¥¥
1,2,3,4の組み合わせで符号化される。
¥[
¥epsilon(1,2):=det
¥begin{pmatrix}
1 & 1 ¥¥
-1 & 1 ¥¥
¥end{pmatrix}
=2
¥]
とすると、¥¥
¥[
¥epsilon(1,2)=¥epsilon(2,3)=¥epsilon(3,4)=¥epsilon(4,1)=2
¥]
¥[
¥epsilon(2,1)=¥epsilon(3,2)=¥epsilon(4,3)=¥epsilon(1,4)=-2
¥]
となり、それ以外の組み合わせは0となる。
¥[
w=¥{w_0,w_1,¥ldots,w_{N-1}¥}
¥]
と符号化して、
¥begin{equation}
S(w)
=¥sum_{t=0}^{N-1}¥sum_{s=0}^{t}¥epsilon(w_{s},w_{t})
¥end{equation}
となる。¥¥
ペア
¥[
{1,2},{2,3},{3,4},{4,1}
¥]
について各項を分けて、
¥[
S(w)=S_{12}(w)+S_{23}(w)+S_{34}(w)+S_{41}(w)
¥]
とする。

1,2,3,4のwにおける出現回数を
¥[
N_{1},N_{2},N_{3},N_{4}
¥]
として、
¥[
z=x+yi
¥]
とすると、
¥begin{equation}
N=N_{1}+N_{2}+N_{3}+N_{4}
¥end{equation}
で、
¥[
(x,y)=N_{1}(1,1)+N_{2}(-1,1)+N_{3}(-1,-1)+N_{4}(1,-1)
¥]
より、
¥[
(x,y)=
(N_{1}-N_{2}-N_{3}+N_{4}, N_{1}+N_{2}-N_{3}-N_{4})
¥]
となる。
¥begin{equation}
¥frac{x+y}{2}=N_{1}-N_{3}
¥end{equation}
¥begin{equation}
¥frac{x-y}{2}=-N_{2}+N_{4}
¥end{equation}
であるから、¥¥
$N$および終点$(x,y)$をfixした条件のもと、pathは、
¥[
N_{1},N_{2},N_{3},N_{4}
¥]
の出現回数(これは、$N_{1}$を指定すると他は決まる)を決めて、¥¥
さらに順番を指定したものになる。¥¥

$A=N_{1},B=N_{2}$
を与えて、
$q^{S_{12}(w)}$
の総和を求めてみる。¥¥
それには、{1,2}からなる列
¥[
p=¥{p1,p2,¥ldots,p_{M}¥}
¥]
について、¥¥
縦$A$、横$B$の箱の左下から、¥¥
1が出現したら右へ、2が出現したら上へ進む、¥¥
というルールで線を書くと、¥¥
出現回数が決まっているから、¥¥
箱の右上にたどり着くが、¥¥
その線で分けられた左上の面積-右下の部分の面積 ¥¥
が${S_{12}(p)}$に対応する。¥¥
よって、
¥[
¥sum_{p}q^{S_{12}(p)}
=¥frac{q^{AB+1} - q^{-(AB+1)}}{q-q^{-1}}
¥]
となる。

このことから、
$N$および終点$z=(x,y)$をfixした条件のもと、
¥[
¥bf{E}[¥rm q^{S(w)} | w(N)=z]=¥sum_{w}q^{S(w)}
¥]
は、
¥begin{equation}
¥sum_{w}q^{S(w)}=¥sum_{N_{1},N_{2},N_{3},N_{4}}
¥frac{q^{N_{1}N_{2}+1} - q^{-(N_{1}N_{2}+1)}}{q-q^{-1}}
¥frac{q^{N_{2}N_{3}+1} - q^{-(N_{2}N_{3}+1)}}{q-q^{-1}}
¥frac{q^{N_{3}N_{4}+1} - q^{-(N_{3}N_{4}+1)}}{q-q^{-1}}
¥frac{q^{N_{4}N_{1}+1} - q^{-(N_{4}N_{1}+1)}}{q-q^{-1}}
¥end{equation}
となる。

ここから、無限積による表示にたどり着くには、まだ一工夫必要のようだ。