ギブス測度の性質についてまとめてある本が読みたかったので、
統計力学(http://www.amazon.co.jp/%E7%B5%B1%E8%A8%88%E5%8A%9B%E5%AD%A6%E2%80%95%E7%9B%B8%E8%BB%A2%E7%A7%BB%E3%81%AE%E6%95%B0%E7%90%86-%E9%BB%92%E7%94%B0-%E8%80%95%E5%97%A3/dp/4563010863)
を買った。
冒頭にこんな一説があった。
「後年、彼(ボルツマンのこと)はエネルギー論者との科学論争の末、うつ病にかかり、1906年9月5日イタリアのトリエステの近くで自殺をとげた。」
トリエステは、須賀敦子の「トリエステの坂道」でも述べられているように、
第一次世界大戦までオーストリアの版図であったから、
ウィーン大学の教授だったボルツマンが静養にくるのもおかしくはない。
だが、須賀敦子の随筆に書かれたトリエステは、
オーストリアの港町ではあったけれど、
風の強い地味な街で、
およそボルツマンの気鬱を解消させるような街にはみえなかった。
折角なので、インターネットで検索をして、
http://www.lit.osaka-cu.ac.jp/UCRC/data/pdf_0312historical-heritage/04matsumura.pdf
に書かれているトリエステの歴史をざっと読んでみたが、
ベネチアの凋落と対照的にオーストリアハンガリー帝国の海の玄関口として繁栄した、
という歴史的事実以外には、
真っ青な空の写真、古代ローマ時代の遺跡の写真、
がわずかに心に安らぎを与えるものだった。
ゲーテ、リルケ、ボルツマン
と、アルプスを越えて南にやってきた人物を比較してみると、
陽気なゲーテ、
生真面目なリルケ、
不運なボルツマン、
といった印象を抱く。
"イタリア紀行"には、職をなげうって馬車に飛び乗って徹夜でそこらじゅうを探し回るゲーテの
エネルギッシュな姿がいやおうなく飛び交っているし、
"フィレンツェだより "には芸術にひたすら力を注ぎ、刻苦勉励という言葉が似合うリルケ、
薔薇の棘に刺されて死んだという逸話もさもありなんと思わせる。
一方、
ボルツマンが残したものは、
ボルツマン方程式とH定理についての諸論文、
ボルツマンの原理および
それらを母体とする統計力学である。
ボルツマンがこの世を去る少し前、
1902年にはルベーグが測度についての論文を発表し、
同じ年、ギブズが"統計力学の基本原理"をまとめている。
そして、1905年にはアインシュタインがブラウン運動に関する論文を発表、
分子の存在が改めて認知されるに至った。
数学的な定式化は物理に較べて遅々として進まなかった。
コルモグロフが1933年に"確率論の基礎概念"を著し、
測度論的確率論の理論が整備され、
Dobrushin-Lanford-Ruelleによる諸論文が1960年代に書かれ、
Varadhanが大偏差原理に基づいた格子気体モデルについての論文を書いている。
ようやく、統計力学における統計の意味と近似の度合いが、
手の届くところにやってきた感がある。
ボルツマンが死んで、すでに102年が過ぎた。
2007年9月27日木曜日
フラクタル境界をもつ領域の熱伝導
フラクタル幾何学の技法(http://www.amazon.co.jp/%E3%83%95%E3%83%A9%E3%82%AF%E3%82%BF%E3%83%AB%E5%B9%BE%E4%BD%95%E5%AD%A6%E3%81%AE%E6%8A%80%E6%B3%95-K-%E3%83%95%E3%82%A1%E3%83%AB%E3%82%B3%E3%83%8A%E3%83%BC/dp/4431709932)
に、
Δu(x,t) = ∂u(x,t)/∂t(Δはラプラシアン)
を境界条件
u(x, 0) = 0(x∈D)
u(x,t)=1(x∈∂D)
で解いた場合の熱、
h(t) = ∫u(x,t)dx(Dにおける積分)
についてt->0のときの展開が載っていた。
(古典的な結果)
Dが2次元領域、∂Dが滑らかなときは
