Springer resolution

　Springer resolution

• [C] Perverse sheaves and the topology of algebraic varieties
• [G] Geometric Methods in Representation Theory of Hecke Algebras and Quantum Groups
• [KW] Weil Conjectures, Perverse Sheaves and l’adic Fourier Transform
• [Y] Lectures on Springer theories and orbital integrals

pervers sheaves

[G]4. Perverse sheaves and the Decomposition Theorem
では、

• perverse sheavesの圏がアーベル圏で、simple objectがintersection complexesで記述でき、空間のstratificationsからなるposetの構造が圏の構造に反映すること(Th4.3,Th4.4)
• Perverse continuation propertyにより(Zariski)open subvarietiesの射がfunctorialにisoになること(Prop4.5)
• Decompositon theorem(Th4.6)

が述べられている。
これは、複素数体上に限らず、標数pの体上でも成立する。([KW]ChⅢ)

Weyl群の表現

[G]6. Representations of Weyl groups
では、体k(複素数体だが、very goodな標数pの体でも成立)上の連結半単純代数群$G$のWeyl群$W=N_{G}(T)$の表現を幾何的に構成している。

[G]9 Proof of the geometric construction of $W$

• $\cal{B}\simeq$${G/B}$
• $W$は${G/T}$に作用し、${G/T}$と${G/B}$のhomology群は同型
• $\frak{g}\simeq\frak{g}^{*}$の下で$\frak{b}^{\perp}\simeq\frak{n}$
• $\tilde{\frak{g}}\simeq G\times^{B} \frak{b}$
• $\tilde{\cal{N}}=G\times^{B} \frak{n}\simeq \mathrm{T}^{*}\cal{B}\rightarrow\cal{B}$
• Springer resolution $\mu: \tilde{\cal{N}}\rightarrow\cal{N}$はsemi-small([G]Prop9.1)
• $\cal{N}$の$G$軌道は有限個($\frak{h}$の$G$軌道は$\frak{h}/\mathrm{W}$でパラメータ付けされる)
  $\require{AMScd} \begin{CD} \tilde{\cal{N}}@>>>\frak{g}\times\cal{B}\\ @V \mu VV@VV V\\ \cal{N}@>>>\frak{g}\\ @VVV@VVV\\ 0@>>>\frak{h}/\mathrm{W} \end{CD}$
• universal resolution $\tilde{\mu}:\tilde{\frak{g}}\rightarrow\frak{g}$はsmallで、generic etaleでGalois群は$W$([G]Prop9.3)
  $\begin{CD} \tilde{\frak{g}}@>>>\frak{h}\\ @VV \tilde{\mu} V@VV V\\ \frak{g}@>>>\frak{h}/\mathrm{W} \end{CD}$
  $\begin{CD} \tilde{\frak{g}}^{rs} @>>>\frak{h}^{rs}\\ @VV \tilde{\mu} V@VV V\\ \frak{g}^{rs}@>>>\frak{h}^{rs}/\mathrm{W} \end{CD}$

ということから、$Ext(\mu_{*}\cal{C}_\mathrm{M},\mu_{*}\cal{C}_\mathrm{M})$に$W$の正則表現が現れる。
Fourier変換を通して、Springer resolution上にW-actionが誘導される。

ここで、Fourier変換は、Deligne-Fourier変換([KW]ChⅢCor13.4)、Fourier-Sato変換([G]Prop8.3(4))、Radon変換のいずれも、直交補空間を直交補空間に移す。

疑問

• [BK] Microlocal sheaves and quiver varieties
• [BMO] Quantum cohomology of the Springer resolution
• [MS] Higher discriminants and the topology of algebraic maps
• [N] Springer theory via the Hitchin fibration
• [S] Canonical q-deformations in arithmetic geometry

[BK]では、Springer resolutionにおけるsubregular nilpotent elementの逆像として現れるDynkin fiberのnodesについて、Fourier変換で移り合う性質により圏を定義していた。このFourier変換で移り合う、という性質が、$\tilde{\frak{g}}$と$\tilde{\cal{N}}$の対応から導出できないのか?

