Renormalization and motivic Galois theory
http://arxiv.org/abs/math/0409306v1
淡中圏として、motivic Galois group、
すなわちGmとあるpro-unipotent groupの半直積を固定して、
universal singular frameの明示的な式を提示していた。
これは、Time dependent exponential mapの形から、
かなりJoyceの構成に近いと思われる。
しかし、ここでは、安定性条件が現れていないので、
どのようにBridgelandの枠組で理解できるのかよくわからない。
Q:singular frameをBridgelandの枠組みで理解すること。
Stokes factors and multilogarithms
http://arxiv.org/abs/1006.4623v5
また、
群値運動量写像を用いた箙多様体の変種とRiemann-Hilbert対応
http://www.math.titech.ac.jp/~yamakawa/abst-geom55.pdf
に現れる乗法的箙多様体を、Quiver iwth potentialの圏の言葉で理解すること。
2012年9月19日水曜日
2012年9月18日火曜日
サマースクール 復習 その8
* 安定性条件とモノドロミー保存変形
Stability conditions and Stokes factors
http://arxiv.org/abs/0801.3974v5
- 安定性条件
有限次元代数の有限次元加群のなすアーベル圏に対して、
K群の正錐に対して複素上半平面上の点を加法を保つように対応させることにより、
安定性条件を与えることができる。
(ここで、複素数であることは、本来Motivicであるべき対象を記述する適切な言葉がないため、
それを含む複素数体で物事を議論しているためと思われる。モノドロミーに対する数論的理解が進めば、
安定性条件はより精緻な対象で記述されるべきであると思われる。)
K群の生成元は(単純加群からなり)有限個であるから、安定性条件の空間はこの場合、有限次元であり、
とくに上半平面の直積として多様体となる。
安定性条件の元で、部分加群に関する偏角の単調減少性によりsemistable条件を定義できる。
Kingにより安定性条件(Kingのθ安定性と同値になる)とK群の正錐(type)を指定するごとに、
semistable加群のcoarse moduli spaceを構成できる。
安定性条件の微小変動によりmoduli spaceが変動しない空間分割、
すなわち安定性条件のchamberと壁が構成できる。
有限次元代数の有限次元加群のなすアーベル圏からHall代数Hを構成できる。
安定性条件はK群の演算とcompatibleであるので、
安定性条件とtypeに対してよい振る舞いをする部分代数を構成したい。
typeに対して特性関数を取ることにより部分代数Cを、取ることができる。
Cには直和の類を用いて余積構造を入れることができる。
さらに、indecomposable加群の類で生成されるCの部分代数nを取ることができる。
nはLie環におけるnilpotent partの類似であり、
Cartan部分代数の類似であるh(これは安定性条件の空間を含んでいる)、
およびhとnの半直積であるBorel部分代数の類似b
を取ることができる。
さらに、安定性条件の空間からnへの関数として良い振る舞いの関数をとりたい。
Joyceによる構成は、nの中に、良い元をとって、typeの演算とcompatibleな微分方程式を満たすようにできる、
というものだった。(2)
これを、b(の完備化)に値を取る射影直線上のStokes dataと見ることで、
壁越えとモノドロミー保存変形を関連付ける。
- 射影直線上の代数群G主束の不確定特異点を持つ接続
admissble rayにおける正則で0への極限が明示的に記述される切断がuniqueに存在する。(Th2.6)
Stokes rayを超える部分ではStokes factorにより解の変化が記述される。
よって、上半平面をStokes rayにより偏角によって並べることにより、Stokes factorが記述されるが、
これがadmissible rayのみの領域で変化しないことと、モノドロミー保存変形であることは同値となる。(Prop2.11)
さらにモノドロミー保存変形のJimbo-Miwa-Uenoの方程式は、
Gのroot分解を用いて記述することができる。(Th2.12)(4)
-
安定性条件とn(の完備化)の元を与えることにより