(A) h(t) = t^(1/2) * L(∂D) * (2 /√π) + O(t)
(フラクタル領域の場合)
Dをコッホ雪片曲線で囲まれた領域とすると
(B) h(t) = t^a * p(-log t) +O(t^(1/2))
ただし、aは0.369...、pはある連続周期関数
コッホ曲線は長さが無限大だから、(A)の展開は出来ないのは予想できるが、
漸近展開のオーダーまで変わってくるのは驚きだった。
これは、境界をちょっとずらして滑らかからフラクタル曲線にすると、
D内の温まり方ががらりと変わる、ということで、
ぱっとみには曲線をフラクタルに変えるのは微小変形に見えるけれど、
ずいぶんと大きな差があるものだ。
フラクタルの物理(http://www.shokabo.co.jp/mybooks/ISBN978-4-7853-2208-3.htm)
には、
フラクタルクラスターからの光散乱
という項目があるので、次はこれを見て、フラクタルを境界にもつ世界の違いを把握してみる。
に、
Δu(x,t) = ∂u(x,t)/∂t(Δはラプラシアン)
を境界条件
u(x, 0) = 0(x∈D)
u(x,t)=1(x∈∂D)
で解いた場合の熱、
h(t) = ∫u(x,t)dx(Dにおける積分)
についてt->0のときの展開が載っていた。
(古典的な結果)
Dが2次元領域、∂Dが滑らかなときは
(A) h(t) = t^(1/2) * L(∂D) * (2 /√π) + O(t)
(フラクタル領域の場合)
Dをコッホ雪片曲線で囲まれた領域とすると
(B) h(t) = t^a * p(-log t) +O(t^(1/2))
ただし、aは0.369...、pはある連続周期関数
コッホ曲線は長さが無限大だから、(A)の展開は出来ないのは予想できるが、
漸近展開のオーダーまで変わってくるのは驚きだった。
これは、境界をちょっとずらして滑らかからフラクタル曲線にすると、
D内の温まり方ががらりと変わる、ということで、
ぱっとみには曲線をフラクタルに変えるのは微小変形に見えるけれど、
ずいぶんと大きな差があるものだ。
フラクタルの物理(http://www.shokabo.co.jp/mybooks/ISBN978-4-7853-2208-3.htm)
には、
フラクタルクラスターからの光散乱
という項目があるので、次はこれを見て、フラクタルを境界にもつ世界の違いを把握してみる。
2007年9月25日火曜日
アボガドロ数について
6*10^23。
高校生のとき、化学でアボガドロ数を習った。
これは非常に大きい数だと教わったが、
地球の人口10^10
1テラバイトが10^12
なので、地球上のすべての人が1テラバイトのハードディスクを持つと、
記憶容量はアボガドロ数に匹敵する。
アボガドロ数がでてくるのは、
「同温同圧のもとでは、すべての気体は同じ体積中に同数の分子を含む」
というアボガドロの法則のもとであったのだけれど、
改めてみてみると熱力学は構成要素によらずマクロな変数が簡単な関係式をなしている。
ここで、温度という概念がでてきて物理量とされるのだけれど、
次のような疑問が浮かんでくる。
"もしも上記のオーダーの地球上のハードディスクすべてをあわせて一つの気体だと思えば、
一体何度になるのだろうか？"
熱力学は、ボルツマン-アインシュタインの原理、および等重率の原理を仮定することにより、
平衡系の統計力学により説明される。
気体については、エネルギーと状態数が計算できれば、熱力学的な量は計算される。
温度は
1/T =(∂S(E,V,N)/∂E)(V,Nは保っての偏微分)
という定義により天下りに定義されるが、
平均からの揺らぎを説明する量として理解される。
これはアインシュタインの関係式として、
拡散係数の中にTが現れることからも納得できる。
ハードディスク内の情報について、
エネルギーとは何だろうか？
そもそも、状態とは何だろうか？
単にビット列の情報エントロピーと解釈しても、なにもでてきそうにない。
しかも、熱力学的な意味でのV,Nという変数は存在しそうにない。
気体の場合は、相空間内の座標によって、近傍の概念があり、