標数pにおけるsingular supportの定義から、Springer resolutionのsingular supportをG軌道を用いて記述すると、複素数体上のcell decompositionの結果と一致するか?(tamely ramifiedの場合なので一致しているはず)

discriminat locusを標数p特有の状況とするには、Artin-Schreier拡大による分岐の方法があるが、それ以外にはどういう方法があるのだろうか?
[MS]におけるdecompositionの議論を標数pで行うには、どの点が問題になるのだろうか?

affineHecke環のgeometricな構成には、余接バンドルのfiber方向へのスカラー倍が必要だった。
一方で、量子cohomologyにおけるqはエネルギーによるNovikov環の変数として、係数体に現れる。
[S]において、q-analogueが整数環上のHodge構造から現れるという予想がなされている。量子群やRingel代数が行える状況(odd-partがない状況)では、基礎体の標数がパラメータとして持ち上がっていて、結晶基底のパラメータとなっていた。
IUTTにおいては、Galois群を接バンドルとみなす、という考え方のようだから、Galois群の双対(?)的な余接バンドルのfiber方向への作用がqとして現れる、という理解ができれば望ましい。
p進Teichmuller理論ではqは、Serre-Tate canonical liftingにおける持ち上げの座標として現れていた。

Written with StackEdit.

深谷圏の基礎のお勉強

基礎

• [Auroux] A beginner’s introduction to Fukaya categories
• [Hutchings] Lecture notes on Morse homology
• [Seidel] [Fukaya categories and Picard-Lefschetz theory]
• [Smith] Review Fukaya categories and Picard-Lefschetz theory

Floer cohomologyが定義されるための3要素([Auroux]1)

• transversality
  そのためにHamiltonian perturbationを行う(場合もある)
• compactness
• orientability

gradingが定義されるために([Auroux]1)

• Maslov index

積([Auroux]2)

• Floer product
• higher product
• Fukaya category

([Auroux]3)

• exact triangle
• twisted complex
• Dehn twists([Auroux]3.3.1)

microlocal geometry

• [BK] Microlocal sheaves and quiver varieties
• [NZ] Constructible Sheaves and the Fukaya Category
• [N1] Microlocal branes are constructible sheaves
• [N2] Arboreal Singularities

[KS90](Sheaves on manifolds)のmicrolocal HomではSerre dualityが成り立つ。
[BK]では、curveのnodeをnormalizeして2点に分離した時の層に対して、
Fourier-Sato変換を用いて対応が付く場合を見ている。
nearby-cycle, vanishing-cycleの言葉で書き直すと、nodal curve上のmicrolocal sheavesの圏の組み合わせ的な構成が記述でき、2-Calabi-Yau propertyがmicrolocal Homの性質から導かれる。([BK]Th1.9)

wrapped Fukaya category

• Homological mirror symmetry for punctured spheres
• Wrapped microlocal sheaves on pairs of pants

Written with StackEdit.

vanishing topos

microlocal sheaf

• [KS90] Sheaves on Manifolds
• [Schapira] A short review on microlocal sheaf theory

実解析的な状況では、開基として円盤や、円盤とconeの交わりを取ることが出来る。
そのため、層に対して、
singular supportを直接、点の集合として定義することが出来る。
層に対して、singular supportが定義されると、
写像が層に対してnon-characteristicであるかどうか、という点が議論の対象になる。
[KS90]では、
先にsingular supportを定義し、cut-offによる評価、
順像、逆像に対する変化の評価、を行い、
subanalytic stratificationにおけるconstructible sheaf、
複素解析的な場合のconstructible sheafの定義をしている。
そして、[KS90]のchⅧ Prop8.6.4.では、複素解析的な場合には、
singular supportをvanishing cycle functorを用いて記述できることが示されている。

singular support

• [Beilinson] Constructible sheaves are holonomic
• [Deligne] SGA 4 1/2
• [Saitoh1] THE CHARACTERISTIC CYCLE AND THE SINGULAR SUPPORT OF AN ETALE SHEAF

scheme上のetale層に対するsingular supportを定義しようとすると、
実解析的な状況と異なり、開基が少なすぎて各点での条件で定義することは難しい(ように思われる)。
そこで、写像に対する層のlocal acyclicityの条件を満たすconic setの中で、
極小のもの、という形で定義をすることとなる。
存在自体は証明が必要になる。
([Saitoh1] Th2,6, ThA, ThB)
[Beilinson]における存在証明の流れは、以下の通り。

