SatoGrassmannのなかの曲線たち

http://arxiv.org/abs/alg-geom/9711022
Equations of the moduli of pointed curves in the infinite Grassmannian

主題は、
K:M∞->Gr(k((z)))
curveからSatoGrassmannianへのKrichiever mapの像を、擬微分作用素による方程式で特徴付ける、
というもの。
記述がとてもわかりやすかった。

1. formal curveのJacobian
formal curve Cに対して、Jacobianはなんだろうか？
J=lim(Cのn次対称積)
をとればよいが、
C=Spf(k[[t]])
として、
J=Spf(k{{x1,x2,...}})
となり、これは論文の記号でΓ-と同型である。

2. Abel-Jacobi map(AJ) + expの逆写像
exp:A->J
は通常ならLie環からJacobian(Lie group)への写像であるが、formal schemeとして、
逆写像を考えれば、Vは可換群のLie環なので単なるformal Affine scheme
よって
expの逆写像をAJに合成すると、
ωj=(t^j)dtたちで張られるCの1-formの積分を取ることになるから
t->(t,t^2/2,t^3/3, ....)
という写像になる。

3. expの具体的な記述
exp:A->Γ-
は
{a[i]}->exp(Σa[i]*z^(-i))
で与えられるので、
AJはa[i]=t^i/iを代入して、
t->1/(1-t/z)
という式になる。
とても簡単な式だ。

4. Poincare bundle
SatoGrassmannGr(k((z)))上にはdeterminant bundleがいる。
そのdualをΓのGr(k((z)))に対するactionで引き戻して、
Poincare bundleとしている。

5. τ関数、BA関数など
Scheme theoreticに展開されているのでわかりやすい。