Hill作用素では、自然に無限種数のリーマン面が必要となり、
HILL'S SURFACES AND THEIR THETA FUNCTIONS
(http://www.ams.org/journals/bull/1978-84-06/S0002-9904-1978-14542-X/S0002-9904-1978-14542-X.pdf)
で、テータ関数が定義され、ヤコビ多様体とAJmapが定義されていた。
一方、
ポテンシャルの周期を1次元ではなく2次元として、実代数曲線の直積を得ようとすると、
E^{3}$ にはめこまれたトーラス上のDirac 作用素およびその複素Fermi 曲線
(http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/pdf/1527-6.pdf)
WILLMORE CONJECTURE AND INTEGRABLE SYSTEMS
(http://math01.sci.osaka-cu.ac.jp/~ohnita/paper/RIMS07(Kokyuroku).pdf)
という話が出てきて、
リーマン球面上のHiggs束のモジュライが関係してくる。
2010年4月26日月曜日
リーマン面について
Riemann面上のベクトル束に対し、その上の接続全体の空間を考え、シンプレクティック構造をいれる、
という話がある。
運動量写像は、曲率で与えられるので(シンプレクティック幾何学例3.11)、平坦接続のモジュライ、
すなわち基本群の表現のモジュライという有限次元の空間が現れる。
複素代数曲線として、モジュライのコホモロジーの計算について書かれているのが、
Yang-Mills theory and Tamagawa numbers
(http://arxiv.org/abs/0801.4733)
で、代数群の玉河数がどう関連しているのか興味があるところ。
一方、素朴な疑問として、
基本群の表現というのは、非常に基礎体に依存している。
これが、p進であれば、topologicalな基本群とetale基本群の間にあるtempered基本群について、
モジュライを見るべきなのだろうが、
そうすると、接続、すなわちCrystalについて、モジュライを見る必要がある。
そもそも、シンプレクティック簡約の技法がp進で存在するとも思えないので、
平坦接続のモジュライ、とは何を指すのだろうか？
p進でYang-Millsのような構成は存在するのだろうか？
また、
複素数体Cにおいては、Rがガロア不変な部分体として入るが、
これはP1(C)⊃P1(R)とも思える。
一変数佐藤超関数は、
A-module: 関数の層
B-module: 相対コホモロジーとして定義される超関数の層
C-module: マイクロ関数の層
として、正則関数の言葉で定義された。(佐藤超関数論入門(森本))
p進体上で、同様の話をするのに必要な関数解析は、
Nonarchimedean Functional Analysis
(http://www.math.mcgill.ca/bcais/Berkovich/Schneider-Nonarchimedean_functional_analysis.pdf)
で準備されている。
http://swc.math.arizona.edu/aws/07/DasguptaTeitelbaumNotesMar10.pdf
に、
A-module, B-moduleに相当する
Morita dality
が記述されている。
これは、de-ShalitのreviewでColeman積分とみることができ、Berkovich空間上の積分とみなせるから、
では、C-moduleはどうなるの？
という疑問がわく。
という話がある。
運動量写像は、曲率で与えられるので(シンプレクティック幾何学例3.11)、平坦接続のモジュライ、
すなわち基本群の表現のモジュライという有限次元の空間が現れる。
複素代数曲線として、モジュライのコホモロジーの計算について書かれているのが、
Yang-Mills theory and Tamagawa numbers
(http://arxiv.org/abs/0801.4733)
で、代数群の玉河数がどう関連しているのか興味があるところ。
一方、素朴な疑問として、
基本群の表現というのは、非常に基礎体に依存している。
これが、p進であれば、topologicalな基本群とetale基本群の間にあるtempered基本群について、
モジュライを見るべきなのだろうが、
そうすると、接続、すなわちCrystalについて、モジュライを見る必要がある。
そもそも、シンプレクティック簡約の技法がp進で存在するとも思えないので、
平坦接続のモジュライ、とは何を指すのだろうか？
p進でYang-Millsのような構成は存在するのだろうか？
また、
複素数体Cにおいては、Rがガロア不変な部分体として入るが、
これはP1(C)⊃P1(R)とも思える。
一変数佐藤超関数は、
A-module: 関数の層
B-module: 相対コホモロジーとして定義される超関数の層
C-module: マイクロ関数の層
として、正則関数の言葉で定義された。(佐藤超関数論入門(森本))
p進体上で、同様の話をするのに必要な関数解析は、
Nonarchimedean Functional Analysis
