2019 超局所化と消滅サイクル

enhanced versionの超局所化

• [DK] Enhanced specialization and microlocalization
• [KS] [Sheaves on Manifolds]

[KS}の8.6では、正則写像に対する超局所化と消滅サイクルの関係が記述されている。
enhanced版では、写像がborderedになるが、この場合の超局所化とstokes perverse sheavesの消滅サイクルとどう関係するのだろうか?

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2019 コンパニオン

companion

• [Kedlaya1] Notes on isocrystals
• [Kedlaya2] Etale and crystalline companions, I

[Kedlaya2]では、
- Delgineの予想として、有限体上の代数多様体に対するcoefficient objectsの存在が挙げられている(Conjecture0.1.1)
- $l\neq p$のときはl進層
- $l = p$のときはoverconvergent F-isocrystals
- 代数的な場合はcompanionが存在する(Conjecture0.5.1)と予想
- curveの場合はLanglands対応を介して成立(Th0.2.1)
とある。
さらに、curveの場合、local monodromyのcomaptibility of ramification(2.4)について、
- Swan conductorが定義されGOS公式が成立
とある。

疑問

• 高次元の場合にcompanionが存在するとして、l進層の特性サイクルはp-companionの特性サイクルを定めるか?(isocrystalは可積分接続なので、D加群の特性サイクルが定義されなければならないが、数論的D加群におけるoverholonomicityは難しいようだ。では適切な特性サイクルとはどう定義されるのか?)
• curveの場合、Airy関数のWKB解析によるcluster代数構造の存在のような議論を、overconvergent F-isocrystalについて展開できるか?特に、収束半径を超えたところでの壁超えに類する話はあるのか?
• isocrystalにおけるrigid local systemの議論の類似(局所Fourier変換があり、Swan conductorがあれば射影直線上の定義はできそうだが、偏屈層に対応する貼り合わせの概念がないので、そのままではmiddle convolutionが定義できない?)

oper

• [Allegretti] Stability conditions and cluster varieties from quivers of type A
• [Mulase] 2次元位相的場の量子論と量子スペクトル曲線へのご招待
• [Wakabayashi] 休眠乍の l 進コホモロジー的場の理論

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2019 ramification

文献

• [AS] RAMIFICATION AND CLEANLINESS
• [Brylinski] Transformations canoniques, dualité projective, théorie de Lefschetz, transformations de Fourier et sommes trigonométriques
• [D’Agnolo] Radon and Fourier transforms for D-modules
• [Kato] 類体論とD加群
• [Saito] Characteristic cycle and the Euler number of a constructible sheaf on a surface

類体論とD加群

[Kato]では、Deligneによる暴分岐と不確定特異点の類似を、
類体論の観点から深掘りし、予想を立てている。その予想は、[AS]およびその後の論文群により、ほぼ証明されている(ようだ)。

• 「類似」はなぜ存在するか永久に謎のままであるという種類の類似
• 1次元の場合で、基礎体が有限体の場合、複素数の場合、の留数と跡によるSwan conductor, irregularityの表示
• cleannessの定義
• 剰余体が非分離拡大になる暴分岐の場合のSwan conductorの定義のplan

分岐

[AS]では、暴分岐の場合も含めて、specializationが定義されている。
これは、regular singular holonomic D-modulesの場合および対応するconstructible sheavesの場合に定義されていたspecializationに類似のもの。
後者では、そのFourier-Sato変換によりmicro-localizationが定義されたが、[AS]でも、Frouer-Deligne変換の台を用いてnon-degenerateの概念を定義している。
ただし、[AS]に続く論文群ではRadon変換を用いて先に特異台を定義、それを土台にcharacteristic cyclesを定義している。

Radon変換とFourier変換の関係

[Brylinski]では、Radon変換における偏屈層のmodulo 定数層での対応と、標数pの場合も含めたRadon変換とFourier変換の関係について証明している。(図式については、[D’Agnolo]の(1.6)のほうが見やすい)

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