ブラウン運動について

ブラウン運動とはどのように理解すればよいのだろうか？

ブラウン運動を、まず、
点という幾何学的対象がある幾何学的空間に埋め込まれているときの1パラメータに伴う確率的振る舞い、
と理解し、BM(pt, X)とでも書いてみる。
ptは自己同型群は自明で、変形の自由度を持たない。
したがって、1パラメータによって記述できる自由度は、X内の移動のみ、
ということになる。
そうして、おおらかに、
BM: 幾何学的対象2つ組の圏->確率的対象の圏
という関手とみなしてしまおう。(2つの圏が定かでない以上数学ではなくて妄想だが)

そうすると、次に調べるべきは、
BM(pt/G, X): 群Gを自己同型群に持つ1点のブラウン運動
ということになるだろう。
この場合、1パラメータによって記述できる自由度は、X内の移動と自己同型Gとなる。
Gが有限群とすると、1/Gで重みをつけて、酔歩することになる、と予想される。（この意味も定かでない）

BM(S1, X)と幾何学的対象として円周をとるとどうなるだろうか？
この場合、S1は自己同型を位相的、微分多様体、ユークリッド幾何としての合同のみ、
といろいろな場合を考えることができ、それに応じて、1パラメータによって記述できる自由度も変わる。
Diff(S1)/S1をとってみると、無限小変形として、Virasoro代数(中心拡大前)が出てくる。
1パラメータで記述できる自由度はVirasoro代数とX内の移動、ということになる。
1パラメータでの軌跡を閉弦の運動と見ると、これは2次元のcyrindarになり、S1が分裂しない限りは穴あきにはならない。

さらに、楕円曲線Eをとって、
BM(E,X)とするとどうなるだろうか？
ここでE、Xを複素多様体と制限すると、これは、
BM(pt, (Moduli(Ellitic curve)に自己同型を考慮したstack)*X)
といいかえられるのだろうか？
つまり、
ある構造を持った幾何学的対象のブラウン運動は、そのモジュライ空間におけるptのブラウン運動と等価になるのだろうか？
という疑問がわく。
これはそのままでは当然ナンセンスで、
1. モジュライ空間をとる、すなわち何らかの意味で割り算をする、ということがブラウン運動と両立しなければならない
2. モジュライ空間の距離がもともとのブラウン運動の空間移動と両立しなければならない
という必要条件がでてくる。

以上はBMのinputについての話だった。
では、BMのoutputである確率的対象はどういったことになるのだろうか？
これについては、とりあえず、余白がないので書けない、と後回しにすることにして、
Karatzas&Shreveのブラウン運動の章を理解することからはじめることにする。先は長そうだ。

とりあえず、題名に惹かれて、
WIENER SOCCER AND ITS GENERALIZATION
http://www.emis.de/journals/EJP-ECP/EcpVol3/paper1.pdf