周期にまつわる微分方程式

楕円曲線のpencilから微分方程式を導出している
Sixth Painlevé Equation, Universal Elliptic Curve, and Mirror of $\bold{P}^2$
http://arxiv.org/abs/alg-geom/9605010
(ページの下端が切れているのが辛い)

Painlevé type equations and Hitchin systems
http://arxiv.org/abs/math-ph/9901019

Hitchin hamiltonianから周期の無限小変形を導出しているのは
Donagi-Markman cubic for Hitchin systems
http://arxiv.org/abs/math/0607060

この辺りは佐藤グラスマンでの変形の計算と対応をつけたいところ。

自由フェルミオン場

Hurwitz numbers, matrix models and enumerative geometry
http://arxiv.org/abs/0709.1458
- Eynaud-Orintinの理論の方向性を解説している

Two Dimensional Kodaira-Spencer Theory and Three Dimensional Chern-Simons Gravity
http://arxiv.org/abs/0711.1932
- Eynaud-Orintinの理論の応用

Quantum Curves and D-Modules
http://arxiv.org/abs/0810.4157
- 自由フェルミオン場についてのまとめ
頭のいい人が書くと、佐藤グラスマンやτ関数が、
直観的でわかりやすい形で説明される、
ということに感心した。

Relating Field Theories via Stochastic Quantization
http://arxiv.org/abs/0903.0732
- ランジュバン方程式とかフォッカープランク方程式とかを用いて、
確率方程式と量子場を結び付けようとしている。
SLEはでてきていないので、これとSLEとを結びつけてみるのが面白そう。

Virasoro uniformization

SLEによってどのように複素構造が変形するか、
という問題意識があるのだけれど、
まずは、複素構造の変形を一般論や超越的方法ではなく、
具体的に記述している文献を当たってみる。
Hitchin Systems at Low Genera
http://eprintweb.org/S/authors/All/ga/Gawedzki/25
Hitchinの講義録「integrable systems」には、"it seems impossible to attempt to write them down explicitly. Only geometry remains."
とあるが、genusが低い場合にはなんとかなるみたいだ。
超楕円曲線が特別に扱いやすい、ということの証左なのだろう。
仮にSLEによる曲線の変形が代数的に記述できるとしたら、
超楕円曲線もしくはconicのintersecitonとして式を表して、
その係数にパラメータが入る、という形になるのだろう。

楕円曲線の場合は、
周期のPicard-Fuchs equationがブラウン運動に応じて変化する、ということになるのだろうか？

パラメータの変形が自己同型を引き起こす場合や点の移動を引き起こす場合を考慮に入れるためには、
Virasoro uniformizationをみないといけない。
これに関しては、
Geometric Realization of the Segal--Sugawara Construction
http://arxiv.org/abs/math/0301206
をみることにする。


TQFTの観点から、WZWとCheeger-Simons を理解しようとしているのが、
Locality and Integration in Topological Field Theory
http://arxiv.org/abs/hep-th/9209048
higer categoryを持ち出して抽象化される前の具体論をまずはみてみる。
Higer class field theoryやHigher Langlandsは、higher categoryがでてくるので、
心理的に抵抗感がある。

CFTでは0次元を2次元に入れてみていた。
結び目は1次元を3次元に入れてみている。
CFTがgeometric Langlandsと関係してくるなら、
結び目はどうか？
となるが、それに関しては、
Analogies between Knots and Primes, 3-Manifolds and Number Rings
http://arxiv.org/abs/0904.3399
にまとめがあった。

仮に、
Kontsevichの結び目不変量あるいはファインマン積分のグラフ展開、
と数論的な情報のグラフ展開、が結びつくとすれば、
Harer-Zagierのmoduli orbifoldのオイラー数の公式も、conceptualに理解できるはずで、
数論的にファインマンダイアグラムが定義できる状況、というものがほしくなる。

epsilon factor

p-adic Lie groupGを与えたときに対応するp-adic L-functionは
Algebraic $p$-Adic $L$-Functions in Non-Commutative Iwasawa Theory
http://projecteuclid.org/DPubS?service=UI&version=1.0&verb=Display&handle=euclid.prims/1234361155
で定義されている。
このp-adic L-functionはGがrank oneのときcanonicalにEuler characteristic classとなる。
(Th4.1)