(http://www.math.mcgill.ca/bcais/Berkovich/Schneider-Nonarchimedean_functional_analysis.pdf)
で準備されている。
http://swc.math.arizona.edu/aws/07/DasguptaTeitelbaumNotesMar10.pdf
に、
A-module, B-moduleに相当する
Morita dality
が記述されている。
これは、de-ShalitのreviewでColeman積分とみることができ、Berkovich空間上の積分とみなせるから、
では、C-moduleはどうなるの？
という疑問がわく。
2010年4月8日木曜日
Ahlfors-Weillの定理
* Ahlfors-Weillの定理(タイヒミュラー空間論 第6章定理6.9)
では、
与えられた正則2次微分φに対して、
シュワルツ微分{f,z}=φ(z)を満たすfを構成するのに、
-φ/2をポテンシャルとするSturm-Liouville作用素
L=-∂^2+u , u=-φ/2
を用いている。
Lη=0
の独立な解η1,η2より、f=η2/η1
とおけば、{f,z}=φを満たす。
"Geometry of 2d topological field theories"
(http://arxiv.org/abs/hep-th/9407018)
AppendixC remarkC.1にあるように、
1次元複素多様体上で、
正則アファイン接続から曲率をとることにより射影接続への写像が存在し、
(いわゆるMiura変換)
コンパクト双曲型リーマン面の一意化問題の場合は、
flatな座標<->一意化の座標であって、それをzとすると、
u(z)が、射影接続f(z)に対応する曲率となり、
これが正則2次微分に対応する。
また、射影接続f(z)の
PGL(2)におけるモノドロミー表現が元のリーマン面の基本群に対応する。
* sl(2)-oper
"opers"
(http://arxiv.org/abs/math/0501398)
では、
sl(2)-operを用いて上記の話を解釈している。
2.6,2.7。
* higher Teichmuller theory
"Moduli spaces of local systems and higher Teichmuller theory"
(http://arxiv.org/abs/math/0311149)
においては、
G=PGL(2)をより一般化して、centerがtrivialな半単純代数群Gに対して、
基本群のGへの(positive)表現のmoduliによりhigher Teichmuller space
を定義している。
* 固有束(indigenous bundle)
"通常p 進曲線の理論について"
(http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Tsuujou%20p-shin%20kyokusen%20no%20riron%20(1997nen%20izen).pdf)
をみると、
p進体上の代数曲線の"一意化"を射影接続に付随するP1バンドル、
固有束の話に置き換えて議論している。
固有束は代数的に定義できてしまうため、複素数体上であった擬等角写像の話がでてこない。
* p進周期
"Period mappings and differential equations. From $\bf C$ to $\bf C_p$"
(http://arxiv.org/abs/math/0203194)
では、p進一意化を持つMumford curveの場合に
ⅢProp4.3.3(複素数体上),Prop4.6.3(p進体上)
で一意化に対応する微分方程式を与えている。
いずれにせよ、複素数体上と異なる点は、
周期を扱うためには、周期環を持ち出さないと足りない、
ということ。Ⅰ4.2-4.5。
では、
与えられた正則2次微分φに対して、
シュワルツ微分{f,z}=φ(z)を満たすfを構成するのに、
-φ/2をポテンシャルとするSturm-Liouville作用素
L=-∂^2+u , u=-φ/2
を用いている。
Lη=0
の独立な解η1,η2より、f=η2/η1
とおけば、{f,z}=φを満たす。
"Geometry of 2d topological field theories"
(http://arxiv.org/abs/hep-th/9407018)
AppendixC remarkC.1にあるように、
1次元複素多様体上で、
正則アファイン接続から曲率をとることにより射影接続への写像が存在し、
(いわゆるMiura変換)
コンパクト双曲型リーマン面の一意化問題の場合は、
flatな座標<->一意化の座標であって、それをzとすると、
u(z)が、射影接続f(z)に対応する曲率となり、
これが正則2次微分に対応する。
また、射影接続f(z)の
PGL(2)におけるモノドロミー表現が元のリーマン面の基本群に対応する。
* sl(2)-oper
"opers"
(http://arxiv.org/abs/math/0501398)
では、
sl(2)-operを用いて上記の話を解釈している。
2.6,2.7。
* higher Teichmuller theory
"Moduli spaces of local systems and higher Teichmuller theory"
