サマースクール復習(2016)その7

Frobenius多様体とRiemann-Hilbert問題

• [S]Frobenius manifolds: isomonodromic deformations and infinitesimal period mappings

[S]のまとめ

• Riemann-Hilbert問題は、射影直線$U=\mathbf{P}^{1}-\Sigma$の場合、与えられた$\pi_{1}(U)$の表現に対応するモノドロミー表現を持つ、$\Sigma$の各点で高々対数的極のみを持つ微分方程式を与えよ、という問題。(Appendix A)
• 微分方程式の形は、$\Sigma_{\sigma}A_{\sigma}\frac{dz}{z-\sigma}$となり、matrix${A_{\sigma}}$を求める問題となる。
• Birkhoff問題は、polar partの標準形を与えよ、という問題で、Weilによるベクトル束のadele実現を用いてdouble cosetの標準形を与える、という観点から、射影直線$\mathbf{P}^{1}$上のベクトル束の分類に対応する。(A2.1, A2.2)
• 座標$z$を固定すると$B(z)=z^{-1}B_{0} + B_{\infty}$が原点でtype1, 無限遠点でtype0の極を持つmeromorphic connectionのBirkhoff normal form。(2.1.1)

• 対応するconnection matrixは、$B(z)\frac{dz}{z}$

• holomorphicなベクトル束$F$に対して層$\mathcal{F}$、meromorphicなベクトル束$M$に対して層$\mathcal{M}$およびlattice$\mathcal{E}$の概念がある。

• $\mathbf{P}^{1}$上のベクトル束は離散的な情報のみで定まる。そのため、自明束はパラメータに対するhypersurfaceを除いてrigidityを持つ。(Th1.1.1)
• よって、meromorphicにはtrivializationを取ることが出来る
• flat holomorphic connection、flat meromorphic connectionの概念がある。
• discD上のmeromorphic connection$(F, \nabla)$に対して、residue$R_{0}$、1-form$\Phi$が定まり、flatnessから定まる関係式を満たす。
• $\mathbf{P}^{1} \times X$上のTh1.1.1の条件でのflat meromorphic bundleの標準形(lem1.3.3)
• metricの条件を付加した場合(1.4)
• $(F, \nabla)$から定まるデータ$\Theta,\mathcal{M},\mathcal{E},\mathcal{E}_{\infty},\Phi,R_{0},\triangledown,R_{\infty}$(1.5.1-1.5.4)
• relation$\triangledown^{2}=0,\triangledown(R_{\infty})=0,\Phi\wedge\Phi=0,[R_{0},\Phi]=0,$$\triangledown(\Phi)=0,\triangledown(R_{0})+\Phi=[\Phi,R_{\infty}]$(1.5.5)
• metricの条件を付加した場合(1.5.6)
• 逆に1.5.5のデータから$(F, \nabla)$が定まる。(1.5.7)
• local Fourier 変換により、Riemann-Hilbert問題とBirkhoff normal formが等価となる。(Prop1.6.2)
• Riemann-Hilbert-Birkhoff問題は、rigidity(Prop2.2.1)と標準形を持つ。(Cor2.2.4)

• universal deformation(Th3.1.1)

• Saitoh structure without metric
  $\pi:\mathbf{P}^{1}\times M \rightarrow M$に対して、$\triangledown,\Phi,e,\frak{E}$(Def4.1.1)

• $R_{0}=-\Phi(\frak{E})$ $R'_{\infty}=\triangledown(\frak{E})$とすると、relation1.5.5を満たす(4.1.1)
• flat coordinates $t_{1},\cdots,t_{d}$が定まる。$\triangledown{\partial_{t_{i}}}=0$(4.1.5)
• Saitoh structureの$\Phi$により$\Theta_{M}$に対してmultiplicationが定義され、flatnessとsymmetricからcommutative,assosiativeがでる(4.1.2)
• $Specan{\Theta{M}}$は$TM$のclosed analytic varietyで、良い条件の場合はLagrangian。(4.1.7,4.1.9)
• さらに、$L \rightarrow M\times \mathbf{C}\rightarrow \mathbf{C}$、$\det(t Id - R_{0})=0$の形となる。(4.1.8)
• canonical coordinates(4.1.10)
• discriminants(4.1.11)
• Saitoh structure with metric(Def4.1.12)
• Frobenius manifold(Def4.2.1)

• Saitoh structure with metricとFrobenius manifoldの等価性(Prop4.2.2)

• infinitesimal period mapping(4.3)1.5.5の状況で、$E$の構造を$TM$の構造にうつすために写像を定義する。
  $\phi_{\omega}:TM\rightarrow E, \phi_{\omega}(\xi)=-\Phi(\xi)(\omega)$
  $\phi_{\omega}$が同型の時、$\omega$をprimitive sectionと呼ぶ。(Def4.3.2)

• Frobenius manifoldの特徴づけ(Th4.3.6)
• simply connected massive Frobenius manifoldとuniversal isomonodromic deformationに付随するFrobenius manifoldの対応(Th5.1.2)

疑問

• 複素数体上では射影直線上のベクトル束のrigidityを用いてisomonodromy変形とFrobenius多様体の議論ができた。
• p進体上では射影直線に対応するのは、Fargues-Fontaine曲線となるはず。
• FF曲線上のベクトル束は離散データのみで定まるが、変形に対するrigidity、その上のflat connectionについて、Frobenius多様体の議論と並行する性質が存在するか?
• その場合、Frobenius作用を込みにした(p進の意味での)Frobenius構造が必要になるはずで、Frobenius-Frobenius多様体をFargues-Fontaine曲線を用いて定義できるか?という話になる。
• 前提として、Riemann-Hilbert問題、Simpson対応をp進で議論できるか?という点がクリアにならなければならない。

Painleve方程式との関係

• [D] Painleve’ transcendents and two-dimensional topological field theory
• [ILT] Isomonodromic tau-functions from Liouville conformal blocks
• [KMS] Flat structure on the space of isomonodromic deformations

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サマースクール復習(2016) その6

quadratic hamiltonianの量子化

• [CI] A Fock Sheaf For Givental Quantization
• [G] Gromov - Witten invariants and quantization of quadratic hamiltonians
• [M] Quantization of quadratic hamiltonians

Definition 4.47 ( [61]). Givental’s propagator

[M]では、

• $h_{A}(f)=\frac{1}{2}\Omega(Af,f)$の具体的な座標による表記(zの指数の符号–+,-+-,++の組み合わせで留数を展開)
• 内積に対するself-adjointを満たす式
  $S(-z)^{T}S(z)=1$
  の変形を記述する、$\sum_{k,l=0}^{\infty}W_{kl}z^{-k}w^{-l}=\frac{S(-z)^{T}S(w)-1}{z^{-1}+w^{-1}}$
  (Givental’s propagator,Givental’s R-matrix)を用いた、
  $\mathrm{S}^{-1}\cal{F}=\exp^{W(\mathbb{q},\mathbb{q})}\cal{F}([\mathrm{S}\mathbb{q}]_{+})$
  (Th1)の導出

が説明されている。
[G]では、

• 2次のHamiltonianの量子化
• Gromov-Witten invariantsのgravitational descendentsとancestorsの関係式(Th5.1)
• genus 0 descendent potentialのreconstruction(Cor5.4)

と、[M]の式の適用先の説明がされている。ただし、細かな完備化、収束などの正当化については省かれている。
これらの概念の詳細な記述、Frobenius多様体、幾何学的量子化によるreconstruction theoremの解釈は[CI]に詳しい。

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