a) 安定性条件の特性関数がStokes factorに対応する
b) Stokes multiplierの正規化
の2つの条件を満たすStokes dataを持つmeromorphic 接続がuniqueに対応する。
さらに、接続の留数は、Joyceの構成により記述でき、モノドロミー保存変形の微分方程式を満たす。
Stability conditions and Stokes factors
http://arxiv.org/abs/0801.3974v5
- 安定性条件
有限次元代数の有限次元加群のなすアーベル圏に対して、
K群の正錐に対して複素上半平面上の点を加法を保つように対応させることにより、
安定性条件を与えることができる。
(ここで、複素数であることは、本来Motivicであるべき対象を記述する適切な言葉がないため、
それを含む複素数体で物事を議論しているためと思われる。モノドロミーに対する数論的理解が進めば、
安定性条件はより精緻な対象で記述されるべきであると思われる。)
K群の生成元は(単純加群からなり)有限個であるから、安定性条件の空間はこの場合、有限次元であり、
とくに上半平面の直積として多様体となる。
安定性条件の元で、部分加群に関する偏角の単調減少性によりsemistable条件を定義できる。
Kingにより安定性条件(Kingのθ安定性と同値になる)とK群の正錐(type)を指定するごとに、
semistable加群のcoarse moduli spaceを構成できる。
安定性条件の微小変動によりmoduli spaceが変動しない空間分割、
すなわち安定性条件のchamberと壁が構成できる。
有限次元代数の有限次元加群のなすアーベル圏からHall代数Hを構成できる。
安定性条件はK群の演算とcompatibleであるので、
安定性条件とtypeに対してよい振る舞いをする部分代数を構成したい。
typeに対して特性関数を取ることにより部分代数Cを、取ることができる。
Cには直和の類を用いて余積構造を入れることができる。
さらに、indecomposable加群の類で生成されるCの部分代数nを取ることができる。
nはLie環におけるnilpotent partの類似であり、
Cartan部分代数の類似であるh(これは安定性条件の空間を含んでいる)、
およびhとnの半直積であるBorel部分代数の類似b
を取ることができる。
さらに、安定性条件の空間からnへの関数として良い振る舞いの関数をとりたい。
Joyceによる構成は、nの中に、良い元をとって、typeの演算とcompatibleな微分方程式を満たすようにできる、
というものだった。(2)
これを、b(の完備化)に値を取る射影直線上のStokes dataと見ることで、
壁越えとモノドロミー保存変形を関連付ける。
- 射影直線上の代数群G主束の不確定特異点を持つ接続
admissble rayにおける正則で0への極限が明示的に記述される切断がuniqueに存在する。(Th2.6)
Stokes rayを超える部分ではStokes factorにより解の変化が記述される。
よって、上半平面をStokes rayにより偏角によって並べることにより、Stokes factorが記述されるが、
これがadmissible rayのみの領域で変化しないことと、モノドロミー保存変形であることは同値となる。(Prop2.11)
さらにモノドロミー保存変形のJimbo-Miwa-Uenoの方程式は、
Gのroot分解を用いて記述することができる。(Th2.12)(4)
-
安定性条件とn(の完備化)の元を与えることにより
a) 安定性条件の特性関数がStokes factorに対応する
b) Stokes multiplierの正規化
の2つの条件を満たすStokes dataを持つmeromorphic 接続がuniqueに対応する。
さらに、接続の留数は、Joyceの構成により記述でき、モノドロミー保存変形の微分方程式を満たす。
2012年9月17日月曜日
サマースクール 復習 その7
* 2次微分と安定性
Quadratic Differentials as Stability conditions
http://www.hcm.uni-bonn.de/fileadmin/stringmath2012/plenary_talks/brsm_bonn_stringmath.pdf
点付き境界付きリーマン面に対し、非退化3角形分解からQuiver with Potentialを構成する。
さらに、complete Ginzburg代数の導来圏の部分圏として、
3次元Calabi-Yau三角圏を構成する。(Q:これはCalabi-Yau代数の文献を見ればよい?)