(http://arxiv.org/abs/math/0311149)
においては、
G=PGL(2)をより一般化して、centerがtrivialな半単純代数群Gに対して、
基本群のGへの(positive)表現のmoduliによりhigher Teichmuller space
を定義している。
* 固有束(indigenous bundle)
"通常p 進曲線の理論について"
(http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Tsuujou%20p-shin%20kyokusen%20no%20riron%20(1997nen%20izen).pdf)
をみると、
p進体上の代数曲線の"一意化"を射影接続に付随するP1バンドル、
固有束の話に置き換えて議論している。
固有束は代数的に定義できてしまうため、複素数体上であった擬等角写像の話がでてこない。
* p進周期
"Period mappings and differential equations. From $\bf C$ to $\bf C_p$"
(http://arxiv.org/abs/math/0203194)
では、p進一意化を持つMumford curveの場合に
ⅢProp4.3.3(複素数体上),Prop4.6.3(p進体上)
で一意化に対応する微分方程式を与えている。
いずれにせよ、複素数体上と異なる点は、
周期を扱うためには、周期環を持ち出さないと足りない、
ということ。Ⅰ4.2-4.5。
2010年3月23日火曜日
プリム形式とGrunsky作用素
Nag-sullivanのK(x,y)のTTにおけるGrunsky operatorによる解釈を見ると、
次の疑問がわく。
KNTYにおいて、リーマン面上の自由フェルミオン場を作るために必要な道具は、
- 正則1形式
- 第2種微分の母関数であるプリム形式
- 局所座標
- Abel-Jacobi map
- スピン構造
であり、
H^1/2において、
正則1形式は、対応する調和微分、
プリム形式はK(x,y)、
局所座標は単位円盤の座標
を対応させることができる。
では、
1. 普遍タイヒミュラー空間上に自由フェルミオン場を構成することができるだろうか？
その際、タウ関数、すなわちテータ関数は(Banach多様体上の正則関数として)意味のあるものとなるだろうか？
2. 1がokであったとすると、
A Brownian Motion on the Group of Diffeomorphisms of the Circle
(http://arxiv.org/abs/0909.3881)
にあるブラウン運動のグリーン関数とテータ関数はラプラス変換などで対応するようにできるだろうか？
3. 具体的に相関関数を計算することができるか？
次の疑問がわく。
KNTYにおいて、リーマン面上の自由フェルミオン場を作るために必要な道具は、
- 正則1形式
- 第2種微分の母関数であるプリム形式
- 局所座標
- Abel-Jacobi map
- スピン構造
であり、
H^1/2において、
正則1形式は、対応する調和微分、
プリム形式はK(x,y)、
局所座標は単位円盤の座標
を対応させることができる。
では、
1. 普遍タイヒミュラー空間上に自由フェルミオン場を構成することができるだろうか？
その際、タウ関数、すなわちテータ関数は(Banach多様体上の正則関数として)意味のあるものとなるだろうか？
2. 1がokであったとすると、
A Brownian Motion on the Group of Diffeomorphisms of the Circle
(http://arxiv.org/abs/0909.3881)
にあるブラウン運動のグリーン関数とテータ関数はラプラス変換などで対応するようにできるだろうか？
3. 具体的に相関関数を計算することができるか？
2010年3月8日月曜日
ちょっとした疑問
単連結領域Xに離散群Γが不連続に作用しているとして、
F=X/Γの基本領域内に、点pを固定し、
各点q∈Fに対してpとqを結ぶF内の可縮なpath γ(q)を用意する。
(X/Γ,p)に対してブラウン運動B_tが定義できるとすると、
ω(t)をγ(w(t))で結んでできるclosed pathのホモトピー類をとることにより、
X/Γの基本群(i.e.Γ)の上にμ_t:確率測度の族
が定義される。(基本領域の境界についてはとりあえず無視)
* 単純にΓの基本生成元の集合に確率測度をいれて乱歩をおこなうと、
時間が小さいとき原点から離れていることはないが、
ブラウン運動から来る場合は、微小時間でも遠くにいる場合がある。
この違いは、中心極限定理の形で理解できるのだろうか？
* ドリフト項を持つ伊藤拡散過程で同様のことを行うと、
離散群上にドリフト項を持つ拡散過程が定義できることになるのか？
* そのさい、ギルサノフの定理のような変換は離散群上でもおこなえるのか？
上記の対応を、
たとえばBerkovich空間の数論的基本群の上で展開できたとすると、
空間の基本群上の測度で割ることによりガロア群上の拡散過程が定義できないか？
というのが疑問。
そもそも数論的基本群にどう拡散過程を定義するか？が問題なので、そのままでは数学になっていない。
F=X/Γの基本領域内に、点pを固定し、