平均からのゆらぎというものに意味があったが、
単純なハードディスクの情報について、空間的な近傍の概念も、平均の概念も導入できない。
では、インターネットによる接続あるいはウェブページのリンク、
ウェブサーバへのアクセスという形での空間把握、状態把握、平均の把握
は可能だろうか？
そう考えると、DLA(diffusion-limited aggregation)のようなフラクタル的な空間における
ランダムな運動
とみなせるのだろうか？
しかし、おそらくどんな変数で見ても平衡状態ではないのだろう。
非平衡状態において、なんらかのゆらぎから変数を見出して、
擬似的な温度を定義すること、
これは楽しそうな話だが、何処から手をつければよいのやら。
高校生のとき、化学でアボガドロ数を習った。
これは非常に大きい数だと教わったが、
地球の人口10^10
1テラバイトが10^12
なので、地球上のすべての人が1テラバイトのハードディスクを持つと、
記憶容量はアボガドロ数に匹敵する。
アボガドロ数がでてくるのは、
「同温同圧のもとでは、すべての気体は同じ体積中に同数の分子を含む」
というアボガドロの法則のもとであったのだけれど、
改めてみてみると熱力学は構成要素によらずマクロな変数が簡単な関係式をなしている。
ここで、温度という概念がでてきて物理量とされるのだけれど、
次のような疑問が浮かんでくる。
"もしも上記のオーダーの地球上のハードディスクすべてをあわせて一つの気体だと思えば、
一体何度になるのだろうか？"
熱力学は、ボルツマン-アインシュタインの原理、および等重率の原理を仮定することにより、
平衡系の統計力学により説明される。
気体については、エネルギーと状態数が計算できれば、熱力学的な量は計算される。
温度は
1/T =(∂S(E,V,N)/∂E)(V,Nは保っての偏微分)
という定義により天下りに定義されるが、
平均からの揺らぎを説明する量として理解される。
これはアインシュタインの関係式として、
拡散係数の中にTが現れることからも納得できる。
ハードディスク内の情報について、
エネルギーとは何だろうか？
そもそも、状態とは何だろうか？
単にビット列の情報エントロピーと解釈しても、なにもでてきそうにない。
しかも、熱力学的な意味でのV,Nという変数は存在しそうにない。
気体の場合は、相空間内の座標によって、近傍の概念があり、
平均からのゆらぎというものに意味があったが、
単純なハードディスクの情報について、空間的な近傍の概念も、平均の概念も導入できない。
では、インターネットによる接続あるいはウェブページのリンク、
ウェブサーバへのアクセスという形での空間把握、状態把握、平均の把握
は可能だろうか？
そう考えると、DLA(diffusion-limited aggregation)のようなフラクタル的な空間における
ランダムな運動
とみなせるのだろうか？
しかし、おそらくどんな変数で見ても平衡状態ではないのだろう。
非平衡状態において、なんらかのゆらぎから変数を見出して、
擬似的な温度を定義すること、
これは楽しそうな話だが、何処から手をつければよいのやら。
2007年9月3日月曜日
歴史観についてその6
歴史から学び、自らの問題に引きなおして考えるためには、
- 個別の事象が偶然によるものなのか必然によるものなのか、
- 必然の事象はいかなる理由の元にそれが引き起こされたのか
ということが、何らかの形で明瞭化される必要がある。
偶然か必然かの判定には、時間に対する遅早の観点がなければならないが、
この点についてはブローデルの地中海の目次をみると、
1)環境の役割
2)集団の運命と全体の動き
3)出来事、政治、人間
と三分冊に分かれての記述がなされている。
これは、それぞれ、
物理システム、生体システム、主体システム
に焦点を当てた、とみるべきだろう。
個人が集団に埋没してしまい統計的な動きしかなさなくなるようなスケールでの観測は、
確かに"運命"という言葉の不可避性を際立たせる。
いかなる警告も、いかなる物語も、いかなる経験も、集団には通じない。
- 個別の事象が偶然によるものなのか必然によるものなのか、
