フロベニウス作用に対する妄想

有理整数環のBerkovich空間は無限素点と有限素点に対応する辺を持つ星形のグラフで、
trivial normに対応する頂点を持つ。
無限素点においては、ケーラー構造に対応してラプラシアンが定まり、
cohomology類の代表元として調和形式が取れる。
Hodge理論の比較同型定理は、
特異コホモロジーとde-Rhamコホモロジーの複素数係数拡大での比較だった。
有限素点においては、
ガロア表現を持つエタールコホモロジーと
de-Rhamコホモロジーの周期環係数拡大での比較だった。
そこで、有理整数環上定義された代数多様体に対して、
1元体上のガロア表現がもしあったとすれば、
無限素点から来るラプラシアンの生成作用素と
ガロア表現から来るフロベニウス作用素に
何か対応らしきものがあってしかるべきだ、と妄想したくなる。

また、遠アーベル幾何の思想は群から幾何構造が定まる、というものだが、
これは数論的基本群を副有限群と見ての表現環が、従順な群より情報を保持している、
(ex. http://mathsoc.jp/meeting/sougou/2009haru/2009_haru_ozawa.pdf)
と解釈できると思える。

そこで、ガロア表現からマルコフ連鎖を作る(ex. http://www.math.harvard.edu/~lior/work/random_groups.T.pdf)と、
操作と、
無限素点でのラプラシアンの生成作用素、
1元体におけるフロベニウス作用素
に対応がついてほしくなる。
1元体においては、フロベニウス作用が完備化により実数値に拡張されるが、
その議論と、
Markov連鎖を実数をパラメータとする過程に拡張する議論
を平行に行えれば嬉しい。

p進Hodge理論においては、
代数多様体から来るガロア表現の特徴付けとしてde-Rham表現があった。
その類似を辿れば、空間を決めずにMarkov過程を生み出す
Dirichlet形式における議論(http://www-an.acs.i.kyoto-u.ac.jp/~hino/file/yokou0808.pdf)
を1元体でのガロア表現と結びつけたくなる。
そして、幾何からくる表現の特徴付けが欲しくなる。

Resistance forms, quasisymmetric maps and heat kernel estimates
(http://www-an.acs.i.kyoto-u.ac.jp/~kigami/vdrflecture.pdf)

Analogies between group actions on 3-manifolds and number fields
http://arxiv.org/abs/math/0107210v2
をみると、
数体は実３次元多様体の類似と見なせる。
そこで、数体のガロア群が実際に実３次元多様体に作用している場合に、
対応するマルコフ過程によりflowを作ると、
それは数体の情報をどれだけ保持してくれるだろうか？