• test pairの概念
• C-transversalityの概念([KS90]におけるnon-charactericity)
• local acyclicityの概念、$\cal{F}$-acyclicityの概念
• micro supportedの概念
• 円盤に対するvanishing cycleの特徴付けに対応するweakly microsupportedの概念、coneの交わりとの整合性
• weak singular supportの存在
• smooth map、open embeddingに対するsingular supportの振る舞い
• 射影空間の部分多様体の場合に帰着
• 射影空間におけるRadon変換の概念
• 層のRadon変換とmicro-supported coneの双対との対応([Beilinson]lem3.3)
• 層のRadon変換(Legendre変換)がlocally constantになる最大のopen partの補集合をとると、それはdivisorとなり、irreducible compornentの次元が上から評価できる([Beilinson]Th3.2、Th1.2、Th1.6)
• constructible sheafの議論を、irreducible perverse sheafの場合に絞る
• weak singular supportとsingular supportは一致([Beilinson]4.7)
• singular supportの次元は空間の次元と等しい([Beilinson]4.0 )

疑問としては、[Beilinson]の定義によるsingular supportを、
複素多様体の(よいstratificationに対する)constructible etale層に適用した場合にconical setとして、[KS90]の定義と同一のsetとなるか?
というものがある。(すくなくとも、[Beilinson]中では示されていない。)これはvanishing cycle functorを用いてcheckするべきことのように思われる。
([KS90]の定義における関数が、vanishing cycleの特徴付けに置き換わっているので、local acyclicityとvanishing cycleがないことの対応から、ほぼ示されているようには思う)

vanishing topos

• [Illusie] Around the Thom-Sebastiani theorem

symplectic幾何におけるvanishing cycleは底空間が実2次元で、
sectionがpseudo-holomorphic curveとなる点が重要だった。
一般次元の底空間において、vanishing cycleの議論をしようとすると、
toposを拡張する必要が出てくる。

characteristic cycle

• [Saitoh2] The characteristic cycle and the singular support of a constructible sheaf
• [Saitoh3] Notes on the characteristic cycle of a constructible sheaf

characterisitic cyleのcategorificationがFukaya category、という考え方からすれば、
任意の体上でmicrolocalizationにより、Fukaya categoryが定義されて然るべき、と思われる。

Written with StackEdit.

twistorとFF curve

Hamiltonian’s ghost

• [Hitchin] Hyperkähler manifolds

複素数体上でのFrobenius作用素が複素共役、
という観点で、HyperKähler性のarithmetic versionがないか、
というのは、素朴な疑問。
Hermite形式が$\varphi$-moduleと対応する。
Hamiltonの4元体は、実数体上の非自明な中心多元環で、
$\mathbb{R}^{4}$と実数上のベクトル空間で同型、
そのため、4次元実空間上のanti-self dual Yang-Mills equationの解の特殊化
として、HyperKähler空間の例が出てくる。
[Hitchin]では、”Hamilton’s ghost may yet rest content.”
と記述されている。

p進体上では、各次元ごとに各々存在する。
従って、それらの中心多元環を集めてひねることが必要になる。
Hamilton’s ghostは果たして数論に対して心安らかなのだろうか?

twistor

• [Mochizuki] 従順調和バンドルの漸近挙動と純ツイスターD-加 群について
• [Sabbah] INTRODUCTION TO TWISTOR D-MODULES
• [Simpson1] Nonabelian Hodge Theory
• [Simpson2] Mixed twistor structures

複素共役によって射影直線を分割する、という手法は、
一つはQuasi conformal mapを用いて上半平面を2つ貼り合わせる、
という場合に、
もう一つはHodge構造の拡張としての底空間という場合に、
現れる。
後者は、non abelian Hodge theoryの拡張として、
一般論が建設されている。

p-adic twistor

• [Fargues1] p-adic twistor
• [Fargues2] FROM LOCAL CLASS FIELD TO THE CURVE AND VICE VERSA

