サマースクール復習その2

Lecture notes on Geometric Crystals and their combinatorial analogues
(http://arxiv.org/abs/math/0610567)
Geometric and unipotent crystals
(http://arxiv.org/abs/math/9912105)
Geometric and unipotent crystals II: From unipotent bicrystals to crystal bases
(http://arxiv.org/abs/math/0601391)
でトロピカル化により柏原クリスタルに落ちる幾何学的クリスタルが定義されていた。

上記の話は半単純リー環の話でアファインリー環の話ではないので、
アファインクリスタルに落ちる幾何学的クリスタルはあるのか？
この幾何学的クリスタルの上に箱玉系に落ちる構造があるのか？
という疑問が出る。

サマースクール復習その1

4つの講義があったが、
クリスタルと箱玉系の話、および団代数の話は、
背景には、量子群とベーテ仮説があるようだ。

物理サイドでは、２次元CFTと4次元ゲージ理論を弦理論の観点から結びつけているが、
数学サイドでは、それは代数曲線の連接層の導来圏の情報から作られる代数の表現と、
代数曲面の同変コホモロジー上に実現される代数の対応と理解したい。

個別に理解したいポイントを列挙しておく。
* クリスタルと箱玉系
ログ構造を持った代数曲線のspecial fiberの配位のdual graphとトロピカル幾何の対応を理解したい。
とくに講義中で、トロピカル曲線のsmoothnessの定義が出てきたが、
これは、おそらくsemi-stableグラフの性質と、トーリック多様体の特異点の記述を元にすれば、
理解できるはずだ。
また、もともと、有限周期のスペクトル曲線を退化させて有理曲線にした場合が周期なしの場合だった。
箱玉の周期Lと玉の数Mの比を保って無限大に飛ばした場合が周期なしに対応して、その場合は、実トーラスも実直線に退化する、
と思える。
なので、理解の仕方は、具体的に、
punctured disc上にtotally degenerateな超楕円曲線を作り、そのspecial fiber上にKP系を実現すること、
それをBerkovich空間の意味でanalitificationして、有限グラフ部分を見ること、
ということになる。
この時の有限グラフの長さは、代数曲線をトーラスの直積に埋め込む仕方で指定されるはず。
周期箱玉系の周期の現れ方も理解できるはずだ。

* Ding-Iohara代数
講義は徹頭徹尾理解できなかったので、予稿集と参考文献を元に理解を深めたい。
すくなくとも、講義の最初で出てきたelliptic Hall algebraについては、
代数曲線の連接層の導来圏の話と、不分岐保型形式の話を元にしていて、
量子群の半分を作成する話と繋がっているので理解する価値はある。
講義では、目標は、代数系の上に可換な作用素族を構成すること、
ということになっていて、一見すると保型形式のヘッケ環の構成に見えなくもない。
AGT予想で代数曲線と代数曲面を結びつけていたので、
ここで出てくるヘッケ環(もどき)は、Cherednik代数やその親戚たちと関係するだろうから、
その観点で理解してみよう。
さらに、Hall algebraで二つのパラメータが出てくる理由は、
Poincare-Hilbert級数を見ているから、というものだった。
講義では、
3パラメータを持つ代数を探したい、
量子KdVの作用素を実現したい、
というものだったので、もう一つのパラメータはどこからくるのが自然か、妄想できたら嬉しい。

* 4次元ゲージ理論と2次元共形場理論の関係
Nekrasovのpre potentialの話と、ALEインスタントンの話、
という基本的なところから理解したい。

* 共形場理論と団代数
団代数の理論で、
potential付きQuiverに関する話
を理解したい。
講義のハイライトは、dilogarithmの関係式だが、
もともとdilogarithmの関係式については、
matsumotoの定理によってMilnorのK2の具体的な表示の形と結びついていた。
(ex.
http://users.ictp.it/~pub_off/lectures/lns023/Rehmann/Rehmann.pdf)
団代数において、話がトロピカル幾何に帰着する部分というのは、
有理関数体のK2の中で、変形に鈍感な部分から来ていると解釈できないか？
というのが疑問になる。

KPと周期の未読論文リンク

* テータ関数、楕円関数の場合の1-ソリトン解とその退化の仕方の記述
http://people.sissa.it/~dubrovin/rsnleq_web.pdf
演習問題がいっぱいあるので解くこと。

