サマースクール復習(2016) その5

量子コホモロジー

• [Givental] Symplectic geometry of Frobenius structures

• gravitational descendants

• Lagrangian coneとJ関数の関係
• gravitational ancestors
• twisted GW invariants

semi-infinite VHS

• [G] Tropical geometry and mirror symmetry

[G]2.1には、A-modelのFrobenius多様体の構造について説明がある。
[G]2.1.5では、

• 半無限Hodge構造の変動の定義(Def2.20)
• 半無限Hodge構造の変動がminiversalであることの定義(Def2.25)
• 量子コホモロジーの場合の構成(Ex.2.21,Ex2.22)
• flat sectionとconstant sectionをつなぐJ関数の具体的な記述(Prop2.23)
• opposite subspaceの定義と、miniversalな場合のFrobenius構造の復元(Th2.26)
• 量子コホモロジーの場合のminiversalityの説明(Ex2.27)

がある。

Krein型特異点

• [BG] Root Systems and the Quantum Cohomology of ADE resolutions
• [BKR] Mukai implies McKay: the McKay correspondence as an equivalence of derived categories
• [BMO] Quantum cohomology of the Springer resolution
• [Hosono] Central charges, symplectic forms, and hypergeometric series in local mirror symmetry
• [KV] Kleinian singularities, derived categories and Hall algebras

Krein型特異点の場合に、導来圏の記述はかなり透明になる。([BKR]Cor1.3)
さらに、A型の場合、超幾何関数を用いて、Krein型特異点に関わるBモデルの局所ミラー対称性の記述、central chargeの記述が出来る。([Hosono]§5)

整構造

• [I1] 量子 D 加群の大域的構造
• [I2] GROMOV-WITTEN 理論における整構造
• [I3] トーリック多様体のミラー対称性

トーリック多様体とLG模型のミラー対称性に対して、
Kahler moduliのコンパクト化とsecondary fanの対応がある。
各々の極限点における小量子D加群の対応がある。([I1]Th3.3)

小量子D加群の対応、平坦構造について、より詳細に整構造が定まる。([I2]Def3.2,Def4.1,Th7.3)

大同変ミラー対称性は、同変量子加群の定めるベクトル場をGivental cone上の線形ベクトル場と同一視することでI関数が具体的に記述できる。([I3]Th5.1)

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