2017 標数pの基礎事項

Cartier descent

• [Katz] Nilpotent connections and the monodromy theorems

[Katz]では、

• 標数0の体$k$上、$\Delta=Spec(k[[t]])$において、一対一対応がある(Prop8.9)
  
  • $(M,\nabla)$、可積分接続
  • $(M^{\nabla}\otimes_{k} \Delta,1\otimes d)$、horizontal elemetntsとidentical connection
  • これは、Taylor展開による無限小平行移動を書き換えたもの
• 標数pの体$k$上では、p冪の部分で相違が出てくる(Th5.1)
  
  • $(\cal{E},\nabla)$、p-curvatureが0の可積分接続
  • $\Delta^{(1)}=\Delta\otimes_{k,Frobenius}k$上のquasi-coherent sheaves
• p-curvatureはrestricted p-structureに関するobstruction
• p-curvatureはp-linear(Prop5.2)
• $\nabla(D),\nabla(D^p),\psi(D)$は$End(\cal{E})$の元として可換(5.2.1)
• $\psi(D),\psi(D')$は可換(5.2.2)

formal geometry

• [BD] QUANTIZATION OF HITCHIN’S INTEGRABLE SYSTEM AND HECKE EIGENSHEAVES

[BD]においては、以下の説明がある。

• Harish-Chandra pair$(\frak{g},\it{K})$に対するlocal quantization condition(1.2)
  
  • Poisson代数と$U\frak{g}$から定まる代数のgraded代数の同型
  • symbolのなす代数の同型と思える
  • differential operatorとしてのcompatibilityがglobal quantization condition(1.2.3(15))
• Harish-Chandra modulesの圏と左D加群の圏同値(1.2.4)
  
  • $\Delta:M(\frak{g},\it{K})\rightarrow M^{l}(\cal{Y})$
  • $\Gamma:M^{l}(\cal{Y})\rightarrow \Delta:M(\frak{g},\it{K})$
• (直線束による)twisted version(1.2.5)
• affine version(1.2.6,1.2.7)
• Beauville-Laszloの同型対応(Th2.3.4,Th2.3.5)
• $\cal{D}_{\it{X}}$-scheme(2.6)
  
  • $\cal{D}_{\it{X}}$-algebraに対して$\cal{O}_{\it{X}}$-algebraを対応させるfunctor(2.6.2)
  • algebraが可換な場合はhorizontal global sectionsのなす代数
• 可換な場合のadjoint functor$\cal{J}$(2.6.3)
  
  • $\infty$-jets of sectionsのなす代数
  • schemesの対応の場合、ind-schemeとして定義される
• formal coordinate systems(Example2.6.5)
• global Hitch fibrationの定義(2.2.3)
  
  • $p:T^{*}Bun_{G}\rightarrow\rm{Hitch}(\it{X})$
  • pはLagrangian fibrationでcomplete integrable systemをなす
  • $h_{X}^{cl}:\frak{z}^{cl}(\it{X}) \rightarrow \Gamma(Bun_{G},P)$
  • pの量子化が[BD]の目的
• local Hitchin fibrationの定義(2.4)
  
  • $\rm{Spec}(\frak{z}_{\rm{x}}^{cl}) \rightarrow \rm{Hitch_{x}}$ (2.4.1)
• $h^{cl}$の量子化に対応する$h$の定義(2.8.1)
• formal coordinate systemsを用いてcanonical connectionsを定義(2.8.2)

affine Springer fibers

• [Yun] Lectures on Springer theories and orbital integrals
  [Yun]では、affine Springer fubersとHitchin fibrationsの関係が述べられている。

• affine Grassmannianの定義(2.1.2)

• affine Grassmannian内のaffine Springer fibers$\cal{X_{\gamma}}$の定義(2.2.1)
• paraholic version、Iwahori subgroupに対するaffine Springer fiber$\cal_{Y_{\gamma}}$の定義(2.2.9)
• Springer’s W-actionのaffine版(Th2.6.2)
• affine Springer fiberのset theoretic version と軌道積分との関係(3.2.6,lem3.3.1)
• affine Springer fiberのglobal versionとしてのHitchin fibration(§4)
  
