2017 K(\pi, 1)

Faltings流のp-adic Hodge

• [Ols] Faltings’ method of almost ́etale extensions

[Ols]では、Faltings流のp-adic Hodgeについて、

• almost etale extention
• K($\pi$, 1)
• Faltings topos

を用いた説明をしている。
ここでのmain theoremはTh6.16。
elementary fibrationを用いてgeometric generic fiberがK($\pi$, 1) となるZariski neiborhoodが取れることはTh5.4で示されている。

比較同型

• [A] The Comparison Isomorphisms Ccris
• [AI] Comparison Isomorphisms for Smooth Formal Schemes

[A]では、Poincare dualityを使わない方法を説明している。
そのmotivationとして、3 The complex caseで複素数体上の比較同型定理について、普遍被覆空間を取って群のcohomologyの比較による方法を説明している。正則関数の層の代わりになるのがperiod sheavesとなる。
4 The p-adic caseで、Abbesによるperiod sheavesのFaltings siteでの振る舞いについての指摘があり、局所定数層のetale cohomologyとFaltings cohomologyでの比較はProp4.6に記載されている。
(perfectoidにおいては、pro-etale siteとして幾何学的に自然なsiteにより話が簡略化される)

K($\pi$, 1)

• [Achinger1] $K(π, 1)$-neighborhoods and comparison theorems
• [Achinger2] Wild ramification and K(pi, 1) spaces

[Achinger2]では、

• connected affine $F_{p}$-schemeはK($\pi$, 1)(Th1.1.1)

が示されている。
(tiltingによって、標数0と標数pを行き来するということは、topologicalな情報をすべて基本群に押し込める、ということになる。)

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