- 必然の事象はいかなる理由の元にそれが引き起こされたのか
ということが、何らかの形で明瞭化される必要がある。
偶然か必然かの判定には、時間に対する遅早の観点がなければならないが、
この点についてはブローデルの地中海の目次をみると、
1)環境の役割
2)集団の運命と全体の動き
3)出来事、政治、人間
と三分冊に分かれての記述がなされている。
これは、それぞれ、
物理システム、生体システム、主体システム
に焦点を当てた、とみるべきだろう。
個人が集団に埋没してしまい統計的な動きしかなさなくなるようなスケールでの観測は、
確かに"運命"という言葉の不可避性を際立たせる。
いかなる警告も、いかなる物語も、いかなる経験も、集団には通じない。
2007年9月1日土曜日
エントロピーについて
エントロピー理解のための参照した(する)文献
-エントロピー入門(http://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/4121007743/n08-22)
-エントロピーと秩序(http://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/4532520142/n08-22)
-混沌からの秩序(ブリコジン、スタンジェール)
-数学で読み解く統計力学(森真)
-統計力学を学ぶ人のために(芦田正巳)
-非平衡系の物理学(太田隆夫)
-力学系の実解析入門(青木統夫)
理解するべき点
*情報理論で定義されるシャノンエントロピーと統計力学で定義されるエントロピーとの関係
*熱力学、統計力学の基礎
*非平衡系の場合のエントロピーの重要性について
*位相的エントロピーと測度的エントロピー(シャノンエントロピーの拡張)の関係
素朴な問題
*理想気体について圧力は定義される。だが、圧力は微小領域で境界が超平面であることから定義されるはず。もし理想気体を入れる箱がペアノ曲線のようなフラクタル図形であった場合、まともに圧力は定義できるのか？
さらに進んで
アクセルロッドの
対立と協調の科学
(http://www.amazon.co.jp/%E5%AF%BE%E7%AB%8B%E3%81%A8%E5%8D%94%E8%AA%BF%E3%81%AE%E7%A7%91%E5%AD%A6-%E3%82%A8%E3%83%BC%E3%82%B8%E3%82%A7%E3%83%B3%E3%83%88%E3%83%BB%E3%83%99%E3%83%BC%E3%82%B9%E3%83%BB%E3%83%A2%E3%83%87%E3%83%AB%E3%81%AB%E3%82%88%E3%82%8B%E8%A4%87%E9%9B%91%E7%B3%BB%E3%81%AE%E8%A7%A3%E6%98%8E-%E3%83%AD%E3%83%90%E3%83%BC%E3%83%88%E3%83%BB%E3%82%A2%E3%82%AF%E3%82%BB%E3%83%AB%E3%83%AD%E3%83%83%E3%83%89/dp/447819047X/ref=sr_1_3/249-4405693-9957113?ie=UTF8&s=books&qid=1188654866&sr=1-3)
にあるシミュレーションを行い、上記の統計力学、力学系の知識と有機的に結びつけること
-エントロピー入門(http://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/4121007743/n08-22)
-エントロピーと秩序(http://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/4532520142/n08-22)
-混沌からの秩序(ブリコジン、スタンジェール)
-数学で読み解く統計力学(森真)
-統計力学を学ぶ人のために(芦田正巳)
-非平衡系の物理学(太田隆夫)
-力学系の実解析入門(青木統夫)
理解するべき点
*情報理論で定義されるシャノンエントロピーと統計力学で定義されるエントロピーとの関係
*熱力学、統計力学の基礎