射影直線に相当する幾何学的対象として、
Fontaine-Fargues曲線がある、
というのが、[Fargues2]5. Archimedean/p-adic twistorsにおける指摘。

疑問としては、

• 標数pの局所体上、Hodge-Pink構造に対するFF曲線について、同様にtwistor構造を定めることが出来るか?とくにtiltingと両立するか?
• [Fargues2]4.3. Vice Versaの部分は、標数pの局所体で成り立つか?
  さらに、
• Hodge theaterにおける、楕円曲線とその±1で割ったorbifoldの役割をtwistorの底空間として理解できないか?(無論、FF-curveと射影直線で違いがあるので、素朴には成り立たない。)

Written with StackEdit.

geometric satake

モノドロミー保存変形

可解格子模型は、極限が、共形場理論となり、
相関関数はKZ方程式を満たす関数となる。
$\mathbb{P^{1}}$の4点に分岐を持つ微分方程式のモノドロミー保存変形として、パンルヴェ方程式が現れる。
合流に応じて、対応するQuiverの対称性から、パラメータに依存して超越解と代数解かが定まる。
この背後にあるのは、元のリーマン面の基本群の表現のmoduliにシンプレクティック構造が入り、いわば位相的な構造を持っているが、
それがQuiverという組み合わせ的構造により抽出される、ということ。
不確定特異点まで込めて、基本群の表現のmoduliを構成して、その組み合わせ的構造からくる対称性を記述する、ということが、Frobenius多様体と合わせての問題意識となっている(ようだ)。

• [Boalch1]HiggsbundlesConnectionsandQuivers
• [Boalch2] Symplectic Geometry and Isomonodromic Deformations
• [HY] Moduli spaces of meromorphic connections and quiver varieties
• [Hiroe] Moduli spaces of meromorphic connections, quiver varieties, and integrable deformations
• [Intro] Introduction to Nonabelian Hodge Theory: flat connections, Higgs bundles and complex variations of Hodge structure

geometric satake

標語的には、モノドロミー保存変形の量子化が共形場理論、
ということになるが、実際に量子化を行うのに、
複素数体上では、Beilinson-DrinfeldによるD-加群を用いた量子化、
があった。
標数pにおいては、p-curvatureを用いることで、
量子化が、記述できる(ようだ)。

• An introduction to affine Grassmannians and the geometric Satake equivalence
• Quantization of Hitchin integrable system via positive characteristic

標数pにおいて、モノドロミー保存変形に対応する、Galois表現保存変形、というのは存在するのだろうか?
ここで、可解格子模型に対応するGalois表現というものが出てきて、
極限がperfectoidを用いて表せたりすると、複素数体上との対応がわかりやすくなる。

Written with StackEdit.

Carlitz exponential

Artin-Hasse Exponential

ON THE ARTIN-HASSE EXPONENTIAL SERIES
lectures on p-divisible groups

Carlitz Exponential

• CARLITZ EXTENSIONS
  　8. The Carlitz Exponentialに、標数pにおける指数関数について、記載がある。
  　複素数体上では、双曲線関数あるいは三角関数は、その周期性から無限積展開を持つ。
  　同様のことを標数pの体上で構成しようとすると、$2\pi i$$2 \pi i$ に相当する周期となる(超越)数、が必要になる。
  　これは、(8.3)で定義される。
  　指数写像については、Def8.1でTaylor展開の形で定義され、
  　Th8.3で無限積展開を持つことが示されている。
  　また、指数関数の逆関数としての対数関数も定義される。
  　
  　指数関数および対数関数の係数の付値は、divided powerの定義可能性において重要な意味を持っていた。
  　Carlitz exponentialにおいても、その係数の評価を行うことが、
  　Th8.10にある。

divided power

• [crys]enter link description here
• [dga]DIVIDED POWER ALGEBRA

divided power structureは、special fiberと整構造を結びつけるために、
無限小近傍で積分を行うことを可能にするための構造である。

• divided power ring([dga] Def3.1)
• divided power polynomial algebra([dga]5)
• universal divided power algebra([dga]lem5.3)