この3角圏に対し安定性条件の空間、および圏の自己同値の空間を構成し、
後者の連結成分での商を取る。(安定性条件の空間は複素多様体(Th2)となる。)
(Q:自己同値の空間はその部分空間になるのか?)
すると、複素orbifoldとして、符号付きmeromorphic2次微分の空間と同型になる。(Th1)
辺に対するflipはQuiver with Potentialのmutationを引き起こし、圏の自己同値を引き起こす。
最初と最後の分割が変わらない辺のflipの列を合成することで、圏の自己同値の群が生成される。
境界付きリーマン面に対し、meromorphic2次微分を、零点がすべてsimpleであるようにとり、
3位以上の極についてはreal blowupをし、2位以下の極しか持たないようにする。
このようなリーマン面と2次微分の組は複素orbifoldとして定まる。
2次微分なのでsqrtをとって留数を取ることができる。
リーマン面とすべての2位の極での留数を固定して、2次微分の部分空間をとり、
これを安定性条件の空間に引き戻すと、
どのような特徴付けができるか?
という事が書かれていた。
Quadratic Differentials as Stability conditions
http://www.hcm.uni-bonn.de/fileadmin/stringmath2012/plenary_talks/brsm_bonn_stringmath.pdf
点付き境界付きリーマン面に対し、非退化3角形分解からQuiver with Potentialを構成する。
さらに、complete Ginzburg代数の導来圏の部分圏として、
3次元Calabi-Yau三角圏を構成する。(Q:これはCalabi-Yau代数の文献を見ればよい?)
この3角圏に対し安定性条件の空間、および圏の自己同値の空間を構成し、
後者の連結成分での商を取る。(安定性条件の空間は複素多様体(Th2)となる。)
(Q:自己同値の空間はその部分空間になるのか?)
すると、複素orbifoldとして、符号付きmeromorphic2次微分の空間と同型になる。(Th1)
辺に対するflipはQuiver with Potentialのmutationを引き起こし、圏の自己同値を引き起こす。
最初と最後の分割が変わらない辺のflipの列を合成することで、圏の自己同値の群が生成される。
境界付きリーマン面に対し、meromorphic2次微分を、零点がすべてsimpleであるようにとり、
3位以上の極についてはreal blowupをし、2位以下の極しか持たないようにする。
このようなリーマン面と2次微分の組は複素orbifoldとして定まる。
2次微分なのでsqrtをとって留数を取ることができる。
リーマン面とすべての2位の極での留数を固定して、2次微分の部分空間をとり、
これを安定性条件の空間に引き戻すと、
どのような特徴付けができるか?