*非平衡系の場合のエントロピーの重要性について
*位相的エントロピーと測度的エントロピー(シャノンエントロピーの拡張)の関係
素朴な問題
*理想気体について圧力は定義される。だが、圧力は微小領域で境界が超平面であることから定義されるはず。もし理想気体を入れる箱がペアノ曲線のようなフラクタル図形であった場合、まともに圧力は定義できるのか？
さらに進んで
アクセルロッドの
対立と協調の科学
(http://www.amazon.co.jp/%E5%AF%BE%E7%AB%8B%E3%81%A8%E5%8D%94%E8%AA%BF%E3%81%AE%E7%A7%91%E5%AD%A6-%E3%82%A8%E3%83%BC%E3%82%B8%E3%82%A7%E3%83%B3%E3%83%88%E3%83%BB%E3%83%99%E3%83%BC%E3%82%B9%E3%83%BB%E3%83%A2%E3%83%87%E3%83%AB%E3%81%AB%E3%82%88%E3%82%8B%E8%A4%87%E9%9B%91%E7%B3%BB%E3%81%AE%E8%A7%A3%E6%98%8E-%E3%83%AD%E3%83%90%E3%83%BC%E3%83%88%E3%83%BB%E3%82%A2%E3%82%AF%E3%82%BB%E3%83%AB%E3%83%AD%E3%83%83%E3%83%89/dp/447819047X/ref=sr_1_3/249-4405693-9957113?ie=UTF8&s=books&qid=1188654866&sr=1-3)
にあるシミュレーションを行い、上記の統計力学、力学系の知識と有機的に結びつけること
歴史観についてその5
村上氏の著作では、
農業革命、産業革命
といった生産技術の革新の過程をさらに詳しく、
(1)人類革命
(2)農業革命
(3)都市革命
(4)精神革命
(5)科学革命
に分けて
(1)は省略し、(2)-(5)について、複数の章をまたいで説明されている。
農業革命、産業革命
といった生産技術の革新の過程をさらに詳しく、
(1)人類革命
(2)農業革命
(3)都市革命
(4)精神革命
(5)科学革命
に分けて
(1)は省略し、(2)-(5)について、複数の章をまたいで説明されている。
歴史観についてその4
歴史研究の単位、
という問題がある。
もし歴史が、
木星に流れている渦模様の観察であったならば、
- 渦の分離し、観察対象に分ける
- それぞれの渦の生成、消滅の観察
- 渦の統合の観察
- 個別の渦の性質調査
- 渦を創出する木星という環境の調査
といった項目が調査項目になるだろう。
ここで、個別の渦に対応するものが、
歴史研究の単位であって、
おのおのの興味の対象によって、
文明、文化、社会
といった単語により分別されてきた。
村上氏の著作においては、
トインビーの
「それだけを単独にとりあげて理解できる」範囲、
「世界の他の部分をひきあいに出さなくとも、だいたい理解できる」ような範囲
を「文明」とする、
という定義を引き合いに出して、
「 つまり、「文明」とは、因果関係の連鎖がそれ自身の中に納まっているような空間的・時間的範囲」
としている。
さらに、
「 親から生まれた子が突然変異であるかぎりにおいて、先行社会と後続社会とを異文明とすべきだ、と私は考えたい。つまり、文明の起点は、創発的な根本的大革新なのである。」
として、文明の起点を明確にしている。
その上で、あらゆる種類の歴史上の変化は、
(1) 文明創発的革新
(2)文明間接触
(3)文明内進化(ただし、進化は表現上の便宜で退化、衰退を含む)
に分類され、それぞれの場合に応じて、提示できる法則のレベルが異なる、と述べている。
上記の革新と言う言葉は、何の革新か、によって、起点もかわってくるが、
村上氏の著作では、
- 生産技術の大革新
- 社会組織の大革新
があげられている。
すでに主体システムのレベルでの話しになっているわけである。
という問題がある。
もし歴史が、
木星に流れている渦模様の観察であったならば、
- 渦の分離し、観察対象に分ける
- それぞれの渦の生成、消滅の観察