* holonomic D加群の場合の周期
$ε$-Factors for the Period Determinants of Curves
(http://arxiv.org/abs/0903.2674)
Epsilon Factors for Meromorphic Connections and Gauss Sums
(http://arxiv.org/abs/1010.2272)
Product formula for p-adic epsilon factors
(http://arxiv.org/abs/1104.1563)

* 超対称性を持つ場の観点からの指数定理
http://itunes.apple.com/us/itunes-u/id425068678
とくに"Super symmetry and index theorems"の4回、5回。

lesson on tex

\cite{Tau}の内容を
\cite[p21]{SW}にある例に即した形で読み替えられないか？
という疑問が出る。

\[
W=W_{0}(\mathbb{R}^{2})=
\{w \in C([0,1] \to \mathbb{R}^{2} \vert w(0) = 0\}
\]
にWiener測度を与えた実２次元空間に値を取るWiener空間について、
\[
H=
\{h\in W \vert s \in[0,1] \mapsto h(s) \in \mathbb{R}^{2} \text{absolutely continuous}, \dot{h} \in L^{2}([0,1] \to \mathbb{R}^{2}) \}
\]
をそのCameron-Martin空間とする。
定義により内積は、
\[
\langle h,k \rangle=\int_{0}^{1}\dot{h}(s)\dot{k}(s)ds \text{ } (h,k \in H)
\]
となる。
\cite[Prop10.1]{SW}でガウス測度を付加された空間があるが、これとHを同一視したい。

\[
\mathbb{R}^{2}=\mathbb{C}
\]
として、Hの基底を次のように取る。


\[
\phi_{n}(s):=
\begin{cases}
\phi_{0}(s)= s, & \qquad n = 0 \\
\phi_{n}(s)= \frac{1}{2\pi n}(\exp(2\pi \mathrm{i} n s) -1), & \qquad n >= 1
\end{cases}
\]
\[
\psi_{n}(s):=
\frac{1}{2\pi n}(\exp(-2\pi \mathrm{i} n s) -1), \qquad n >= 1
\]

これにより、
\begin{gather*}
H_{+} = < \phi_{n} \vert n \geq 0 >_{\mathbb{C}} \\
H_{ - } = < \psi_{n} \vert n \geq 1 >_{\mathbb{C}} \\
\end{gather*}
\[
H = H_{+}\oplus H_{ - }
\]
と分解する。
Hの部分空間を
\[
H_{n}:= \{f \in H \vert f(\frac{k}{n}) = 0, \qquad k = 0, 1, \cdots, n \}
\]
\[
H_{+n}:= H_{+} \cap H_{n}
\]
とする。
\[
H \supset H_{1} \supset H_{n}
\]
である。

Ito\^ -Nishioの定理により、Hの元をpathと思うと、その係数は、それぞれ独立な2次元正規分布をもつ。\\
\[
[H:H_{n}]=n
\]
であり、ずれは、等分点での値の指定の任意性である。

\begin{thebibliography}{KP}
\bibitem[SW]{SW} G. Segal, G. Wilson, Loop groups and equations of KdV type. Publ. Math., Inst. Hautes Etud. Sci. 61, 5-65 (1985).
\bibitem[Tau]{Tau} Hidemi Aihara, Jiro Akahori, Hiroko Fujii and Yasufumi Nitta, Tau functions of KP solitons realized in Wiener space. http://arxiv.org/abs/1108.0768
\end{thebibliography}

確率面積の元々の計算(tex表示のテストを含む)

平均0、分散1の正規分布の確率変数Xについて、
そのモーメントは、
\begin{eqnarray}
\bf{E}[\rm X^{k}] =\left\{ \begin{array}{ll}