という事が書かれていた。
2012年9月16日日曜日
サマースクール 復習 その6
* 虚2次体上の保形型式
有理数体上のGL(2)保形型式は、
複素上半平面上の関数で算術群に対する保形性を持つ関数で表される。
とくに、正則保形型式が存在して、楕円曲線のモジュライ上の直線束の切断を与えていた。
ここで、複素上半平面がでてきたのはSL(2,R)/SO(2)が対応していたためだった。
では、虚2次体上のGL(2)保型形式はどうだろうか?[
SL(2,C)/SU(2)が3次元上半平面に対応するが、
正則保型形式は存在しない。
また、保型形式はSU(2)の有限既約表現の存在により、ベクトル値になる。
Some Applications of Number Theory to 3-Manifold Theory
http://arxiv.org/abs/1203.1428v1
算術群として、arithmetic Klein群、とくにBianchi群と呼ばれるものに注目する。
ただし、結び目の補空間の基本群として現れるのは、figure-8に対応する場合だけである。
Eichler-Shimura同型に対応するBettiコホモロジーと算術群のコホモロジーの同型対応、
およびその保型形式としての解釈、
cusp型式、Hecke対応については、定義が存在する。
(これらは保型表現としてみたほうが分かり易いかも知れない。)
また、虚2次体のゼータ関数のs=2での値と、虚2次体のorderのPSL2による商の体積との関係が存在する。
(もし結び目補空間がいっぱい対応していてくれれば、これは体積予想とも関連したはずであるが、
上記の通り1つしかないので、結び目の観点からはあまり興味はない。)
有理数体上のGL(2)保形型式は、
複素上半平面上の関数で算術群に対する保形性を持つ関数で表される。
とくに、正則保形型式が存在して、楕円曲線のモジュライ上の直線束の切断を与えていた。
ここで、複素上半平面がでてきたのはSL(2,R)/SO(2)が対応していたためだった。
では、虚2次体上のGL(2)保型形式はどうだろうか?[
SL(2,C)/SU(2)が3次元上半平面に対応するが、
正則保型形式は存在しない。
また、保型形式はSU(2)の有限既約表現の存在により、ベクトル値になる。
Some Applications of Number Theory to 3-Manifold Theory
http://arxiv.org/abs/1203.1428v1
算術群として、arithmetic Klein群、とくにBianchi群と呼ばれるものに注目する。
ただし、結び目の補空間の基本群として現れるのは、figure-8に対応する場合だけである。
Eichler-Shimura同型に対応するBettiコホモロジーと算術群のコホモロジーの同型対応、
およびその保型形式としての解釈、
cusp型式、Hecke対応については、定義が存在する。
(これらは保型表現としてみたほうが分かり易いかも知れない。)
また、虚2次体のゼータ関数のs=2での値と、虚2次体のorderのPSL2による商の体積との関係が存在する。
(もし結び目補空間がいっぱい対応していてくれれば、これは体積予想とも関連したはずであるが、
上記の通り1つしかないので、結び目の観点からはあまり興味はない。)
2012年9月15日土曜日
サマースクール 復習 その5
* A-多項式
3次元トーリックCalabi-Yau多様体において、
そのmirror curveは対応するMatrix modelのスペクトル曲線であり、
1次元シュレーディンガー方程式のWKB法によるStokes曲線を与えていた。
すなわち、
完全WKB解 析,そ して完全最急降下法
https://www.jstage.jst.go.jp/article/sugaku1947/55/4/55_4_350/_pdf
にあるように、
シュレディンガー方程式のポテンシャルQ(x)から、
Stokes曲線が得られるが、
一方で、Q(x)は曲線のリーマン面としての一意化を与える関数を与えるものだった。
3次元トーリックCalabi-Yau多様体のスペクトル曲線は2次元トーラス内の曲線なので、
パラメータとしてはトーラス上のパラメータをとったほうが見やすい。
では、結び目を与えて、それに対応する3次元トーリックCalabi-Yau多様体の
mirror curveおよびStokes曲線は何になるのだろうか?
