1次元ブラウン運動で、0およびhに吸収壁をおいたものは、
A1型のaffine Weyl群の作用を施して推移確率分布が求まる。
W=
r1:x->-x
r2:x->2h-x
という作用について、
p2(t,x,y) := Σw∈W (-1)^|w| * p(t,y|wx)
とすると、
これは、対称性を持つ。とくにx,y->0,t->1とするように分母に
p1(t,x|y):=p(t,y|x) - p(t,y|-x)
として比を取ると、
テータ関数が出てくる。
期待値はメリン変換だから、
(GL2)保型形式のメリン変換がDirichlet級数になるというWeilの定理から、
期待値はDirichlet級数になる。
この場合は、Riemann zeta関数になる。
そんな話が下記の論文の前半に出ていた。
では、もっと他のaffine Weyl群の対称性を持つ推移確率分布について、
その期待値は綺麗な級数表示を持つのだろうか？
Two Bessel Bridges Conditioned Never to Collide, Double Dirichlet Series, and Jacobi Theta Function
http://arxiv.org/abs/0711.1710
2 件のコメント:
ほう、おもしろそうですね。みてみましょう。
しかも、これは香取真理先生ではないですか。こんなこと、研究してたのですか。
で、定義は読めばわかるとして、
Affine Weyl 群て、ようするになんですか？
準同形が限界のワシにもわかりやすく、ガンダムでたとえてくれ。（２ch風）
Weyl群がモビルスーツなら、
affine Weyl群はモビルアーマーです。
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