\frac{k!}{2^{\frac{k}{2}}\frac{k}{2}!} & (k:even) \\
0 & (k:odd) \\
\end{array} \right.
\end{eqnarray}
となる。
\[
\xi^{1},\eta^{1},\xi^{2},\eta^{2}
\]
を平均0、分散1の正規分布の独立な確率変数として、
\[
A=\xi^{1}\eta^{2}-\xi^{2}\eta^{1}
\]
\begin{eqnarray}
\bf{E}[\rm A^{k}] =\left\{ \begin{array}{ll}

k! & (k:even) \\
0 & (k:odd) \\
\end{array} \right.
\end{eqnarray}
となる。
よって、
\[
\bf{E}[\rm \exp(\beta A)] =\frac{1}{1-\beta^{2}}
\]
となる。
\[
\{\lambda_{n}\}
\]
が2乗和が収束するものとして、
\[
S:=\sum_{n=1}^{\infty}\lambda_{n}(\xi_{n}^{(1)}\eta_{n}^{(2)}-\xi_{n}^{(2)}\eta_{n}^{(1)})
\]
とおくと、
\[
\bf{E}[\rm \exp( \mathrm{i} \alpha S)] = \prod_{n=1}^{\infty}(1+\alpha^{2}\lambda_{n}^{2})^{-1}
\]
となる。
確率面積の場合の
\[
\{\lambda_{n}\}
\]
を求めることは、
\begin{eqnarray}
H(t) =\left\{ \begin{array}{ll}
1 & (t \geq 0) \\
-1 & (t < 0) \\
\end{array} \right.
\end{eqnarray}
として、畳み込み作用、
\[
Hf(t):=\int_{0}^{1}H(t-s)f(s)ds
\]
の固有値をみることになる。

\[
e_{n+\frac{1}{2}}(t):=exp(2\pi \mathrm{i} ( n+\frac{1}{2} )t)
\]
が固有関数で、
\[
He_{n+\frac{1}{2}}(t) = {- \mathrm{i} \frac{1}{\pi (n+\frac{1}{2}) } } e_{n+\frac{1}{2}}(t)
\]
となる。
ただし、境界条件を指定していないので、固有値の正当性を確かめる必要がある。
(実際には、上記の関数は、二重被覆上の関数。)
きちんと行うには、Cameron-Martin空間上の正規直交基底を作る。

折れ線近似による計算

確率面積を試しに折れ線近似により計算してみる。

各時間$t$において、

¥begin{equation}
z_{t}:=x_{t}+y_{t}i
¥end{equation}
とする。
面積を¥¥
¥[
A(z_{t+1};z_{t}):=
¥begin{pmatrix}
x_{t+1} & y_{t+1} ¥¥
x_{t+1}-x_{t} & y_{t+1}-y_{t}
¥end{pmatrix}
¥]
と定義した行列の行列式として、
¥begin{equation}
a(z_{t+1};z_{t}):=det(A(z_{t+1};z_{t}))
¥end{equation}
とする。¥¥
¥[
¥Delta x_{t}:=x_{t+1}-x_{t}
¥]
¥[
¥Delta y_{t}:=y_{t+1}-y_{t}
¥]
とすると、定義より、
¥begin{equation}
a(z_{t+1};z_{t})=det(
¥begin{pmatrix}
¥sum_{s=0}^{t}¥Delta x_{s}& ¥sum_{s=0}^{t}¥Delta y_{s} ¥¥
¥Delta x_{t} & ¥Delta y_{t}
¥end{pmatrix}
)
=¥¥
¥sum_{s=0}^{t}
det(
¥begin{pmatrix}
¥Delta x_{s} & ¥Delta y_{s} ¥¥
¥Delta x_{t} & ¥Delta y_{t} ¥¥
¥end{pmatrix}
)
¥end{equation}
となる。¥¥
よって、$0$と$z=(x,y)$を時刻Nで結ぶpath
¥[
w=¥{z_{0}=0,z_{1},¥ldots,z_{N}=z¥}
¥]
の面積は、
¥begin{equation}
S(w):=¥sum_{t=0}^{N}a(z_{t+1};z_{t}) ¥¥
=¥sum_{t=0}^{N}¥sum_{s=0}^{t}det(
¥begin{pmatrix}
¥Delta x_{s} & ¥Delta y_{s} ¥¥
¥Delta x_{t} & ¥Delta y_{t} ¥¥
¥end{pmatrix}
)
¥end{equation}
となる。¥¥
ここで、pathの動きを動きの方向によって符号化する。¥¥
¥[
(1,1),(-1,1),(-1,-1),(1,-1)
¥]
をそれぞれ1,2,3,4とラベル付けすると、¥¥
原点を出発するpathは、¥¥
1,2,3,4の組み合わせで符号化される。
¥[
¥epsilon(1,2):=det
¥begin{pmatrix}
1 & 1 ¥¥
-1 & 1 ¥¥
¥end{pmatrix}
=2
¥]
とすると、¥¥
¥[
¥epsilon(1,2)=¥epsilon(2,3)=¥epsilon(3,4)=¥epsilon(4,1)=2
¥]
¥[
¥epsilon(2,1)=¥epsilon(3,2)=¥epsilon(4,3)=¥epsilon(1,4)=-2
¥]
となり、それ以外の組み合わせは0となる。
¥[
w=¥{w_0,w_1,¥ldots,w_{N-1}¥}
¥]
と符号化して、
¥begin{equation}
S(w)
=¥sum_{t=0}^{N-1}¥sum_{s=0}^{t}¥epsilon(w_{s},w_{t})
¥end{equation}
となる。¥¥
ペア
¥[
{1,2},{2,3},{3,4},{4,1}
¥]
について各項を分けて、
¥[
S(w)=S_{12}(w)+S_{23}(w)+S_{34}(w)+S_{41}(w)
¥]
とする。