Representation Theory and the A-polynomial of a Knot
http://www.math.ucsb.edu/~long/pubpdf/repnApoly.pdf
Plane Curves Associated to Character Varieties of 3-Manifolds
http://homepages.math.uic.edu/~culler/papers/PlaneCurves/curves.pdf
では、
結び目の管状近傍として得られるソリッドトーラスを取り除き、
境界が2次元トーラスである3次元コンパクト多様体を対応させ、
これに対して、特性多様体と呼ばれるリーマン面と、A-多項式と呼ばれる多項式を対応させている。
結び目補空間が双曲一意化を保つ場合、基本群の作用を見ると2次元射影表現が得られるが。
SL(2)への持ち上げが境界のトーラスの作用によって固定されたものが得られる。
特に、トーラスの基本群の生成元が(同時)対角化されているように基底を選ぶ。
境界トーラスでの表現を対角化条件を保って、3次元空間の基本群の表現に持ち上げる場合、表現空間の体は、
変形の自由度分超越次数が増大し、今の場合は1次元増加する。
A-polynomial, B-model, and Quantization
http://arxiv.org/abs/1108.0002v1
3次元トーリックCalabi-Yau多様体において、
そのmirror curveは対応するMatrix modelのスペクトル曲線であり、
1次元シュレーディンガー方程式のWKB法によるStokes曲線を与えていた。
すなわち、
完全WKB解 析,そ して完全最急降下法
https://www.jstage.jst.go.jp/article/sugaku1947/55/4/55_4_350/_pdf
にあるように、
シュレディンガー方程式のポテンシャルQ(x)から、
Stokes曲線が得られるが、
一方で、Q(x)は曲線のリーマン面としての一意化を与える関数を与えるものだった。
3次元トーリックCalabi-Yau多様体のスペクトル曲線は2次元トーラス内の曲線なので、
パラメータとしてはトーラス上のパラメータをとったほうが見やすい。
では、結び目を与えて、それに対応する3次元トーリックCalabi-Yau多様体の
mirror curveおよびStokes曲線は何になるのだろうか?
Representation Theory and the A-polynomial of a Knot
http://www.math.ucsb.edu/~long/pubpdf/repnApoly.pdf
Plane Curves Associated to Character Varieties of 3-Manifolds
http://homepages.math.uic.edu/~culler/papers/PlaneCurves/curves.pdf
では、
結び目の管状近傍として得られるソリッドトーラスを取り除き、
境界が2次元トーラスである3次元コンパクト多様体を対応させ、
これに対して、特性多様体と呼ばれるリーマン面と、A-多項式と呼ばれる多項式を対応させている。
結び目補空間が双曲一意化を保つ場合、基本群の作用を見ると2次元射影表現が得られるが。
SL(2)への持ち上げが境界のトーラスの作用によって固定されたものが得られる。
特に、トーラスの基本群の生成元が(同時)対角化されているように基底を選ぶ。
境界トーラスでの表現を対角化条件を保って、3次元空間の基本群の表現に持ち上げる場合、表現空間の体は、
変形の自由度分超越次数が増大し、今の場合は1次元増加する。
A-polynomial, B-model, and Quantization
http://arxiv.org/abs/1108.0002v1
2012年9月14日金曜日
サマースクール 復習 その4
* 結び目に対応するmirror curve
Knots, Mirror Symmetry and Large N Duality
http://wwwth.mpp.mpg.de/members/strings/strings2012/strings_files/program/Talks/Friday/Aganagic.pdf
- 結び目に対して、3次元(非コンパクト)トーリックCalabi-Yau 多様体を対応させることができる。
トーリックCalay-Yau多様体にはmirror curveが対応するので、
結び目に対してリーマン面が結び目不変量として対応する。
- では、Calabi-Yau多様体のミラー対応は、結び目に対してどのような対応をもたらすのか?