各点q∈Fに対してpとqを結ぶF内の可縮なpath γ(q)を用意する。
(X/Γ,p)に対してブラウン運動B_tが定義できるとすると、
ω(t)をγ(w(t))で結んでできるclosed pathのホモトピー類をとることにより、
X/Γの基本群(i.e.Γ)の上にμ_t:確率測度の族
が定義される。(基本領域の境界についてはとりあえず無視)
* 単純にΓの基本生成元の集合に確率測度をいれて乱歩をおこなうと、
時間が小さいとき原点から離れていることはないが、
ブラウン運動から来る場合は、微小時間でも遠くにいる場合がある。
この違いは、中心極限定理の形で理解できるのだろうか？
* ドリフト項を持つ伊藤拡散過程で同様のことを行うと、
離散群上にドリフト項を持つ拡散過程が定義できることになるのか？
* そのさい、ギルサノフの定理のような変換は離散群上でもおこなえるのか？
上記の対応を、
たとえばBerkovich空間の数論的基本群の上で展開できたとすると、
空間の基本群上の測度で割ることによりガロア群上の拡散過程が定義できないか？
というのが疑問。
そもそも数論的基本群にどう拡散過程を定義するか？が問題なので、そのままでは数学になっていない。
変形ベッセル関数
"Brownian Motion and Stochastic Calculus 2nd edition"(Karatzas & Shreve)
の4.4 The formulas of Feynman and Kac
に、Δu=0の解から、(Δ-α)u=0の解(αは定数)をラプラス変換を使用して形式的に求めるやり方が載っていた。(αが定数でなく非負値関数の場合は、5.7.10にあるkillingの考え方が必要になる。)
実2次元Euclid平面の場合、Δu=0は、変数分離をして、極座標(r,θ)に直してみると、
D=r*d/drとして、各νごとに、D^2f(r) = ν^2 * f(r) を解くことになる。
すなわち、r^(ν),r^(－ν) (ν != 0) 1,log(r) (ν=0)
により解の基底が定まるので、この組み合わせを係数に持つθに関するFourier級数が解になる。
Δu=m^2*u(m>0は定数)について同様の事を行うと、
D^2f(r) = (ν^2 + (m*r)^2)* f(r)を解くことになり、
これは、
D{r^(ν)*exp(m*r)}=(ν+m*r)*r^(ν)*exp(m*r)
D{r^(ν)*exp(-m*r)}=(ν-m*r)*r^(ν)*exp(-m*r)
D{r^(-ν)*exp(m*r)}=(-ν+m*r)*r^(-ν)*exp(m*r)
D{r^(-ν)*exp(-m*r)}=(-ν-m*r)*r^(-ν)*exp(-m*r)
を組み合わせることになる。
でてくるのは、変形ベッセル関数になるのだけれど、
mによる変形が、r^(ν)をr^(ν)*exp(m*r)に移すことに対応する。
ホロノミック量子場(4章)に、Dirac方程式としてνがZ+1/2の場合に解を求めているが、
そのからくりが少し理解できた気がする。
さて、
ホロノミック量子場で、mがでてくるのは、
m=0がCritical、すなわちイジング模型の格子が退化して有理曲線になっている場合、
m>0がイジング模型の格子が楕円曲線になっている場合
であって、
閉リーマン面の変形を
a)擬等角写像によるsmoothな変形
b)退化
に分けると、b)に対応している。
の4.4 The formulas of Feynman and Kac
に、Δu=0の解から、(Δ-α)u=0の解(αは定数)をラプラス変換を使用して形式的に求めるやり方が載っていた。(αが定数でなく非負値関数の場合は、5.7.10にあるkillingの考え方が必要になる。)
実2次元Euclid平面の場合、Δu=0は、変数分離をして、極座標(r,θ)に直してみると、
D=r*d/drとして、各νごとに、D^2f(r) = ν^2 * f(r) を解くことになる。
すなわち、r^(ν),r^(－ν) (ν != 0) 1,log(r) (ν=0)
により解の基底が定まるので、この組み合わせを係数に持つθに関するFourier級数が解になる。
Δu=m^2*u(m>0は定数)について同様の事を行うと、
D^2f(r) = (ν^2 + (m*r)^2)* f(r)を解くことになり、
これは、
D{r^(ν)*exp(m*r)}=(ν+m*r)*r^(ν)*exp(m*r)
D{r^(ν)*exp(-m*r)}=(ν-m*r)*r^(ν)*exp(-m*r)
D{r^(-ν)*exp(m*r)}=(-ν+m*r)*r^(-ν)*exp(m*r)
D{r^(-ν)*exp(-m*r)}=(-ν-m*r)*r^(-ν)*exp(-m*r)
を組み合わせることになる。
でてくるのは、変形ベッセル関数になるのだけれど、
mによる変形が、r^(ν)をr^(ν)*exp(m*r)に移すことに対応する。
ホロノミック量子場(4章)に、Dirac方程式としてνがZ+1/2の場合に解を求めているが、
そのからくりが少し理解できた気がする。
さて、
ホロノミック量子場で、mがでてくるのは、
m=0がCritical、すなわちイジング模型の格子が退化して有理曲線になっている場合、
m>0がイジング模型の格子が楕円曲線になっている場合
であって、
閉リーマン面の変形を
a)擬等角写像によるsmoothな変形
b)退化
に分けると、b)に対応している。