- 渦の統合の観察
- 個別の渦の性質調査
- 渦を創出する木星という環境の調査
といった項目が調査項目になるだろう。
ここで、個別の渦に対応するものが、
歴史研究の単位であって、
おのおのの興味の対象によって、
文明、文化、社会
といった単語により分別されてきた。
村上氏の著作においては、
トインビーの
「それだけを単独にとりあげて理解できる」範囲、
「世界の他の部分をひきあいに出さなくとも、だいたい理解できる」ような範囲
を「文明」とする、
という定義を引き合いに出して、
「 つまり、「文明」とは、因果関係の連鎖がそれ自身の中に納まっているような空間的・時間的範囲」
としている。
さらに、
「 親から生まれた子が突然変異であるかぎりにおいて、先行社会と後続社会とを異文明とすべきだ、と私は考えたい。つまり、文明の起点は、創発的な根本的大革新なのである。」
として、文明の起点を明確にしている。
その上で、あらゆる種類の歴史上の変化は、
(1) 文明創発的革新
(2)文明間接触
(3)文明内進化(ただし、進化は表現上の便宜で退化、衰退を含む)
に分類され、それぞれの場合に応じて、提示できる法則のレベルが異なる、と述べている。
上記の革新と言う言葉は、何の革新か、によって、起点もかわってくるが、
村上氏の著作では、
- 生産技術の大革新
- 社会組織の大革新
があげられている。
すでに主体システムのレベルでの話しになっているわけである。
歴史観についてその3
歴史は個別の事象と、法則にまとめられそうな流れを記述している。
個別の事象の記述は、いつ、どこで、何が起きたか?
ということになるが、
ここで興味深いのは、
この個別の事象が、たとえその時点ではなくても多かれ少なかれ、その時点の近傍でほぼ確実に起きた、
という捉え方が出来ないか？
と言う点だ。
コイン投げであれば、
n回目までずっと裏が出ない確率はP(n) = 2^(-n)だから、急速に0に近づいていく。
言い換えると、投げ続ければ、ほぼ確実に裏が出る。
もし、社会の記述が理想的な形で定量的になされるのであれば、
たとえとして、
戦国時代であれば、織田信長でなくとも、時間がたてばほぼ確実に天下統一されていた、
といったことが、いずれ記述できるようになるのであろうか？
もしこのような形で法則体系が記述可能であるならば、
- 平衡状態あるいは飽和状態の記述
- 突然の外力による非平衡状態からの緩和過程
- パラメータとして用いられる集団の性質
- 時間に対する早いパラメータと遅いパラメータの選定
といったものが問題になってくるだろう。
その意味で、村上氏の著作に以下の一般システムについての紹介がなされていたのは
興味深い。
(1)論理システム
(2)物理システム
(3)生体システム
(4)主体システム
個別の事象の記述は、いつ、どこで、何が起きたか?
ということになるが、
ここで興味深いのは、
この個別の事象が、たとえその時点ではなくても多かれ少なかれ、その時点の近傍でほぼ確実に起きた、
という捉え方が出来ないか？
と言う点だ。
コイン投げであれば、
n回目までずっと裏が出ない確率はP(n) = 2^(-n)だから、急速に0に近づいていく。
言い換えると、投げ続ければ、ほぼ確実に裏が出る。
もし、社会の記述が理想的な形で定量的になされるのであれば、
たとえとして、
戦国時代であれば、織田信長でなくとも、時間がたてばほぼ確実に天下統一されていた、
といったことが、いずれ記述できるようになるのであろうか？
もしこのような形で法則体系が記述可能であるならば、
- 平衡状態あるいは飽和状態の記述
- 突然の外力による非平衡状態からの緩和過程
- パラメータとして用いられる集団の性質
- 時間に対する早いパラメータと遅いパラメータの選定
といったものが問題になってくるだろう。
その意味で、村上氏の著作に以下の一般システムについての紹介がなされていたのは
興味深い。
(1)論理システム
(2)物理システム
(3)生体システム
(4)主体システム
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