- [G] Symplectic algebraic geometry and quiver varieties
- [K] Geometry and topology of symplectic resolutions
- [M] Quantum Cohomology and Symplectic Resolutions
- [N1] Lectures on perverse sheaves on instanton moduli spaces
- [N2] Introduction to a provisional mathematical definition of Coulomb branches of -dimensional gauge theories
変形量子化
[G]では、
- 変形関手の定義、可換環の量子化の定義(Def1.3)、1パラメータ量子化の定義(Def1.4)
Poisson代数の定義(Def1.5)、量子化とPoisson構造の変形の関係(Th1.10)の説明
正則な場合の量子化とPoisson構造の変形の関係(Th2.2)
- semi-positive varieryの定義(Def3.2)
- semi-positive varietyの性質(§3.2)
- Symplectic resolutionの定義(Def4.1)、running hypottheses
- universal Poisson deformationの存在とcohomologyのpurity(Th4.2)
- 量子化の存在(Th4.3)、代数性(Th4.4)
を説明している。
Th4.2の証明には、 標数pにおけるtilting generatorの存在(Th4.8)、Beilinson typeのdiagonal resolutionが使用されている。
標数pでの量子化
[K]では、tilting generatorの存在を標数pの議論によって示している。
- Beauvilleの意味でのSymplectic singularityの定義(Def1.1)
- Symplectic resolutionの定義(Def1.2)
- Symplectic resolutionがきつい条件である予想(Conj1.3)
- Poisson varietyのquantization(Def2.2)
- Symplectic resolutionの場合のcanonical quantizationの存在(Th2.3)
- localにはDarboux型の定理がある(Prop2.4)
- Poisson algebraとquantized algebra(Def2.6)
- quantized algebraでh-完備かつno h-torsion、と、quantizationの同値(hによる補間)
- smooth symplectic varietyのquantizationとsymplectic corrdinate torsorsの同型類が対応する(Prop2.8)
- Frobenius-constant quantization(Def3.1)
- 標数pではProp2.4は成り立たない。原因はhigher de Rham cohomologyが消えないため(Rem3.4)
- restricted quantized algebra、restricted Poisson algebra(h=0)(Def3.7)
- restricted Poisson structureを持つための条件(Prop3.10)
- good quantization base(Def3.11)
- good quantization baseが与えられた時、cohomologyが消えるという条件のもと、smooth symplectic varietyのB-quantizationの同型類が記述できる(Th3.16)
- 標数0の体上のSymplectic resolutionはetale localにtilting generatorを持つ(Th4.2)
3次元 N=4 ゲージ理論
[N2]では、Symplectic resolutionの場合に、
Higgs枝、Coulomb枝について、数学的な定義を与えている。
量子化されたCoulomb枝は、formal diskへのトーラス作用を用いて同変Borel-Moore homology群上に定義される。
疑問
数論において、古典的な保型形式のHecke環は、moduli空間におけるconvolution積によって定まる可換環だった。Taylor-WilesのR=Tの議論は、convolution積によって定まる環が、Galois表現の普遍変形環と同型である、というものだった。
Galois表現の変形とCoulomb枝に自然な解釈をつけることが出来るだろうか?
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