実際にdivided power ring$(A,I,\gamma)$が与えられた時に、 環の射$A\rightarrow B$、BのイデアルJ、$IB\subset J$と整合するdivided power algebraでuniversalなものをdivided power envelope$D_{B,\gamma}(J)$と呼ぶ。([crys]Def2.2)

torsions

• [Bhatt] TORSION IN THE CRYSTALLINE COHOMOLOGY OF SINGULAR VARIETIES 
• [BO83] F-isocrystals and de Rham cohomology. I

divided power envelopeにおいては、torsionが現れることがある。
これは、[BO83]Appendix A or [crys]Ex22.1のように、かなり自然な設定で現れる。
($\tau ={\gamma }_p(X^2){\gamma }_p(Y^2)-{\gamma }_p(XY{)}^2$$\tau = \gamma_{p}(X^2)\gamma_{p}(Y^2) - \gamma_{p}(XY)^2$の形は、形式的には分散行列に似ている。特異部分多様体のtorsionに対して、モーメント的な解釈が付けられると面白そうだが。。。)

標数pにおけるdivided power

• Théorie de Fontaine en égales caractéristiques

標数pにおけるdivided powerとして、

• Grothendieck - Bertelot divided power
• Honda-Hopkins divided power

の2種類が導入されている。

5.4 Comparaison avec la construction de Messing
でexp,logを定義している。

Written with StackEdit.

local shtukas

疑問

• [SW] Moduli of p-divisible groups
• [S] Peter Scholze’s lectures on p-adic geometry, Fall 2014
• [W] Formal vector spaces over a local field of positive characteristic

標数pの局所体と標数0の局所体上で、 
tiltingにより話が平行して進むのはどこまでなのだろうか? 
shtuka with no paw, one pawについて、 
Hodge構造の情報はtiltingにより移行できるのだろうか?

[SW]では、p-divisible groupの性質について、 
divided powers、Artin-Hasse exponentialの性質を用いている。 
(ただし、finite locally free group schemeの議論は主ではなくなっているらしい。) 
perfectoidに関する部分で特徴的なことは、 
2次元のringをadicに見ることによって、 
Robba ringやperiod ringを自然に導入することが出来る、 
という点。

[W]において、等標数の場合もuniversal coverに対応するformal vector spaceが定義されている。

標数pの体上のfinite locally free group scheme

• [ARGOS12] Formal moduli spaces in equal characteristic
• [GH] Equivariant vector bundles on the Lubin-Tate moduli space
• [GL] Théorie de Fontaine en égales caractéristiques

[GH]10. A·divided powers、 
[GL]5.1において、等標数の場合のdivided powersが定義されている。

混標数においては、pが0もしくはnilpotentであることを救済するために、 
exponentialの各項xnn|がdivided powerに対応していたが、 
等標数においては、ζが0もしくはnilpotentであることを救済するために xqnζnがdivided powerに対応する。([ARGOS12]Def9)

等標数においては、有限体の位数がp冪の場合もあるため、Fqの作用について、 
Strict-Fq-moduleの概念が必要になる。これは、cotangent complexを用いて特徴づけられる。([ARGOS12]1.2)

標数pにおいては、additive groupはp倍すると0になる。 
従って、FV=VF=pの式において、V=0となる場合に注目する必要がある。 
これは、[ARGOS12]Th3にあるように、比較的容易に特徴づけが出来る。

naive cotangent complex

• 10.132. The naive cotangent complex
• [HS] Local Shtukas and Divisible Local Anderson Modules
• [Messing] The Crystals Associated to Barsotti-Tate Groups

[Messing]においては、

• 標数p上(p=0)での議論
• pがnilpotentな環上での議論

を行っている。 
[HS]においては、

• ζ=0のbase上での議論
• ζがnilpotentなbase上での議論

を行っている。 
0からnilpotentに持ち上げる際のliftingを見るために、 
cotangent complexの概念が必要になる。

local Shtukas

• [HK] Local Shtukas, Hodge-Pink Structures and Galois Representations
• [K] Galois deformation theory for norm fields and its arithmetic applications

[K]のPartIにおいて、Kisinの結果との関係が詳細に記述されている。

Written with StackEdit.