2010年3月1日月曜日
universal Teichmuller空間のperiod mapping
Teichmüller Theory and the Universal Period Mapping via Quantum Calculus and the $H^{1/2}$ Space on the Circle
(http://arxiv.org/abs/alg-geom/9310005)
では、
円周上の関数で平均0、1/2階微分が2乗可積分なもののなすヒルベルト空間として、H=H^(1/2)をとりあげ、
-内積と適合する複素構造としてヒルベルト変換J、シンプレクティックフォームSが定まる
-Diff(S^1)の作用を、QS(S^1)の作用に拡張できる
(ポアソン積分によりP:H->D(単位円盤上の調和関数で原点で0、Dirichletエネルギー有限な関数のなす空間)なるisometryが定まるが、この同一視とDicichletの原理による調和関数のDirichletエネルギーを用いた特徴づけにより、Dirichletエネルギーの評価と擬等角写像の定義を結びつける)
-QS(S^1)の作用はシンプレクティックフォームを保つ
ということを示し、これらを用いて、
Hをuniversal Riemann surfaceの1次元コホモロジー群とみなして、そのホッジ分解を明示していた。
また、universal Teichmuller空間T(1)のperiod mappingを、Sp(H)/Uを行き先として定義し、
それが単射であることを示していた。
この話について、次のような点に興味を持った。
-境界を持つRiemann面も含んでいること
-genusを固定していないこと
-関数環としての代数構造が強く効いていて、メビウス変換に対する不変性からシンプレクティック形式を保つことが出ること
-ダグラス積分が、核関数として微分ではなく差分を要請していること
genusを固定していない、と言う点は、
一つにはリーマン面の退化の間に成り立つ漸化式が綺麗にかけること
(ex. Polynomial recursion formula for linear Hodge integrals)
を思わせるし、
genusをp進補間して増大させていく極限というものを考えることができるのでは？
とも思わせる。
p進の場合にどう考えるべきかの辞書として、
Conformal and quasiconformal categorical representation of hyperbolic Riemann surfaces
(http://projecteuclid.org/DPubS?service=UI&version=1.0&verb=Display&handle=euclid.hmj/1171377082)
をみてみる。
(http://arxiv.org/abs/alg-geom/9310005)
では、
円周上の関数で平均0、1/2階微分が2乗可積分なもののなすヒルベルト空間として、H=H^(1/2)をとりあげ、
-内積と適合する複素構造としてヒルベルト変換J、シンプレクティックフォームSが定まる
-Diff(S^1)の作用を、QS(S^1)の作用に拡張できる
(ポアソン積分によりP:H->D(単位円盤上の調和関数で原点で0、Dirichletエネルギー有限な関数のなす空間)なるisometryが定まるが、この同一視とDicichletの原理による調和関数のDirichletエネルギーを用いた特徴づけにより、Dirichletエネルギーの評価と擬等角写像の定義を結びつける)
-QS(S^1)の作用はシンプレクティックフォームを保つ
ということを示し、これらを用いて、
Hをuniversal Riemann surfaceの1次元コホモロジー群とみなして、そのホッジ分解を明示していた。
また、universal Teichmuller空間T(1)のperiod mappingを、Sp(H)/Uを行き先として定義し、
それが単射であることを示していた。
この話について、次のような点に興味を持った。
-境界を持つRiemann面も含んでいること
-genusを固定していないこと
-関数環としての代数構造が強く効いていて、メビウス変換に対する不変性からシンプレクティック形式を保つことが出ること
-ダグラス積分が、核関数として微分ではなく差分を要請していること
genusを固定していない、と言う点は、
一つにはリーマン面の退化の間に成り立つ漸化式が綺麗にかけること
(ex. Polynomial recursion formula for linear Hodge integrals)
を思わせるし、
genusをp進補間して増大させていく極限というものを考えることができるのでは？
とも思わせる。
p進の場合にどう考えるべきかの辞書として、
Conformal and quasiconformal categorical representation of hyperbolic Riemann surfaces
(http://projecteuclid.org/DPubS?service=UI&version=1.0&verb=Display&handle=euclid.hmj/1171377082)
をみてみる。
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