1,2,3,4のwにおける出現回数を
¥[
N_{1},N_{2},N_{3},N_{4}
¥]
として、
¥[
z=x+yi
¥]
とすると、
¥begin{equation}
N=N_{1}+N_{2}+N_{3}+N_{4}
¥end{equation}
で、
¥[
(x,y)=N_{1}(1,1)+N_{2}(-1,1)+N_{3}(-1,-1)+N_{4}(1,-1)
¥]
より、
¥[
(x,y)=
(N_{1}-N_{2}-N_{3}+N_{4}, N_{1}+N_{2}-N_{3}-N_{4})
¥]
となる。
¥begin{equation}
¥frac{x+y}{2}=N_{1}-N_{3}
¥end{equation}
¥begin{equation}
¥frac{x-y}{2}=-N_{2}+N_{4}
¥end{equation}
であるから、¥¥
$N$および終点$(x,y)$をfixした条件のもと、pathは、
¥[
N_{1},N_{2},N_{3},N_{4}
¥]
の出現回数(これは、$N_{1}$を指定すると他は決まる)を決めて、¥¥
さらに順番を指定したものになる。¥¥

$A=N_{1},B=N_{2}$
を与えて、
$q^{S_{12}(w)}$
の総和を求めてみる。¥¥
それには、{1,2}からなる列
¥[
p=¥{p1,p2,¥ldots,p_{M}¥}
¥]
について、¥¥
縦$A$、横$B$の箱の左下から、¥¥
1が出現したら右へ、2が出現したら上へ進む、¥¥
というルールで線を書くと、¥¥
出現回数が決まっているから、¥¥
箱の右上にたどり着くが、¥¥
その線で分けられた左上の面積-右下の部分の面積 ¥¥
が${S_{12}(p)}$に対応する。¥¥
よって、
¥[
¥sum_{p}q^{S_{12}(p)}
=¥frac{q^{AB+1} - q^{-(AB+1)}}{q-q^{-1}}
¥]
となる。

このことから、
$N$および終点$z=(x,y)$をfixした条件のもと、
¥[
¥bf{E}[¥rm q^{S(w)} | w(N)=z]=¥sum_{w}q^{S(w)}
¥]
は、
¥begin{equation}
¥sum_{w}q^{S(w)}=¥sum_{N_{1},N_{2},N_{3},N_{4}}
¥frac{q^{N_{1}N_{2}+1} - q^{-(N_{1}N_{2}+1)}}{q-q^{-1}}
¥frac{q^{N_{2}N_{3}+1} - q^{-(N_{2}N_{3}+1)}}{q-q^{-1}}
¥frac{q^{N_{3}N_{4}+1} - q^{-(N_{3}N_{4}+1)}}{q-q^{-1}}
¥frac{q^{N_{4}N_{1}+1} - q^{-(N_{4}N_{1}+1)}}{q-q^{-1}}
¥end{equation}
となる。

ここから、無限積による表示にたどり着くには、まだ一工夫必要のようだ。