  • 曲線上のベクトル束のmoduli stack(4.1.2)
  • Higgs bundlesの定義とtwisted-Higgs bundlesのmodul stackの定義(4.1.7)
  • derived global sectionを見ることによりHitchin moduli stackとベクトル束のmoduli stackのcotangent bundleとのopen stacksの対応(4.1.10)
  • Hitchin fibrationの定義(4.2.1)
  • spectral curve, Hitchin fibersのPicard stackとしての解釈(4.3.1)
• Hitchin fibersとaffine Springer fibersをつなぐProduct formula(Th4.4.2)

crystalline differential operators,Lie代数の中心

• [BB] Localization of modules for a semisimple Lie algebra in prime characteristic

[BB]では、crystalline differential operatorsについて、以下のまとめがある。

• $X/k$(kは標数pの代数閉体)において、Frobenius写像$Fr_{X}:X\rightarrow X^{(1)}$が関数環のp乗写像として定まる。ただし、Frobenius twist $X^{(1)}$は、k-structureを修正することで定まる。(1.1.1)
• YをXのsubschemeとする時、Frobenius neighborhood $\underline{X}_{Y}=(Fr_{X})^{-1}Y^{(1)}$が定まる。(1.1.2)
• $\beta:V\rightarrow W$がp-linear mapであることと、対応する$V^{(1)}\rightarrow W$がlinear mapであることは同値。(1.1.3)
• Xがsmoothの時、$D_{X}=U_{O_{X}}(T_{X})$をthe sheaf of crystalline differential operatorsと呼ぶ(1.1.4) 基底を取って記述することが出来る。
• $\mathbb{D}_{X}\subset End_{k}(O_{X})$に対して$D_{X}$からの写像はあるがinjectiveではない。
• $D_{X}$には、Poincare-Birkhoff-Witt filtration$D_{X,\leq n}$が入り、$gr(D_{X})=O_{T^{*}X}$、$D_{X,p-1}\subset End(O_{X})$となる。(lem1.2.1)
• (p-linearに付随するlinear mapとしてみた)p-curvature map $\iota:T_{X}^{(1)}\rightarrow D_{X}$の像は$Z(D_{X})$に含まれ、$\frak{Z}_\it{X}:=O_{T^{*}X^{(1)}/X^{(1)}}$と$Z(D_{X})$の同型に延長される。(lem1.3.2)
• $Y\subset T^{*}X$に対して、$D_{X}$の$Y^{(1)}$へのcentral restriction、$D_{X,Y}=D_{X}\otimes_{\frak{Z}_{\it{X}}}O_{Y^{(1)}/X^{(1)}}$を定義する。(1.4)
• Yとして、zero-sectionをとった$D_{X,0}$は$\iota \partial = 0$で定まり、$D_{X}$の$\mathbb D_{X}$への像に一致する。(1.4.2)
• $A_{X}:=Z_{D_{X}}(O_{X})$は$O_{X} \cdot \frak{Z}_{\it X}$に一致する。(lem2,1,1)
• cotangent vectorに対するcentral reductionが定まり、matrix algebraとなる。(lem2.2.1)
• $D_{X}$は$T^{*}X^{(1)}$上のAzumaya algebra(Th2.2.3)
• $D_{X}$は$X^{(1)}$上で$Fr_{X*}O_{X}$をsplitting bundleとしてsplitする。(2.2.5)

operと量子化

• [BK] Fedosov quantization in positive characteristic
• [BCTZ] Quantization of Hitchin integrable system via positive characteristic
• [CFT] Fedosov connections on jet bundles and deformation quantization

Virasoro代数は無限次元で、共形場理論が無限自由度を持つことの基礎となっていた。
標数pでVirasoro代数の代替物を見ようとすると、modulo Frobeniusで有限自由度となる。

Higgs bundle

• 実解析的な対応
• 標数pで実解析的に対応するのは、Frobenius写像

標数pでのNon abelian Hodge theory

• [CZ] Non-abelian Hodge theory for algebraic curves in characteristic p
• [LSZ] Nonabelian Hodge theory in positive characterstic via exponential twisting
• [OV] Nonabelian Hodge Theory in Characteristic p
• [Xu] Lifting the Cartier transform of Ogus-Vologodsky modulo $p^n$

p進でのSimpson対応

• [LZ] Rigidity and a Riemann-Hilbert correspondence for p-adic local systems

• $(B_e,B_{dR})$のBeauville-Laszlo型の解釈

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