コンパクトCalabi-Yau多様体のミラー対応は、SYZ対応によりLarangian fiberの対応になるが、
今の場合は、トーリック非コンパクトなので、fiberはトーラスではなく、退化した
R*R*S1の形になっている。
- トーリックCalabi-Yau多様体のGW不変量はEynardによりSymplectic invariantsを用いて計算できた。
Eynardの計算は、
トーリック多様体を局所的に複素3次元ベクトル空間と思って組み合わせ的に計算できること、
それに対応してmirror curveにpants分解が入り、Lagrangianの情報がpants分解との整合性に落ちること、
に帰着されていた。
- Gopakumar-Vafa 双対性
Gopakumar-VafaによるS^3上のChern-Simons理論と
resolved-conifold上のGW不変量のLarge N双対性
を仮定すると、結び目不変量はLargeN双対性によりresolved conifold上の計算になる。
ここで、NはCSのほうは、SU(N)をゲージ群に取ることで、GWのほうはパラメータtに対応する。
- 実際に幾つかの結び目に対してmirror curveを具体的に計算できる
unknot
trefoil
figure-8
torus-knot
- linkの場合はまだ材料は揃っていない
Large N Duality, Mirror Symmetry, and a Q-deformed A-polynomial for Knots
http://arxiv.org/abs/1204.4709v4
Introduction to the Gopakumar-Vafa Large N Duality
http://arxiv.org/abs/math/0701568v2
Knots, Mirror Symmetry and Large N Duality
http://wwwth.mpp.mpg.de/members/strings/strings2012/strings_files/program/Talks/Friday/Aganagic.pdf
- 結び目に対して、3次元(非コンパクト)トーリックCalabi-Yau 多様体を対応させることができる。
トーリックCalay-Yau多様体にはmirror curveが対応するので、
結び目に対してリーマン面が結び目不変量として対応する。
- では、Calabi-Yau多様体のミラー対応は、結び目に対してどのような対応をもたらすのか?
コンパクトCalabi-Yau多様体のミラー対応は、SYZ対応によりLarangian fiberの対応になるが、
今の場合は、トーリック非コンパクトなので、fiberはトーラスではなく、退化した
R*R*S1の形になっている。
- トーリックCalabi-Yau多様体のGW不変量はEynardによりSymplectic invariantsを用いて計算できた。
Eynardの計算は、
トーリック多様体を局所的に複素3次元ベクトル空間と思って組み合わせ的に計算できること、
それに対応してmirror curveにpants分解が入り、Lagrangianの情報がpants分解との整合性に落ちること、
に帰着されていた。
- Gopakumar-Vafa 双対性
Gopakumar-VafaによるS^3上のChern-Simons理論と
resolved-conifold上のGW不変量のLarge N双対性
を仮定すると、結び目不変量はLargeN双対性によりresolved conifold上の計算になる。
ここで、NはCSのほうは、SU(N)をゲージ群に取ることで、GWのほうはパラメータtに対応する。
- 実際に幾つかの結び目に対してmirror curveを具体的に計算できる
unknot
trefoil
figure-8
torus-knot
- linkの場合はまだ材料は揃っていない
Large N Duality, Mirror Symmetry, and a Q-deformed A-polynomial for Knots
http://arxiv.org/abs/1204.4709v4
Introduction to the Gopakumar-Vafa Large N Duality
http://arxiv.org/abs/math/0701568v2
2012年9月13日木曜日
サマースクール復習 その3
* Chern-Simons汎関数
Chern-Simonsゲージ理論において、
講義では、作用汎関数が与えられれば後は何とかする、という物理のスタンスが述べられていた。
作用汎関数については、
- 接続1形式に対して値を定める汎関数
- levelと呼ばれる整数パラメータが与えられ
- 変分が消えるところは、平坦曲率
ということが記述されていた。
しかし、作用汎関数自体は天下り的に定義され、
何故、その汎関数が選択されたのか、については明示されていなかった。
Chern-Simons
http://ncatlab.org/nlab/show/Chern-Simons+theory
Classical Chern-Simons theory, Part 1
http://arxiv.org/abs/hep-th/9206021v1
Chern-Simonsゲージ理論において、
講義では、作用汎関数が与えられれば後は何とかする、という物理のスタンスが述べられていた。
作用汎関数については、
- 接続1形式に対して値を定める汎関数
- levelと呼ばれる整数パラメータが与えられ
- 変分が消えるところは、平坦曲率
ということが記述されていた。
しかし、作用汎関数自体は天下り的に定義され、
何故、その汎関数が選択されたのか、については明示されていなかった。
Chern-Simons
http://ncatlab.org/nlab/show/Chern-Simons+theory
Classical Chern-Simons theory, Part 1
http://arxiv.org/abs/hep-th/9206021v1
登録:
投稿 (Atom)