一方、
Sheaves with connection on abelian varieties
http://arxiv.org/abs/alg-geom/9602023
でKrichiever mapをFourier-Mukai変換と解釈して、D-moduleのsettingで解釈しようという試みがある。
$\epsilon$-factors for Gauss-Manin determinants
http://arxiv.org/abs/math/0111277
でepsilon-factorをdeRham settingで定義し、
Topological $\epsilon$-factors
http://arxiv.org/abs/math/0610055
でbetti settingで定義し、
Riemann面の場合の説明が
http://www.math.uchicago.edu/~mitya/langlands/dt.pdf
で与えられている。
deRhamとbettiの場合の関係(period)は
$\epsilon$-Factors for the Period Determinants of Curves
http://arxiv.org/abs/0903.2674
で与えられている。

epsilon factorはramifiedなlocal systemもしくはirregular singurarityをもつD-module
を測っていて、Tate's thesisではアデール群上の積分としてdualityを記述して自然に定義された。
LaumonはFourier変換をsheafの上で定義することによりgeometricな定義を与えた。
p-adic L-functionはもともとはGalois群のone parameter群に対応するEuler類として解釈されたのだけれど、
epsilon factorと上記のp-adic L-functionとが、
何らかの形で結びついてくれれば、面白い。


deRham settingの理解のために以下を読むつもり。
Local Fourier transforms and rigidity for D-modules
http://arxiv.org/abs/math/0312343

境界付リーマン面

SLEについてみてみようとすると、境界付リーマン面とBoundaryCFTが必要になってくるみたいだ。
代数幾何、複素幾何の手法では、BoundaryCFTはかなり扱いづらいように見える。

Schottky doubleを考えても結局貼り合わせの実曲線をどう扱うかが解らないし、
貼り合わせの近くで局所的に虚軸方向のみの関数をうまく扱うquasi-modular的なものも、
そのままではよくわからない。

境界がどんどん小さくなっていって一点につぶれた場合は、real-S1 blow-upとでも思って、log構造をいれたリーマン面を考えればよいだろうけど、それだけでは足りないだろう。

とりあえず三角形分割して、それに付随する代数構造があるようだ。
2次元Ising模型を格子の極限をとるときにfermionを結ぶgraphを考えると自由エネルギーが計算されるが、
Okounkovのアメーバの方法に類似して、境界付リーマン面上のfermionの場合にcluster algbraが使えないだろうか？
Cluster algebras and triangulated surfaces. Part I: Cluster complexes
http://arxiv.org/abs/math/0608367

具体的なτ関数

Sigma Function as A Tau Function
http://arxiv.org/abs/0904.0846
に(n,s)曲線の場合の具体的なτ関数の計算が載っていた。

一方
Invariants of algebraic curves and topological expansion
http://arxiv.org/abs/math-ph/0702045
には、
「We thus have a notion of a τ function associated to an algebraic curve. Suchnotion has already been encountered in the litterature [9], and it is not clear whetherour definition coincides with other existing definitions. What can be understood sofar, is that we are defining a sort of quantum deformation of a classical τ -functionwhose spectral curve is E.」
とあるので、比較してみたいところだ。

explicit reciprocity law

もともと、ヤコビアンの類似を局所体上に構築しようというのが岩澤理論だったから、
formal curveのAJ-mapの類似は、higher local field上のKummer-mapとexp-mapになる。

ということは、reciprocity lawということになる。

Reciprocity laws à la Iwasawa-Wiles
http://arxiv.org/abs/0810.0229
にLubin-Tateの場合と、Drinfeld-moduleの場合での具体的な計算が載っていた。

k((z))*を拡張しようとするとき、これをK1とみるかGL(1)とみるかで方向性が変わってくるが、
ことreciprocity lawに関する限り、まずはHigher-K群とみるのが妥当らしい。
では、Higher-K群について、Sato-Grassmannの場合のように、
commensurabilityを定義して、何かをパラメトライズしている空間と思えるか？
というのが疑問となる。
まずはK2(k((z)))に自然なfiltrationが入るか？ということからになるだろうか？

τ関数の双線形性はどこからきたかというと、residue formula、すなわちfudamental-classの存在と、
ペアリングからきている。
この路線では、
The higher Hilbert pairing via (phi,G)-modules
http://arxiv.org/abs/0705.4269
がある。

代数曲線の背後にmotifがあって、(quantum) field theoryと関係があるなら、
可積分系の話とp進での表現は結びついてしかるべきで、
とくに有理数体の絶対ガロア群が何らかの形で対称性の作用を及ぼすなら、
局所的には局所体のガロア群も作用するだろう、
と安直に考えてみる。